Intégrales généralisées

Transcription

6 Intégrales généralisées
« Douter de tout ou tout croire, ce sont deux solutions également
commodes, qui l’une et l’autre nous dispensent de réfléchir. »
Henri Poincaré (1902)
Plan de cours
I
II
III
Intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C
Intégrale impropre d’une fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . .
D
Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
Divergence grossière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Comparaison et domination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
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3
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5
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6
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8
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9
. 10
. 10
. 10
. . 11
. . 11
. 12
É Quelques éléments historiques
La mesure de la longueur d’une courbe et de l’aire d’une surface est un problème essentiel et récurrent
chez les Grecs. Mesurer, c’est avant tout comparer des longueurs en calculant leurs rapports. Des méthodes
d’exhaustion sont mises en place à cette époque et permettent de répondre avec succès à certains problèmes
de recherche d’aires à l’aide d’encadrements successifs. Ces travaux sont repris et développés plus tard par les
Arabes puis par d’autres mathématiciens comme Fermat ou Laplace. On peut dire qu’à ce stade, l’intégration,
ou plutôt les techniques de quadrature et de rectification, sont avant toute chose une affaire de géomètres !
Newton et Leibniz mettent en place, au cours du XVIIe siècle, les fondements du calcul différentiel et intégral
à travers l’étude des variations infinitésimales de quantités mathématiques. Ils sont les premiers à faire le
lien entre dérivationR et intégration. C’est d’ailleurs chez Leibniz que l’on voit apparaître pour la première
fois la notation x = dx. Ces théories ne sont pourtant que des colosses aux pieds d’argile : elles reposent
sur des notions mal définies et encore mal comprises comme les nombres ou les fonctions. Cela ne nuit en
rien à l’expansion du calcul infinitésimal au cours des XVIIe et XVIIIe siècles. Les mathématiciens échouent
dans un premier temps à définir la véritable nature des infiniment petits qu’ils manipulent mais ils cherchent
cependant petit à petit à s’extraire de la géométrie comme base de ce nouveau calcul. Cauchy s’interroge
dans son « Résumé des leçons données à l’École Polytechnique » (1823) sur l’existence d’une intégrale avant de
s’intéresser à ses diverses propriétés. Il y définit sa propre intégrale dans une version relativement proche
de celle étudiée l’an dernier. C’est également lui qui propose une première démonstration rigoureuse du
théorème fondamental du calcul intégral. Que de chemin parcouru !
Riemann développe sa propre théorie de l’intégration qu’il présente en 1854 pour sa
thèse d’habilitation à l’Université de Göttingen. Elle présente l’avantage de s’étendre
à toute fonction continue, continue par morceaux et plus généralement à toute
fonction dite réglée. Échappe cependant à cette théorie toute une batterie de fonctions (l’indicatrice de Q par exemple) et la démonstration de certains résultats de
convergence s’avère très technique. Les notions de mesure et de tribus voient peu
à peu le jour. Les idées novatrices de Lebesgue, présentées au cours de sa thèse en
1902, conduisent à la naissance d’une nouvelle théorie de l’intégration qui porte
Bernhard Riemann
désormais son nom. Mais l’histoire ne s’arrête pas là... De nouvelles intégrales font
tour à tour leur apparition. La recherche est encore active en ce domaine !
–1–
CHAPITRE 6. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Le but de ce chapitre est d’étendre la notion d’intégrale sur un intervalle qui n’est pas nécessairement un
segment.
Théorème 6.1 : Rappels
• Toute fonction continue Z
sur un intervalle admet une primitive. En particulier, si f est continue
x
sur un intervalle I, x 7→
a
f (t) dt est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a. (a ∈ I)
Z b
• Si f est continue sur le segment [a; b] alors
Z b
f (t) dt existe.
a
f (t) dt = F (b) − F (a) où F est une primitive de f sur [a; b].
De plus,
a
• Si f est une fonction continue sur un segment [a; b] alors,
Z b

