Première S2. Corrigé du DS de Mathématiques du janvier-2010

Première S2.
Corrigé du DS de Mathématiques du janvier-2010
I. Questions de cours.
lim
1. f '(a) =
h 0
2
−1
f a h  – f a 
2h
1
−1
f 3h – f 3
h
. Application f '(3) = lim
= lim
= lim
= – .
h
h
0
2
h 0 2h
h
h 0
2. f ' x =2 x
1
17
9
17
; f ' 2=
; f 2= . La tangente a pour équation y = f 2 f ' 2×x – 2 , soit y = x – 4
x2
4
2
4
x–1
×1
x 210 x – 3
4
x 3
×

x

f
'
x

3.
=
=
.
2
2 x
2  x  x32
x3
f 0h f 0 – h
=3 qui équivaut à f h f – h=6 .
2
3 h 22 h3 3h 2 – 2 h3 6 h 26
f h f – h=

= 2
=6 .
h 21
h 2 1
h 1
II. 1. Vérifions que pour tout h,
2. f ' x =
21 – x 2 
. f ' x  a le signe du trinôme au numérateur , d'où le T.d V.
x 212
x
f '(x)
–5
–1
–
0
1
+
0
5
–
4
f
2
f – 5=
34
44
≈2,6 et f 5=
≈3,4.
13
13
3. Tangente T en x=0 : y = 2x + 3
4.
III. L'aire du rectangle ABCD: A x=2 x f x =2 x 4 – x 2 =– 2 x 3 8 x , avec 0<x<2.
2
−2
ou x=
.
A '  x=– 6 x 2 8 . La dérivée s'annule pour x=
3
3
Le tableau de variations de A est le suivant, la partie qui nous intéresse est x dans l'intervalle [0; 2] uniquement :
x
−2
3
–∞
f '(x)
–
0
2
3
0
+
f(x)
+
0
0
32
33
2
–
+∞
–
0
8
3
3
3
3
L'aire est donc maximum pour x=2  et vaut A2   = 32  et le rectangle a pour dimensions 4  par
3.
3
3
9
3
IV.
x
f '(x)
f(x)
2 – 1
0
–
0
1
Deuxième partie.
2 2 – 2
3
+
5
2