Sommes et séries

Sommes et séries
1.3
Méthodes
P
Constantes si elles sont en facteur ! nk=0 2k + 1
Pn+2 2
1 Synthèse sommes finies
Borne supérieure
k=0 k
Pn
2
Pb
Pb
Borne inférieure
k=3 k
u
=
u
+
u
+
u
est
défini
pour
a
≤
b
;
Définitions
a
a+1
k=a k
k=a k
Pn
n
Puissance
manquante
·P
· · + ub pour
les
petites
sommes.
k=0 k
P0
Pn
n+1
Pn
2k
k=0 uk = u0 pour les récurrences.
k=0 uk + un+1 et
k=0 uk =
Puissance en puissance k
k=0 q
Pn
k+1
Puissance en produit par une constante
k=0 q
1.1 Opérations
Pn
k
k
Produit en puissance
k=0 2 · 3
Chasles (découpage horizontal) Valable uniquement si toutes les
Pn
Produit en somme
bornes sont en ordre croissant !
k=0 (k + 1) (k + 2)
Linéarité (découpage vertical) Somme de sommes.
Binôme Où doit on retrouver
de sommation ? Où retrouve-t-on
Pnl’indice
n−1
la
puissance
?
Calculer
Factorisation des constantes par rapport à l’indice de sommation.
k=0 k+1
n
Ecriture
factorielle
de
uniquement si 0 ≤ k ≤ n.
k
Réindexation Change les deux bornes et le contenu. Mais ce n’est pas
(n + 1)! = (n + 1) · n! uniquement si n ≥ 0 le meilleur moyen pour rectifier
n
n
n
P
Pn les bornes.
n
Transformation
du
coefficient
:
symétrie
=
,
Pascal
+
k
k
k
k
Pour x 6= 1, calculer (1 − x) k=0 kx et en déduire k=0 kx .
n−k
n
n+1
n
n−1
= k+1 , par factorielle k · k = n · k−1
k+1
Dérivation Pour
finie ! x → x0 se dérive en x → 0.
Pn les sommes
Formule changeante
Jusqu’à un indice (apparaı̂t souvent en probaCalculer k=1 k · xk−1
P3n
Pn
bilités)
|n
−
k|
.
k=0
Simplification diagonale Il faut avoir exactement k=0 uk+1 − uk =
P
Pn
k
Suivant la parité k=0 k 2 : 2n
un+1 − u0
k=0 k (−1)
k pair
Inégalités Montrer que pour tout k ≥ 2 :
P
majorant de nk=1 k12
1
k2
≤
1
k−1
−
1
k
en déduire un
1.4
1.2
Sommes usuelles
Pb
1 = b − a + 1 si b ≤ a
Pk=a
P
n
n(n+1)
: nk=0 k 2 = n(n+1)(2n+1)
k=0 k =
2
6
Pn
n2 (n+1)2
3
k=0 k =
4
(
b − a + 1 si q = 1
Pb
b−a+1
pour a ≤ b : k=a q k =
q a 1−q1−q
si q 6= 1
Pn
n
n k n−k
= (a + b)
k=0 k a b
Synthse sommes et sries
Sommes doubles
P P
Basiques Distinguer variables et constantes. ni=0 ij=0 i · j
Pn Pn
Permutation de sommes
i=1
j=i somme pour tous les couples
d’entiers (i, j) tels que :
1 ≤ i ≤ n et i ≤ j ≤ n ; que l’on regarde comme 1 ≤ i ≤ j ≤ n ;
puis mettre
j en premier 1 ≤ j ≤ n et 1 ≤ i ≤ j ; pour trouver
P
P
n
j=1
j
i=1
P
Calculer ni=1
Pn
i
j=i j
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2
2.1
Cours séries
Définition
2.4
Critères de convergence pour les séries à
termes positifs.
Rappel Une suite croissante et ............ est convergente,
P
u
:
série
de
terme
général
(u
)
et
de
premier
Série notée
k
k
une suite croissante et non .........tend vers +∞.
k≥1
k≥1
indice 1.
Lemme Une série à termes positifs est croissante. (Signification ? Le
Série convergente signification ?
démontrer).
P
u
est
?
Somme de la série notée +∞
Que peut-on en déduire suivant qu’elle est majorée ou non.
k
k=1
Aboslue convergente Si elle est absolument convergente alors elle est Théorème Si pour tout k ≥ 0 : 0 ≤ uk ≤ vk alors
P
P
convergente.
si
k≥0 uk converge (par majoration de
k≥0 vk converge alors
Contre exemple ?
termes
P
P positifs)
Intérêt : critères de convergence.
si k≥0 uk diverge alors k≥0 vk diverge (par minoration de termes
positifs)
2.2 Usuelles
Preuve Les sommes partielles vérifient les mêmes inégalités.
Puis on a convergence ou divergence par minoration ou majoration.
Géométriques
si |q| < 1 et divergent sinon.
P++∞ k et1 dérivées
P++∞ Convergent
1
k−1
Théorème
et que un = o (vn ) alors
= (1−q)
2 :
P Si vn ≥ 0 et un ≥ 0 P
k=0 q = 1−q :
k=1 kq
P++∞
v
converge
alors
si
2
k≥0 uk converge (par majoration de
k≥0 k
k−2
= (1−q)
3
k=2 k (k − 1) q
termes
P
P++∞ 2 k q(q+1)
P positifs)
P
q
k
kq
=
k
q
=
: ++∞
:
si
u
diverge
alors
2
3
k
k=0
k=0
k≥0
k≥0 vk diverge (par minoration de termes
(1−q)
(1−q)
positifs)
Exercice Démontrer les deux premières.
P
xk
x
Preuve Que signifie un = o (vn ) ? et il existe un rang n0 à partir duquel
Exponentielles convergent +∞
k=0 k! = e
P+∞ n 2k
0 ≤ un /vn ≤ 1 et un ≤ vn .
Classique
n=0 k n! ressemble à une somme binomiale mais ...
On est alors ramené au théorème précédent.
P
1
P
Riemann
k≥1 kα converge si α > 1 et diverge si α ≤ 1.
Théorème Si unP∼ vn et que vn ≥ 0 alors
k≥0 uk converge si et
seulement si k≥0 vk converge. (par équivalence de termes positifs)
2.3 Opérations
Preuve Que signifie un ∼ vn ? et il existe un rang n0 à partir duquel
1
≤ uvnn ≤ 32 d’où 21 vn ≤ un ≤ 32 vn et la convergence ou la divergence
Méfiance
l’erreur :
2
P+∞ Chercher
P
P
P
+∞
+∞
+∞
k
0
par application du premier théorème.
+ k=1 2k = 1 + 2 k=1 2k−1 = 1 + 2 k=0 2k
k=0 2 = 2 P
+∞ k
Donc
Méthode Un équivalent est une série de référence.
P (1 −k 2) k=0 2 = 1
et +∞
2
=
−1
somme
de
termes
positifs
!
Sinon, on fait apparaı̂tre un terme qui tend vers 0 fois une série de
k=0
Conclusion ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
référence.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice Montrer que la série de terme général (−1)k ln (k) · e−k
k≥1
Prudence : on repart de la somme partielle.
converge.
Synthse sommes et sries
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