n−1
b−a
b−a X
·
f a+k·
−−−−→
f (t) dt
n→+∞
n
n
a
k=0
I – Intégrales impropres
Comme le lecteur a pu le constater l’an dernier, la notion d’intégrale est intimement liée à la notion d’aire.
Ayant toujours pour objectif de « mesurer » l’aire d’un domaine délimité par l’axe des abscisses et une courbe
donnée, nous pouvons nous interroger sur la possibilité d’étendre nos résultats au cas d’un intervalle non
borné. Bien que le domaine ne soit pas borné, l’aire de ce domaine n’est pas nécessairement infinie, comme
le prouve l’un des deux exemples suivants !
Exemples
y
Quel que soit a ¾ 1,
y=
1
x 3/2
Z
a
1
a
Z
y=
1
x
1
dx
= ln |a| −−−−→ +∞
a→+∞
x
−1/2 a
dx
x
2
=
= 2 − p −−−−→ 2
3/2
−1/2 1
x
a a→+∞
x
De même, il est possible de donner un sens à l’intégrale d’une fonction non bornée sur un intervalle borné.
Exemple
y
y = ln(x)
Quel que soit a ∈]0, 1],
Z
1
x
a
ln(x) dx = [x ln(x) − x]1a = a ln(a)−a−1 −−−→
−1
+
a→0
On peut ainsi donner un sens « géométrique » à
Z1
0
–2–
ln(x) dx alors que ln(x) −−−→
−∞.
+
x→0
Mickaël PROST
Lycée Chaptal – PT*
A – Généralités
1 – Définition sur un intervalle du type [a, b[ ou ]a, b]
Définition 6.2 : Intégrale impropre
Soit
Z fx une fonction continue sur [a, b[ avec b ∈ R ou b = +∞.
f admet une limite finie lorsque x tend vers b− , on dit que l’intégrale impropre converge et on
Si
a
b
Z
note
f cette limite. Sinon, on dit qu’elle diverge.
a
Il y a deux types d’intégrales impropres :
• l’intégrale de fonctions non bornées sur un intervalle borné (x 7→ ln x sur ]0, 1]) ;
• l’intégrale de fonctions continues sur un intervalle non borné (x 7→ e−x sur [0, +∞[).
On peut étendre la définition précédente au cas ]a, b] avec a ∈ R ou a = −∞.
Lorsqu’on connaît une primitive de f sur I, il suffit de passer à la limite pour savoir si l’intégrale
P converge
P
ou diverge, mais cela est plutôt rare. On notera l’analogie avec l’étude de la nature des séries k, z k .
Proposition 6.3 : Intégrale faussement impropre
Si une fonction f : [a, b[→ R avec b ∈ R est continue sur [a, b[ et prolongeable par continuité en b,
Z b
Z b
alors l’intégrale
f converge et vaut
f˜ où l’on a noté f˜ le prolongement de f .
a
a
On pourra alors qualifier une telle intégrale de « faussement » impropre.
Exercice 1
Z
1
Montrer que l’intégrale
0
sin t
dt converge.
t
2 – Intégrales de référence
Les quatre exemples suivants sont à connaître par cœur, les intégrales en question sont qualifiées d’« d’intégrales de référence ».
Z +∞
1
Ê
dt avec α ∈ R
tα
1
t 7→ t1α est continue sur [1, +∞[. Si α 6= 1,

Z x
Z x
−α+1 x

 1 si α > 1
dt
t
1
1
−α
=
t dt =
− 1 −−−−→ α − 1
=
α
x→+∞ 
−α + 1 1 1 − α x α−1
1 t
1
+ ∞ si α < 1
Z x
dt
= ln x −−−−→ +∞ et donc :
Si α = 1,
x→+∞
t
1
Z +∞
1
dt converge si et seulement si α > 1
tα
1
Z1
1
Ë
dt avec α ∈ R
α
0 t
Le même calcul conduit à la propriété suivante :
Z1
1
dt converge si et seulement si α < 1
α
0 t
–3–
Z
1
ln t dt
Ì
0
La fonction t 7→ ln t est continue sur ]0, 1] donc il y a un problème en 0.
Z1
Z1

