Colle MP semaine 2. Le 18/09 2016. Nom : Cunat Cours : Taylor

Colle MP semaine 2. Le 18/09 2016.
Nom : Cunat
Cours : Taylor-Lagrange.
Exercice 1. ** utilisation de la formule de Taylor-Lagrange
Soit f ∈ C 2 (R, R). On suppose |f | et |f 00 | majorées, on note A = kf k∞ et B = f 00 ∞ . Montrer que |f 0 |
√
est majorée par 2 AB.
Indication : Le titre donne déjà une indication ! On utilisera ensuite qu’un certain trinôme est de signe constant.
Pour tout (a, h) ∈ R2 , il existe c tel que f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h =
2
h2 00
f (c).
2
D’où f 0 (a)h = f (a + h) − f (a) − h2 f 00 (c) et |f 0 (a)||h| 6 2A + B2 h2 .
D’où (un nombre est inférieur à sa valeur absolue !) |f 0 (a)|h 6 2A + B2 h2 .
On obtient un trinôme du second degré en h qui ne change pas de signe. Son discriminant est négatif, ce qui
permet de conclure.
Exercice 2. *** terme général d’une série
P convergente
Soit u ∈ (R+ )N décroissante. On suppose n un convergente. Montrer que limn→∞ nun = 0.
Indication : On peut procéder par l’absurde et revenir à la définition d’une limite.
Supposons par l’absurde que limn→∞ n · un 6= 0, donc il existe ε ∈ R+∗ tel que ∀n0 ∈ N, ∃n > n0 tq |nun | > ε.
Fixons un tel ε. Comme u est positive, on a ∀n0 ∈ N, ∃n > n0 tq un > nε .
Soit n0 ∈ N et n comme dans l’assertion ci-dessus. Du fait que u est décroissante, on a :
u0 > u1 > . . . un >
d’où en sommant :
n
X
ε
n
uk > ε.
k=0
Là, on a traduit l’hypothèse de l’absurde. Reste à voir comment s’en servir... On va contredire le fait que la suite
des restes tend vers 0
Le fait que la suite des reste tend vers 0 prouve que ∃n0 ∈ N tq ∀n > n0 ,
∞
X
k=n0
uk <
ε
.
2
Fixons un tel n0 , et appliquons notre hypothèse à 2n0 .
Le
ε
2
et le 2n0 ont été trouvé au brouillon pour obtenir une contradiction...
ε
Nous obtenons un nombre n1 > n0 tel que un1 >
. Alors, grâce au fait que u est positive et décroissante :
n1
∞
X
k=n0
n1
X
uk >
k=n0
uk >
(n1 − n0 + 1)ε
n1
(n1 − n0 + 1)
> 21 .
n1
∞
∞
X
X
ε
ε
Maintenant les hypothèses
uk > et
uk < sont contradictoires, d’où la démonstration.
2
2
Et comme n1 > 2n0 , on obtient que
k=n0
Exercice 3. ** exemples de séries
Nature de la série de terme général :
k=n0
1
1) e − (1 + )n
n
√
2) cos(π n2 + n + 1)
Indication : Comme le terme général ne fait intervenir que des fonctions usuelles, un développement asymptotique
est une manière simple de conclure.
1
e
1
1. On trouve e − (1 + )n =
+ O( 2 .
n n→∞ 2n
n
−1
qui est le terme général d’une série divergente. De plus, cet équivalent
Ainsi le terme général est équivalent à
2n
et de signe constant, donc les théorèmes de comparaison s’appliquent. On déduit que la série diverge.
√
1
3π
+O
. Ainsi la série est somme de deux série convergente
2. On trouve cos(π n2 + n + 1) = (−1)n
n→∞
8n
n2
(l’une alternée, l’autre par comparaison à une série de Riemann), donc elle converge.
Nom : Teulé
Cours : Séries de terme général équivalent.
Exercice 1. ** contre-exemple au théorème sur les séries de terme général équivalent
(−1)n
Nature de la série √
. Commentaires ?
n + (−1)n
Indication : Effectuer un développement asymptotique.
(−1)n
On trouve que la série diverge, alors que son terme général équivaut à √ , terme général d’une série convergente.
n
Bien sûr, ceci est possible car ce n’est pas une série à termes positifs.
!
(−1)n Notons au passage que c’est une série alternée mais que le théorème du cours ne s’applique pas car √
n + (−1)n n’est pas décroissante.
Exercice 2. ** suite récurrente (CCP)
Soit u ∈ RN telle que u0 ∈]0, 1[ et ∀n ∈ N, un+1 = 12 (u2n + un ).
1. Montrer que u converge vers 0.
X
2. Donner la nature de la série
uk .
k
Indication : 1)suite récurrente : utiliser la fonction f : x 7→ 21 (x2 + x).
2) d’Alembert
2
N
n∈
1.
2. ∀n ∈ N,
X
|un+1 |
1
1
1
=
−→
donc par le critère de d’Alembert, la série
uk converge.
|un |
2 |un + 1| n→∞ 2
k
Exercice 3. * exemples à paramètres
Soit α ∈ R. Pour quelles valeurs de α les séries suivantes convergent-elles ? Divergent-elles grossièrement ?
P
α
1)
k ln(1 + k )
X ln(k + 1) − ln(k)
2)
kα
k
X
1
3)
sin( )k α
k
k
X
k+1
4)
(k 2 + k + 1)α
k
r
X k+1
α
5)
− exp( )
k
k
k
Indication :
Nom : Arricault
Cours : Définitions générales sur les séries. Démo : d’Alembert.
Exercice 1. * exemples dans le cas ambiguë de d’Alembert
P
un+1
Donner un exemple de suites u ∈ (R∗ )N telle que limn→∞
= 1 et n un converge, puis telle que
u
n
P
n un diverge.
P
P 1
k
1 diverge,
k
converge. Dans les deux cas, le quotient des termes généraux tend vers 1.
k2
Exercice 2. ** comparaison dePséries
an converge.
Que dire de la sérieP
de terme général (a0P
...an√
)n∈N ?
Soit a ∈ (R+ )N tel que la série
P
Soit encore b ∈ (R+ )N tel que la série
bn converge. Que dire de n max(an , bn ) ? De n an bn ?
Indication : Utiliser les théorèmes de comparaison.
Notons que toutes les
séries étudiées sont à termes positifs, donc les théorèmes de comparaison s’appliquent.
X
• Comme la série
an converge, son terme général tend vers 0. Donc à partir d’une certain rang, disons n0 ,
n
an 6 1.
3
Dès lors pour tout n > n0 , on a a0 . . . an 6 a0 . . . an0 aX
n . Le terme a0 . . . an0 est juste une constante, et an est le
X
terme général d’une série convergente. Donc la série
a0 . . . an0 an converge, et par comparaison,
a0 ...an
n
n
aussi.
X
• L’inégalité ∀n ∈ N, max(an , bn ) 6 an + bn permet de conclure que
max(an , bn ) converge.
n
• Enfin, l’inégalité ∀n ∈ N,
Xp
√
an + bn
an bn 6
prouve que la série
an bn converge.
2
n
4