Intégrales Généralisées
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Intégrales Généralisées
UFR SFA, Licence 2e année, MATH326 Intégrales Généralisées • Toutes les fonctions sont continues par morceaux même s’il n’en est pas fait mention ! 1. Définitions et Exemples. • f : [a, +∞[−→ R continue par morceaux • Pour tout x, on peut calculer F (x) = Z x f (t) dt a • La fonction F possède-t-elle une limite quand x → +∞ ? Définition. Soit f : [a, +∞[−→ R une fonction continue par morceaux. On dit que l’intégrale généralisée de f sur [a, +∞[ converge lorsque limite finie quand x → +∞. On note dans ce cas Z +∞ f (t) dt = lim Z x x→+∞ a a Z x f (t) dt possède une a f (t) dt. Sinon on dit que l’intégrale généralisée est divergente. Exemple(s). • f (t) = e−t : l’intégrale de f sur [0, +∞[ est convergente et Z +∞ −t e dt = lim Z x x→+∞ 0 0 e−t dt = lim x→+∞ 1 − e−x = 1. Remarque(s). • Une intégrale peut être généralisée ailleurs qu’en +∞ ! 1 ? f (x) = √ sur ]0, 1] ; x ? l’intégrale de f sur ]0, 1] converge ! Z 1 0 Z 1 √ dt dt √ = lim √ = lim 2 1 − x = 2. t x→0 x t x→0 • Une intégrale peut être généralisée en plusieurs endroits ! e−x ? f (x) = √ sur ]0, +∞[ ou g(x) = (x + 1)e−|x| sur ] − ∞, +∞[ x ? Z +∞ 0 f (t) dt converge si Z 1 0 f (t) dt et Z +∞ f (t) dt convergent 1 1 Ph. Briand, 2012/2013 ? Z +∞ g(t) dt converge si −∞ Z +∞ g(t) dt et Z 0 0 g(t) dt convergent +∞ • Si les intégrales généralisées de f et g sur [a, +∞[ convergent, alors celle de f +λg converge aussi et Z Z Z +∞ +∞ +∞ f (t) dt + λ (f + λg) (t) dt = g(t) dt. a a a 2012/2013 : fin du cours 6 2. Fonctions positives. • f : [a, +∞[−→ R+ : pour tout x ≥ a, f (x) ≥ 0 ; F (x) = Z x f (t) dt est croissante a ? F possède une limite finie en +∞ ssi F est majorée ? sinon limx→+∞ F (x) = +∞ Théorème (Intégrales de Riemann). 1. Z +∞ 1 2. Z 1 0 dx converge ssi α > 1 ; xα dx converge ssi α < 1. xα Démonstration. • Si α 6= 1, une primitive de t 7−→ t−α est t 7−→ (−α + 1)−1 t−α+1 • Pour 0 < x < 1 < y, Z y 1 Z 1 x ! dt 1 1 = 1 − α−1 , si α 6= 1, α t α−1 y dt 1 1−α = 1 − x , si α 6= 1, tα 1−α Z y 1 Z 1 x dt = ln y, t dt = − ln x t • Par conséquent, lim Z y y→+∞ 1 lim Z 1 x→0 x Remarque(s). • 1 dt = , α t α−1 dt 1 = , tα 1−α Z +∞ 0 si α > 1, lim Z y y→+∞ 1 si α < 1, lim Z 1 x→0 x dx est divergente pour tout α ! xα 2 dt = +∞, tα dt = +∞, tα si α ≤ 1, si α ≥ 1. Théorème (Comparaison). On suppose que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) pour tout x ≥ a. 1. Si l’intégrale de g sur [a, +∞[ est convergente, alors celle de f aussi 2. Si l’intégrale de f sur [a, +∞[ diverge, celle de g aussi • f (x) = Z +∞ 1 sin2 (x) sur [1, +∞[ ; on a 0 ≤ f (x) ≤ . Donc f (t) dt est convergente. x2 x2 1 Corollaire. Soient f et g deux fonctions positives sur [a, +∞[. 1. Si limx→+∞ Z +∞ Z +∞ f (x) g(t) dt ont même nature. f (t) dt et = l > 0, alors g(x) a a 2. Si limx→+∞ Z +∞ Z +∞ f (x) = 0, g(t) dt converge implique que f (t) dt converge. g(x) a a 3. Si limx→+∞ Z +∞ Z +∞ f (x) f (t) dt diverge. g(t) dt diverge implique que = +∞, g(x) a a Exemple(s). • Z ∞ e−αt dt converge pour tout α > 0 puisque x2 e−αx −→ 0 si x → ∞. 0 • Z ∞ 2 2 e−x dx converge car ex e−x −→ 0 si x → +∞. 0 3. Fonctions quelconques. Proposition. Soit f : [a, +∞[−→ R continue par morceaux. Si Z +∞ |f (x)| dx converge alors Z +∞ f (x) dx converge également. a a Remarque(s). • On dit que l’intégrale de f est absolument convergente. Z ∞ • On peut avoir |f (x)| dx divergente et a est semi-convergente. Z ∞ f (x) dx convergente ; on dit que a Z ∞ f (x) dx a Démonstration. • 0 ≤ |f (x)| − f (x) ≤ 2|f (x)| est intégrable • il suffit d’écrire f (x) = |f (x)| − (|f (x)| − f (x)) ! Remarque(s). Si f est bornée sur ]a, b[ avec a et b réels, alors Z b |f (x)| dx converge. a Exemple(s). • Z +∞ 0 sin x dx est semi-convergente. x ? f est bornée sur ]0, 1[ car | sin x| ≤ |x| pour tout réel x. ? Sur [1, +∞[ on fait une IPP Z z 1 sin x cos x dx = − x x 3 x=z x=1 − Z z 1 cos x dx. x2 ? Le premier terme tend vers cos 1 quand z → ∞ ? la dernière intégrale est absolument convergente. • On a Z +∞ 1 Z nπ π | sin x| dx divergente puisque x n Z kπ n n X X X | sin x| | sin x| 1 Z kπ 1 Zπ dx ≥ dx ≥ | sin x| dx = | sin x| dx x x k=1 (k−1)π k=1 kπ (k−1)π k=1 kπ 0 • Plus généralement, Z +∞ 1 Z +∞ cos x sin x dx et dx sont : α x xα 1 ? absolument convergentes pour α > 1 ; ? semi-convergentes pour 0 < α ≤ 1. 2012/2013 : fin du cours 7 Pas fait Proposition (Critère d’Abel). Soient f et g continues par morceaux sur [a, +∞[. On suppose que f est décroissante avec limx→+∞ f (x) = 0 et qu’il existe K ≥ 0 tel que ∀x ≥ a, Z x g(t) dt a Alors Z +∞ f (x)g(x) dx est convergente. a 4 ≤ K.