EXPONENTIELLE Définition : la fonction exponentielle est l`unique

EXPONENTIELLE
Définition : la fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur IR, solution de l'équation
différentielle y' = y et prenant la valeur 1 en 0. Notation : x → ex.
PROPRIETES ALGEBRIQUES
• e0 = 1 ; e1 = e ≈ 2,718
• ea + b = ea eb
ea
• e a −b = b
e
1
ea
• e−a =
( )
• ea
b
= e ab
• ex > 0
ETUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
• Domaine de définition : Dexp = IR
• le nombre e est irrationnel et vaut environ 2,718
x
x
• Limites : lim e = 0 et lim e = +∞
x →−∞
x →+∞
• Asymptote d’équation y = 0 en −∞ .
• Dérivée : (ex)’ = ex strictement positive sur IR,
donc exp est strictement croissante sur IR.
• Tableau de variations :
x
ex
–∞
+∞
+
+∞
x
e
0
COMPLEMENTS
ex
ex −1
n x
lim
x
e
=
0
=
+∞
.
lim
=1
x →−∞
x →+∞ x n
x→0
x
Les deux premiers résultats s’énoncent parfois : «en l’infini, dans un produit ou un quotient, l’exponentielle
de x l’emporte sur toute puissance de x ».
• limites : pour n appartenant à IN* : lim
• bijection : exp est une bijection strictement croissante de IR sur ]0, + ∞ [. Ainsi :
EXP EST UNE BIJECTION DE IR SUR IR+*
ea = eb ⇔ a = b
STRICTEMENT CROISSANTE
ea < eb ⇔ a < b
• dérivée : (eu )’ = u’eu (où u est dérivable sur un intervalle I)
EQUATIONS DIFFERENTIELLES :
• Soient a ≠ 0 et b ∈ IR.
L'équation y ' = ay a pour ensemble de solutions les fonctions f : x → Ce ax (où C est une constante)
b
L'équation y ' = ay + b a pour ensemble de solutions les fonctions g : x → Ce ax −
(où C est une constante).
a