1
Comme
ln t dt = t ln t − t = x − x ln x − 1 −−−→
−1, l’intégrale impropre
ln t dt converge.
x
x→0+
x
0
Z +∞
e−αt dt avec α > 0
Í
0
La fonction t 7→ e−αt est continue sur [0, +∞[ et :
Z x
1
1
e−αt dt =
1 − e−αx −−−−→
x→+∞
α
α
0
Donc pour α > 0, l’intégrale impropre
Z
+∞
e−αt dt converge.
0
3 – Définition sur un intervalle du type ]a, b[
Définition 6.4 : Intégrale impropre
Soit f une application continue sur l’intervalle ]a, b[. On dit que l’intégrale impropre
Zc
Z b
et seulement si
c
Z
On étudie alors lim+
x→a
f converge si
a
f convergent quel que soit c ∈]a, b[.
f et
a
b
Z
c
y
Z
f pour c ∈]a, b[.
f et lim
y→b−
x
c
Z
+∞
Attention au passage à la limite ! Pour prouver que
Z
x
f converge, il ne suffit pas de calculer lim
x→+∞
−∞
f.
−x
Exemple
y
y = t3
On a, par imparité de t 7→ t 3 ,
Z x
Z
x
3
t dt = 0 et
∀x ∈ R
−x
t
Z
Alors que
0
x
t 3 dt =
t 3 dt −−−−→ 0
−x
x→+∞
x4
−−−−→ +∞.
4 x→+∞
Exemple
Z
+∞
L’intégrale
0
dt
ne converge pour aucune valeur de α ∈ R.
tα
Par souci de simplicité, nous travaillerons par la suite uniquement sur des intervalles de la forme [a, b[.
–4–
Mickaël PROST
B – Propriétés
Proposition 6.5 : Linéarité de l’intégrale
Soit f , g : [a, b[→ R et λ ∈ R.
Z b
Z b
Si
f et
a
b
Z
(λ f + g) converge et on a :
g convergent alors
a
a
b
Z
(λ f + g) = λ
b
Z
a
f +
b
Z
g
a
a
Démonstration
Il suffit d’intégrer sur le segment [a, x] avec x ∈ [a, b[ avant de passer à la limite :
Z x
Z x
Z x
(λ f + g) = λ
a
f +
−−−→ λ
a
b
Z
x→b−
f +
g ∈R
a
(λ f + g) converge et
Donc l’intégrale
b
Z
a
b
Z
(linéarité d’une intégrale sur un segment)
g
a
a
b
Z
(λ f + g) = λ
a
b
Z
f +
a
g.
f (t) dt converge sinon l’écriture
Il faut d’abord s’assurer que l’intégrale

a
b
Z
a
formule précédente.
b
Z
b
Z
f n’a pas de sens dans la
a
Exemple
+∞
Z
Quelle est la nature de
6
dt
?
t 2 − 8t + 15
Une décomposition en éléments simples nous fournit :
∀t ∈ R \ {3, 5}
1
1
1
1
1
= ·
− ·
t 2 − 8t + 15 2 t − 5 2 t − 3
En intégrant, on obtient alors :
Z x
6

