TS INTERROGATION no 1 correction Exercice 1

INTERROGATION no 1
TS
correction
Exercice 1 (3 pts)
1. lim
x→+∞
2x + 5
2x 2
= lim
=
3x − 2 x→+∞ 3x 3
2. lim 3x + 1 = 13 et lim x − 4 = 0− donc lim
x→4
x<4
x→4
x<4
3
+ 2 = 2 donc
x→+∞ x
3. lim
x→4
x<4
lim
x→+∞
3x + 1
= −∞
x−4
!2
3
+ 2 = lim X2 = 4
x
X→2
Exercice 2 (9 pts)
L’objet de cet exercice est l’étude de la suite (un ) définie par son premier terme u1 =
un+1 =
nun + 1
.
2(n + 1)
3
et la relation de récurrence :
2
Partie A - Algorithmique et conjectures
1. Algorithme complété
Variables :
Traitement :
n entier naturel
u réel
Affecter à n la valeur 1
Affecter à u la valeur 1,5
Tant que n < 9
Sortie :
nu + 1
2(n + 1)
Affecter à n la valeur n + 1
Fin Tant que
Afficher u
Initialisation :
Affecter à u la valeur
2. Il suffit de mettre la ligne "Afficher u" juste avant la fin du tant que (dans la boucle).
3. La suite (un ) semble être décroissante et converger vers 0.
Partie B - Étude mathématique
On définit une suite auxiliaire (vn ) par : pour tout entier n > 1, vn = nun − 1.
1. vn+1 = (n + 1)un+1 − 1 = (n + 1) ×
nun + 1
nun − 1 vn
nun + 1
−1=
−1 =
=
2(n + 1)
2
2
2
On en déduit que la suite (vn ) est géométrique de raison 1/2 et de premier terme v1 = u1 − 1 = 0, 5
2. On a donc : vn = v1 × qn−1 = 0, 5 × 0, 5n−1 = 0, 5n
Comme vn = nun − 1 alors un =
vn + 1 1 + (0, 5)n
=
n
n
3. Comme -1<0,5<1 alors lim 0, 5n = 0 .
n→+∞
De plus lim
n→+∞
1
= 0 donc lim un = 0
n→+∞
n
1 + 0, 5n+1 1 + 0, 5n n + n × 0, 5n+1 − n − n × 0, 5n − 1 − 0, 5n 0, 5n (0, 5n − n − 1) − 1 − 1 + 0, 5n (−0, 5n − 1)
−
=
=
=
=
n+1
n
n(n + 1)
n(n + 1)
n(n + 1)
1 + 0, 5n (1 + 0, 5n)
−
n(n + 1)
4. un+1 −un =
On a n(n + 1) > 0 et 0, 5n > 0 et 1 + 0, 5n > 0 donc un+1 − un < 0
Ce qui prouve que la suite (un ) est décroissante pour n > 1.
Partie C - Retour à l’algorithmique
Il suffit de remplacer :
• "Tant que n < 9" par "Tant que u > 0, 001"
• "afficher u" par "afficher n"
Exercice 3 (5,5 pts)
Partie A
1. Arbre de probabilité :
0,5
F
0,5
F
0,6
F
0,4
F
I
0,08
O
0,82
0,25
0,1
F
M
2.
F
0,75
a. P(F ∩ M) = 0, 1 × 0, 25 = 0, 025
b. P(F) = P(F ∩ I) + P(F ∩ O) + P(F ∩ M) = 0, 08 × 0, 5 + 0, 6 × 0, 82 + 0, 025 = 0, 557
Partie B
1. Arbre de probabilité :
A
0,04
B
A 0,003
A 0,002
0,96
B
A
P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A) donc P(B ∩ A) = P(B) − P(B ∩ A) = 0, 04 − 0, 003 = 0, 037
2. P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = 0, 037 + 0, 002 = 0, 039
3. PA (B) =
P(A ∩ B) 0, 037
=
≈ 0, 949
P(A)
0, 039
Exercice 4 (2,5 pts)
Soit (un ) la suite définie par u1 =
n+1
1
et pour tout entier naturel n non nul, un+1 =
u .
2
2n n
1. Par récurrence :
– initialisation : pour n = 1, u1 = 1/2 > 0 donc la propriété est vraie au rang 1.
– hérédité : supposons que la propriété soit vraie au rang n et montrons qu’elle est vraie au rang n+1.
n+1
u
2n n
n+1
Comme un > 0 et
> 0 alors un+1 > 0
2n
On a : un+1 =
Donc la propriété est vraie au rang n+1.
– conclusion : la propriété a été initialisée et est héréditaire donc pour tout entier naturel n non nul, un > 0.
!
un (1 − n)
n + 1 − 2n
n+1
=
un − un = un
2. un+1 − un =
2n
2n
2n
Or comme n > 1 alors 1 − n 6 0 . De plus un > 0 et 2n > 0 donc un+1 − un 6 0
Ce qui prouve que la suite (un ) est décroissante.
3. La suite (un ) est minorée par 0 et décroissante donc elle converge.