Université Pierre et Marie Curie

Université Pierre et Marie Curie - Paris 6
Licence de Mathématiques
U.E 2M261 : Séries et intégrales généralisées - Approfondissement
Feuille 1 : Intégrales généralisées
Exercice 1 :
Montrer la convergence et calculer les intégrales suivantes :
1. I1 =
R +1
0
t3 e
t
2. I2 =
dt
Exercice 2 :
R +1
1
p1
t t2 +1
3. I3 =
dt
R +1
0
t ln t
(t2 +1)2
dt
Les intégrales généralisées suivantes sont-elles convergentes ou divergentes ?
1. I1 =
2. I2 =
3. I3 =
4. I4 =
R +1
ln t dt
2
R2
0 ln t dt
R +1 t2
e dt
0
R +1
t5 p
0
(t4 +1) t
5. I5 =
R⇡
0 ln sin t dt
R +1
6. I6 = 2
1 cos 1t dt
R1
7. I7 = 0 sin 1t dt
R +1
8. I8 = 2/⇡ ln cos 1t dt
dt
Exercice 3 :
Étudier la convergence des intégrales suivantes :
1. I1 =
R +1
3
Arctan t
t2 +2t+7
2. I2 =
dt
Exercice 4 :
0
tx +t2p x
t3 + t
dt (x 2 R)
Z +1
sin t
cos t
dt
converge.
En
déduire
que
dt converge.
↵+1
t
t↵
1
1
Z +1
Z +1
sin2 t
sin t
2. Montrer que
dt diverge. En déduire que
dt ne converge pas absolument.
t
t
1
1
3. Vérifier que lorsque t tend vers +1, on a :
1. Soit ↵ > 0. Montrer que l’intégrale
Et montrer que, pourtant,
Z
+1
1
Z
R +1
+1
cos t
cos t cos2 t
p ⇠ p +
t
t
t
◆
Z +1 ✓
cos t
cos t cos2 t
p dt et
p +
dt ne sont pas de même nature.
t
t
t
1
Exercice 5 :
Z
1
x 1
dx.
ln x
0
2. Montrer que : 8x 2]0 ; 1[ (x 1)/x 6 ln x < x 1.
Z X
Z X2
x
1
3. Pour X 2]0 ; 1[, démontrer l’égalité :
dx =
dx.
ln x
0 ln x
0
Z X
Z 1
x 1
x 1
4. En déduire un encadrement de
dx et montrer que
dx = ln 2.
ln
x
ln x
0
0
1. Démontrer la convergence de l’intégrale
1
Exercice 6 :
Soit I l’intégrale généralisée définie par I =
Z
+1
0
" > 0 et pour tout X > 0, on définit l’intégrale I",X
1. Montrer que I est une intégrale convergente.
ln t
dt où a est un paramètre positif donné. Pour tout
+ a2
Z X
ln t
par : I",X =
dt.
2
t + a2
"
t2
2. A l’aide du changement de variable t = a2 /x, montrer que :
I",X =
⇣ a ⌘ 2 ln a
⇣a⌘
2 ln a
Arctan
+
Arctan
+
a
X
a
"
Z
a2
X
a2
"
t2
ln t
dt.
+ a2
3. En faisant tendre " vers 0 et X vers +1 dans l’équation ci-dessus, déduire une relation vérifiée par I et
en déduire sa valeur.
Exercice 7 :
Soient ↵ 2 R et > 0. Déterminer l’ensemble des couples (↵, ) 2 R2 pour lesquels l’intégrale généralisée
suivante est convergente
Z +1 ↵
t ln t
dt
1
+t
0
Exercice 8 :
Étudier, selon la valeur de a 2 R l’existence de l’intégrale généralisée
Z +1
dt
.
1 + ta sin2 t
0
On distinguera les 4 cas suivants :
(i) a 6 0 ;
(ii) 0 < a 6 1 ;
(iii) 1 < a 6 2 ;
(iv) 2 < a.
Pour les 2 derniers cas, on découpera l’intervalle [0 ; +1[ en sous-intervalles de la forme [n⇡
et sur chacun de ces intervalles, on fera le changement de variable t = n⇡ + s.
⇡/2 ; n⇡ + ⇡/2]
Exercice 9 :
Soit f une fonction intégrable sur tout intervalle borné de R telle que :
lim f (t) = `
t!+1
Calculer
Z
lim f (t) = `0 .
et
t! 1
+1
(f (t + 1)
f (t)) dt.
1
(On pourra raisonner séparément sur [0 ; +1[ et sur ]
1 ; 0].)
Exercice 10 :
Construire une fonction positive et continue sur [0 ; +1[, dont l’intégrale généralisée existe sur cet intervalle
mais qui n’est pas bornée sur [0 ; +1[.
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