1
1
x −5
1
dt
=
ln
3
+
ln
−−−−→
ln 3
t 2 − 8t + 15 2
2
x − 3 x→+∞ 2
+∞
Z
L’intégrale converge et
6
1
dt
= ln 3. Pourtant,
2
t − 8t + 15 2
Attention au résultat suivant :
Z b
Z b
• si
f converge et si
b
Z
• si
a
b
Z
f diverge et si
a
Z
+∞
Ex. :
1
dt
et
t
Z
+∞
1
+∞
6
dt
et
t −5
Z
+∞
6
dt
divergent !
t −3
b
Z
( f + g) diverge ;
g diverge alors
a
Z
a
g diverge alors on ne peut rien dire.
a
− dt
.
t
On étend sans difficultés les définitions précédentes au cas d’une fonction à valeurs complexes et on montre
alors le résultat suivant.
–5–
Proposition 6.6
Z
Soit f : I → C.
Re( f ) et
I
Z
Z
Im( f ) convergent si et seulement si
f converge et alors :
I
I
Z
f =
Z
I
Re( f ) + i
Z
I
Im( f )
I
Proposition 6.7 : Relation de Chasles
R
Soit f :]a, b[→ R telle que ]a,b[ f converge. Alors, pour tout c ∈]a, b[,
b
Z
f =
Z
a
Dans le cas d’une fonction positive, pour a < b,
c
f +
a
b
Z
f
c
b
Z
f (t) dt ¾ 0 lorsque l’intégrale converge.
a
Proposition 6.8
Soit f une fonction positive et continue sur [a, b[. On suppose que
b
Z
f converge.
a
b
Z
f =0
⇐⇒
f est identiquement nulle sur [a, b[
⇐⇒
∀t ∈ [a, b[ f (t) = 0
a
Attention, ces deux hypothèses sont nécessaires ! L’intégrale d’une fonction continue peut être nulle sans
que la fonction soit nulle. De même, l’intégrale d’une fonction positive présentant des discontinuités peut
être nulle sans que la fonction soit identiquement nulle.
C – Intégrale impropre d’une fonction positive
x
Z
f (t) dt explicitement mais lorsque f est positive, certaines règles
On ne peut pas toujours calculer
a
permettent d’étudier la nature de l’intégrale. Si f est négative, on travaillera avec − f .
Z b
P
L’étude de
f est semblable à celle des séries du type un avec un ¾ 0.
a
Proposition 6.9
Soit f : [a, b[→ R continue et positive.
Z b
f (t) dt converge si et seulement s’il existe M > 0 tel que : ∀x ∈ [a, b[
a
x
Z
f (t) dt ¶ M .
a
Démonstration
x
Z
f (t) dt. ∀x ∈ [a, b[ F 0 (x) = f (x) ¾ 0 donc F est croissante. D’après le théorème de
On pose F : x 7→
a
la limite monotone, F admet une limite en b− qui sera finie si et seulement si F est majorée.
–6–

Mickaël PROST
1 – Règle de comparaison
Théorème 6.10 : Comparaison
Soient f , g : I → R deux fonctions continues sur I telles que 0 ¶ f ¶ g.
Z
Z
Z b
Z b
g converge =⇒
I
f (t) dt ¶
f converge et alors
I
g(t) dt.
a
a
Démonstration
b
Z
Supposons que 0 ¶ f ¶ g et que
Z x
Par comparaison : ∀x ∈ [a, b[
g(t) dt converge.
Z x
a
f (t) dt ¶
a
a
g(t) dt |{z}
¶
g positive
x
Z
x 7→
a
b
Z
g(t) dt = M .
a
f (t) dt est donc majorée donc converge.
Z b
Z b
f (t) dt ¶
Par passage à la limite,
a
g(t) dt.

a
Corollaire 6.11
Soient f , g : I → R deux fonctions continues sur I telles que 0 ¶ f ¶ g. Alors,
Z
Z
f diverge =⇒
g diverge.
I
I
Exercice 2
Z
+∞
0
sin2 (t)
dt ?
1 + t2
Z
+∞
Remarquons que cette technique n’est pas valable pour
0
sin(t)
dt.
1 + t2
Exercice 3
Z
+∞
1
t
dt ?
2 + t3
2 – Règle des équivalents
Théorème 6.12 : Équivalents
Soient f , g : [a, b[→ R deux fonctions continues sur I, de signe constant au voisinage de b, telles que
Z b
Z b
f (t) ∼ g(t). Alors,
t→b−
f et
a
g sont de même nature.
a
Démonstration
Suppons f positive au voisinage de b. Il existe alors α ∈ [a, b[ tel que :
∀t ∈ [α, b[
1
3
g(t) ¶ f (t) ¶ g(t)
2
2
puis on conclut par comparaison. On adapte la preuve dans le cas négatif.
–7–

