Correction DM 4: Démonstration du TVI.... (Théorème des Valeurs

Correction DM 4:
Démonstration du TVI....
(Théorème des Valeurs Intermédiaires)
Hypothèses:
• f continue sur un segment [ a ; b ] avec ab
f a0 et f b0
•
Conclusion:
L'équation f  x=0 admet au moins une solution L dans l'intervalle [ a ; b ]
Démonstration:
Soit P(n) la propriété définie pour n∈ℕ par: « a n≤b n et
Pour n=0 on a a 0=ab=b 0 et
f a n ≤0≤ f b n  »
f a 0 ≤0≤ f b0  .
Soit n∈ℕ tel que P(n) soit vérifiée, alors,
si:
et si:
f
a nb n
a b
≤0 on pose a n1= n n et b n1=b n ,
2
2
f
a nb n
a b
0 on pose a n1=a n et b n1= n n .
2
2
Dans les deux cas,( calculs simples à faire!!!) on a : a n≤a n1≤b n1≤b n et
f a n1 ≤0≤ f b n1 
Donc la propriété P(n+1) est vérifiée.
La suite a n n∈ℕ est donc croissante et la suite b n n∈ℕ est décroissante
et pour tout n∈ℕ ,
Enfin avec b n−a n=
a n≤b n .
b n−1−a n−1
b −a
=........= 0 n 0 on a: lim n ∞ b n−an =0 .
2
2
Les deux suites a n n∈ℕ et b n n∈ℕ sont adjacentes et ont donc une limite commune que l'on note
L.
f étant continue, on a: lim n∞ f a n = f  L≤0≤lim n ∞ f b n = f  L donc
L'équation
f  L=0
f  x=0 a donc au moins une solution L dans l'intervalle [ a ; b ] .
Dans le cas général, il suffit d'appliquer le théorème précédent à la fonction
f −k
.