CCP Maths 2 PC 2004 — Corrigé

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CCP Maths 2 PC 2004 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par Julien
Lévy (ENS Ulm) et Walter Appel (Professeur en CPGE).
Ce sujet est un grand classique, qui tourne autour de la fonction
∞ 1
P
ζ : s 7→
s
n=1 n
de Riemann. Les principaux outils mis en œuvre sont les séries entières et les intégrales
à paramètres.
• La première partie propose d’étudier une version généralisée de la fonction ζ,
sous la forme de la série entière
∞ zn
P
s
n=1 n
Après avoir soigneusement examiné ses domaines d’existence selon z et s,
on montre un lien avec la fonction Γ d’Euler.
• La deuxième partie se consacre à la fonction ζ, dont on étudie la régularité, la monotonie, les limites (en 1 et en +∞) et un équivalent classique
lorsque s → 1+ .
• La troisième partie vise à calculer quelques intégrales en s’appuyant d’abord
sur un calcul usuel de ζ(2) et ζ(4) au moyen des séries de Fourier, puis en
utilisant la relation vue à la première partie avec la fonction Γ.
Ce problème est de difficulté modérée, en dépit de la richesse des résultats obtenus,
parce que l’énoncé est nettement directif ; en outre, vous êtes supposé être déjà
familier avec plusieurs des questions posées, qui sont très classiques. Tout ceci en
fait un excellent sujet de révision.
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Indications
Partie I
I.1 Appliquer le critère de d’Alembert pour les séries entières.
I.2.1 Utiliser les résultats sur les séries de Riemann.
I.2.3 Pour démontrer la convergence de la série, majorer le module de son terme
général en utilisant le début de la question et la monotonie de t 7−→ t−s .
I.3.1 Intervertir la somme et l’intégrale.
I.4.1 Effectuer le changement de variable u = nt.
I.4.2 Intégrer terme à terme et utiliser la question I.4.1.
Partie II
II.1 Montrer que la série des dérivées converge uniformément sur tout compact de
l’intervalle ] 1 ; +∞ [.
II.3 Utiliser les comparaisons série–intégrale.
Partie III
III.1.1 Pour montrer la parité de g, se ramener à x ∈ [ 0 ; 2π [.
III.1.2 Appliquer g en une valeur particulière puis utiliser la formule de Parseval.
III.2.2 Utiliser la question I.4.2.
π
.
2
III.3.1 Considérer les parties réelles et imaginaires dans la formule (1) de la question I.4.2.
π
III.3.2 Appliquer le résultat de la question précédente à θ = 0,
et π.
2
III.2.3 Appliquer le résultat de la question précédente à θ = 0 et θ =
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Ce sujet fait un usage intensif des séries, en utilisant une notation qui
peut prêter à confusion. Afin d’écarter tout doute, voici les conventions
usuelles :
P
• pour désigner une série, on utilise le symbole sigma sans indice : un ;
• la somme de la série (lorsque cette dernière converge) est normalement
∞
P
notée
un .
n=0
P
Le défaut de la notation
un est de ne pas préciser l’indice à partir
duquel on effectue la sommation, disons n0 pour fixer les idées, par exemple
dans une série tronquée. Lorsque le contexte ne permet pas de leverPfacilement
toute ambiguïté, certains enseignants recourent à la notation
un pour
n>n0
désigner la série, alors que syntaxiquement cette écriture devrait désigner
la somme. D’autres enseignants utilisent au contraire cette notation comme
abréviation de la somme. Le statut de cette notation est donc ambigu et,
finalement, seul le contexte permet de comprendre ce que l’on a voulu dire.
∞
P
L’auteur de l’énoncé a fait le choix d’utiliser la notation
un pour
n=n0
désigner une série, et non sa somme. Afin de faciliter votre lecture, nous
suivons au plus près les notations de l’énoncé et nous adoptons par conséquent
la même convention dans ce corrigé.
Gardez toutefois à l’esprit que cette convention P
n’est pas usuelle et que
vous pouvez sans crainte adopter la forme classique un si elle vous semble
plus naturelle : lorsque les notations sont aussi proches, c’est la justesse,
la précision et la clarté de vos réponses qui seront évaluées, pas vos notations.
Partie I
I.1 Soit s un nombre réel et n > 1. On a
1
(n + 1)−s
−s ln 1+ n
=
e
−−−−→ 1
n→∞
n−s
Le critère de d’Alembert pour les séries entières montre alors que
P 1 n
z est 1.
s
n=1 n
+∞
Le rayon de convergence de la série entière
I.2.1 Soit z = e i θ un nombre complexe de module 1 et s un réel. On a
n
z = 1
ns ns
C’est une série de Riemann qui converge si et seulement si s > 1. De plus, si s 6 0,
la suite (1/ns )n∈N∗ ne tend pas vers 0 donc la série associée ne peut converger.
En résumé,
La série converge absolument si s > 1 et diverge grossièrement si s 6 0.
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Pour redémontrer ce résultat sur les séries de Riemann, on utilise les comparaisons série-intégrale.
Si s 6 0, la suite (1/ns )n∈N∗ ne tend pas vers 0, donc la série diverge
grossièrement.
1
Si s > 0, la fonction t 7−→ s est positive et décroissante sur [ 1 ; +∞ [.
t
1
À l’aide du schéma suivant, on voit qu’on peut encadrer s (qui est à la
n
fois l’aire du rectangle R et celle du rectangle R ′ ) par les deux intégrales,
calculées entre n et n + 1 d’une part, et n − 1 et n d’autre part.
✻
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....
....
.....
.....
.....
......
........
..........
..............
R
R′
...............
1
ns
✲
n−1
0
Z
n+1
n
n
1
1
dt 6 s 6
ts
n
n+1
n
1
s
t
n−1
Z
Pour s 6= 1, cela donne
Z N+1
Z N
Z N
N 1
P
1
1
1
dt
6
6
dt
=
dt + Cte
s
s
s
s
t
n
t
t
n=2
2
1
2
Les deux intégrales se comportent de la même manière lorsque N tend vers
l’infini : étudions celle de droite.
N
Z N
1
1
1
1
1
1
dt
=
=
−
s
1 − s ts−1 2
s − 1 2s−1
Ns−1
2 t
Regardons ensuite sa limite lorsque N tend vers l’infini, pour pouvoir en
déduire le comportement de la série.
1
1
1
1
1
• Si s > 1,
− s−1 −−−−−→
N→+∞ s − 1
s − 1 2s−1
N
2s−1
donc la série converge.
1
1
1
• Si s < 1,
− s−1 −−−−−→ +∞
N→+∞
s − 1 2s−1
N
donc la série diverge.
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