Exercice 4
Z
1
0
sin t
dt ? de
t
Z
1
0
Z1
p
sin t
sin(t 2 )
dt ? de
dt ?
t
t
0
On prendra soin de vérifier que l’intégrande est de signe constant au voisinage du point considéré.
3 – Comparaison séries/intégrales
Théorème 6.13 : Comparaison séries/intégrales
Soit f une application continue, positive et décroissante sur [a, +∞[.
Z +∞
P
Alors la série
f (n) et l’intégrale
f (t) dt sont de même nature.
a
Une application directe de ce théorème nous donne de nouvelles séries de référence.
Théorème 6.14 : Séries de Riemann
X 1
Soit α ∈ R.
converge si et seulement si α > 1.
nα
Démonstration
X 1
diverge grossièrement.
nα
1
Supposons maintenant α > 0. Comme t 7→ α est décroissante, continue et positive sur [1, +∞[,
t
Z +∞
X 1
dt
et la série
sont de même nature. La série converge donc ssi α > 1.

l’intégrale
tα
nα
1
Remarquons que pour α ¶ 0, la série
Exercice 5
Déterminer un équivalent de
n
X
1
k=1
k
au voisinage de +∞.
D – Convergence absolue
Définition 6.15 : Convergence absolue
Soit f : [a, b[→ R continue sur [a, b[.
Z b
On dit que
b
Z
| f | converge.
f est absolument convergente lorsque
a
a
Théorème 6.16
Une intégrale absolument convergente est convergente.
Démonstration
• Soit f : [a, b[→ R. On note f + = max( f , 0) et f − = max(− f , 0).
Z b
Z
f
+
et f
−
vérifient 0 ¶ f
Z
Comme f = f
+
+
¶ | f | et 0 ¶ f
−
¶ | f | donc
b
−
−f ,
f
a
+
b
f − convergent.
et
a
f converge.
a
• Soit f : [a, b[→ C. On fait de même avec |Re( f )|, |Im( f )| puis Re( f ), Im( f ).

–8–
Mickaël PROST
Définition 6.17 : Semi-convergence
Soit f : [a, b[→ R continue sur [a, b[.
Z b
Z b
Si
| f | diverge, on dit que
f converge et
a
b
Z
f est semi-convergente.
a
a
Exemple
Z
+∞
Montrer que
1
sin t
dt est semi-convergente.
t
sin t
est continue sur [1, +∞[. Problème en +∞.
t Z x
Z x
cos t
sin t h cos t i x
−
∀x ¾ 1
= −
et cette dernière intégrale converge absolument donc
t
t 1
t2
1
1
Z +∞
sin t
dt converge.
converge. Ainsi,
t
1
Z nπ
n−1 Z (k+1)π
X
sin t
dt. Donc,
• On pose I n =
| f |. Remarquons que I n =
t
0
k=0 kπ
• t 7→
In =
π
n−1 Z
X
k=0
0
Z
n−1 Z π
n
X
sin u
2X1
sin u
du ¾
du =
−−−−→ +∞
u + kπ
(k + 1)π
π k=0 k n→+∞
k=0 0
+∞ sin t t dt .
D’où la divergence de
1
| sin t| sin2 t
1 − cos(2t)
• (variante) ∀t > 1,
¾
=
et
t
t
2t
Z
+∞
1
dt
diverge,
2t
Z
+∞
1
cos(2t)
dt converge.
2t
E – Divergence grossière
D’après le chapitre sur les séries numériques, si
Z +∞
P
un converge, alors un −−−−→ 0.
n→+∞
f (t) dt converge =⇒ f (t) −−−−→ 0 ? La réponse est NON !
De même, a-t-on
t→+∞
a
Théorème 6.18 : Divergence grossière à l’infini
Soit f : [a, +∞[→ R continue.
Si f admet une limite non nulle en +∞ alors
Z
+∞
f (t) dt diverge.
a
Démonstration
Au voisinage de +∞, la fonction est de signe constant et on peut appliquer la règle des équivalents.
Contrairement aux séries, on ne peut rien dire lorsque la limite n’existe pas. En effet, l’intégrale peut
converger sans que f admette une limite en +∞.
Exemple
Considérer une fonction « triangulaire par morceaux » dont les triangles sont d’aires 1/n2 , de hauteur 1,
centrés sur le milieu du segment [n, n + 1].
Z
n+1
2
n
X
1
π2
f (t) dt =
−
−−−
→
−1
k2 n→+∞ 6
k=2
–9–
II – Calcul intégral
A – Intégration par parties
Supposons que f , g : [a, b[→ R sont de classe C 1 sur [a, b[. Par intégration par parties, on obtient :
Z x
Z x

x
0
∀x ∈ [a, b[
f (t)g (t) dt = f (t)g(t) −
f 0 (t)g(t) dt
a
a
Ainsi, si lim f (x)g(x) existe et est finie, alors
b
Z
x→b−
f 0 g et
a
a
b
Z
f g 0 sont de même nature.
a
Par précaution, on commencera par intégrer entre a et x pour effectuer l’intégration par parties sur un
segment puis on passera à la limite.
Exercice 6
Z
+∞
t 2 e−t dt converger et déterminer sa valeur.
0
B – Changement de variable
Rappelons le théorème de changement de variable sur un segment vu l’an dernier.
Théorème 6.19 : Changement de variable sur un segment
Si f : I → R est continue et ϕ : [α, β] → I est de classe C 1 , alors :
Z
ϕ(β)
Z
f (t) dt =
β
f (ϕ(u))ϕ 0 (u) du
α
ϕ(α)
Les choses sont quelque peu différentes lorsque l’on se place sur un intervalle quelconque. La bijectivité de
l’application ϕ est requise !
Théorème 6.20 : Changement de variable sur un intervalle quelconque
Soient f une fonction continue sur ]a, b[ et ϕ :]α, β[→]a, b[ une bijection strictement croissante de
Z b
Zβ
convergence, elles sont égales.
f (ϕ(u))ϕ 0 (u) du sont de même nature et en cas de
f (t) dt et
classe C 1 , alors les intégrales
α
a
Démonstration
Sous de telles hypothèses, l’application ϕ réalise donc une bijection de ]α, β[ dans ]a, b[. Sa bijection
réciproque ϕ −1 est également continue et strictement croissante sur ]a, b[.
Z b
f (t) dt.
• Supposons la convergence de l’intégrale
a
Soit x ∈]α, β[ fixé. Posons alors c = ϕ(x). Pour tout y ∈ [x, β[, par changement de variable sur le
segment [x, y],
Z ϕ( y)
Z y
f (ϕ(u))ϕ 0 (u) du
x
=
t=ϕ(u)
f (t) dt
c
Comme ϕ est une bijection croissante, ϕ( y) −−−→ b donc :
y→β
y
Z
0
f (ϕ(u))ϕ (u) du −−−→
y→β
x
– 10 –
b
Z
f (t) dt
c
Mickaël PROST
Z
β
0
L’intégrale
x
f (ϕ(u))ϕ (u) du converge et vaut donc
Z x
De même, l’intégrale
α
b
Z
c
f (t) dt.
Zc
f (ϕ(u))ϕ 0 (u) du converge et vaut
f (t) dt.
Zβ
Za b
f (ϕ(u))ϕ 0 (u) du et vaut
Au final, on a bien montré que
α
f (t) dt.
a
• On montre de même, en utilisant cette fois-ci les propriétés de ϕ −1 , que la convergence de l’intégrale
Z b
Z b
f (ϕ(u))ϕ 0 (u) du implique celle de
a
f (t) dt.
a

Dans le cas d’une bijection ϕ décroissante, la formule s’écrit :
b
Z
f (t) dt = −
Z
β
f (ϕ(u))ϕ 0 (u) du
α
a
Comme le lecteur l’aura sans doute compris, peu importe la monotonie de ϕ du moment qu’on prend garde
à bien ordonner les bornes des intégrales lors des calculs.
Exercice 7
Z
1
0
dt
p
t(1 − t)
converge et calculer sa valeur.
III – Fonctions intégrables
A – Définition et propriétés
Définition 6.21 : Fonction intégrable
Soit f : I → K une fonction continue
Z sur un intervalle I à valeurs dans K.
f (t) dt est absolument convergente.
On dit que f est intégrable sur I si
I
Étudier l’intégrabilité de f sur I revient donc à étudier une intégrale classique sur lun segment ou bien à
étudier la convergence absolue d’une intégrale impropre.
Z
f (t) dt converge.
Si f est intégrable sur I alors
I
Théorème 6.22
Si f : I → K est continue et intégrable, alors :
Z Z
f ¶ |f |
I
I
Démonstration
L’inégalité a bien un sens d’après le commentaire précédent !
Supposons maintenant que I = [a, b[ et que f est à valeurs dans R.
Rappelons que montrer que |x| ¶ y revient à montrer que − y ¶ x ¶ y.
– 11 –
Tout d’abord, pour tout t ∈ [a, b[, −| f (t)| ¶ f (t) ¶ | f (t)| et donc, par croissance de l’intégrale,
Z x
Z x
Z x
∀x ∈ [a, b[
| f (t)| dt ¶
−
a
f (t) dt ¶
a
| f (t)| dt
a
On fait alors tendre x vers b− pour pouvoir conclure :
b
Z
| f (t)| dt ¶
−
a
b
Z
f (t) dt ¶
b
Z
a
| f (t)| dt
a
On admet le résultat dans le cas où f est à valeurs dans C.

Proposition 6.23
L’ensemble des fonctions continues et intégrables sur I est un espace vectoriel.
Démonstration
Montrons pour cela que c’est un sous-espace vectoriel de C 0 (I, K).
• La fonction nulle est bien intégrable sur I.
• Soient f , g : I → K deux fonctions continues et intégrables sur I et λ ∈ K.
∀t ∈ I
Z
Z
|g| convergent absolument, il en va de même pour |λ f + g| par comparaison.
| f | et
Comme
I
|0 ¶ λ f (t) + g(t)| ¶ |λ| · | f (t)| + |g(t)|
I
B – Comparaison et domination
Lemme 6.24 : Domination
Soit f : I → K et ϕ : I → R+ deux fonctions continues telles que :
∀t ∈ I
| f (t)| ¶ ϕ(t)
Si ϕ est intégrable sur I, alors f est intégrable sur I.
Démonstration
Z
| f (t)|.
Il s’agit juste de comparer deux fonctions positives. On obtient alors la convergence de
I
Théorème 6.25 : Règle du petit o et du grand O
Soit f , g : [a, b[→ R. On suppose la fonction g continue et intégrable sur [a, b[.
• si f = o(g) alors f est intégrable sur [a, b[ ;
b−
• si f = O(g) alors f est intégrable sur [a, b[.
b−
– 12 –

Mickaël PROST
Démonstration
Supposons tout d’abord que f (t) = o(g(t)) avec g intégrable sur [a, b[. Alors
t→b−
Ainsi, il existe c ∈ [a, b[ tel que :
∀t ∈ [c, b[
f (t)
−−−→ 0.
g(t) t→b−
f (t) g(t) ¶ 1
Et donc, pour t > c, | f (t)| ¶ |g(t)|. Il n’y a plus qu’à conclure par comparaison.
Le raisonnement est identique dans le cas où f = O(g).
b−
Le théorème précédent s’adapte facilement au cas d’un intervalle de la forme ]a, b].
Corollaire 6.26
Soit f : [a, +∞[→ R continue sur [a, +∞[.
Z +∞

1
f converge (absolument).
Si f (t) = o α au voisinage de +∞ avec α > 1 alors
t
a
Exercice 8
Z
+∞
2
e−t dt ?
0
– 13 –