Ch.03 - Compléments sur les séries numériques
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Ch.03 - Compléments sur les séries numériques
3. Compléments sur les séries numériques Dans tout le chapitre, K = R ou C et “positif” est à prendre au sens large. I - Séries alternées 1) Définition (−1)n an où les an sont des réels de même signe. On appelle série alternée toute série de la forme 2) Condition suffisante de convergence (théorème Soit spécial des séries alternées) un une série alternée dont la valeur absolue du terme général décroît et tend vers 0. Alors un converge. De plus, pour tout p dans N, le reste Rp = ∞ n=p+1 un est du signe du “premier terme négligé” up+1 et majoré en valeur absolue par ce même terme : |Rp | ≤ |up+1 | Dém. (idée : les suites (S2q ) et (S2q+1 ) sont adjacentes). Quitte à remplacer un par −un , je peux supposer que : ∀n ∈ N un = (−1)n an et tend vers 0. En notant (Sp ) la suite des sommes partielles, j’ai où an = |un | décroît ∀p ∈ N Sp+2 = Sp + (−1)p+1 ap+1 + (−1)p+2 ap+2 = Sp + (−1)p+1 (ap+1 − ap+2 ) donc la suite (S2q ) est décroissante tandis que (S2q+1 ) est croissante. De plus : et ap+1 − ap+2 ≥ 0 S2q+1 − S2q = −a2q+1 −→ 0 q→∞ par conséquent les suites (S2q ) et (S2q+1 ) sont adjacentes : elles convergent vers une même limite S et donc (Sp ) converge également vers S, d’où la convergence de la série un , avec en outre : d’où S2q+1 − S2q ≤ S − S2q ≤ 0 ∀q ∈ N S2q+1 ≤ S ≤ S2q soit : −a2q+1 ≤ R2q ≤ 0 d’où |R2q | ≤ a2q+1 = |u2q+1 |. De même : ∀q ∈ N S2q+1 ≤ S ≤ S2q+2 d’où 0 ≤ S − S2q+1 ≤ S2q+2 − S2q+1 soit : 0 ≤ R2q+1 ≤ a2q+2 d’où |R2q+1 | ≤ a2q+2 = |u2q+2 | et finalement : ∀p ∈ N |Rp | ≤ |up+1 | . NB : si un est une série alternée vérifiant les hypothèses du TSSA, n≥n0 alors la somme S est du signe du premier terme un0 . En effet, S = un0 + Rn0 avec |Rn0 | ≤ |un0 +1 | ≤ |un0 | . Plus généralement, chaque somme partielle Sp est du même signe que la somme S de la série. Exemple : pour tout α > 0, la série alternée n≥1 (−1)n−1 converge, car elle vérifie les hypothèses du nα TSSA. Noter que, pour α > 1, cette série est absolument convergente, tandis que, pour 0 < α ≤ 1, elle est semi-convergente (cf. les séries de Riemann). Remarquer que, pour α > 1, la majoration du reste fournie par le TSSA est meilleure que celle obtenue par comparaison à une intégrale de la série des valeurs absolues. Les quatre sommes : pour α > 1, compte tenu des résultats sur les séries de Riemann, nous disposons des sommes suivantes (les quatre séries sont absolument convergentes). ∞ A= 1 ; nα n=1 ∞ B= (−1)n−1 ; nα n=1 ∞ C= k=1 1 = (2k − 1)α ∞ k=0 1 ; (2k + 1)α ∞ D= k=1 1 . (2k)α Il faut savoir que, dès que l’on connaît une seule de ces quatre sommes, on en déduit les trois autres ! 3. Compléments sur les séries numériques Page 2 En effet nous avons immédiatement les relations : 1 D = α A (banal !) 2 A = C + D (séparer les termes de rangs pair et impair) B = C − D (idem) Il en résulte 1 1 A et B = A − 2D = 1 − α−1 2α 2 ce qui permet toutes les “transitions”. C = 1− A, Ces remarques sont souvent utiles en relation avec les séries de Fourier, qui permettent parfois de calculer l’une desdites sommes. On en déduit alors les trois autres ! Enfin, il est bon de comprendre que l’expression de B permet de profiter de la majoration du reste fournie par le TSSA : voir au chapitre 5 l’étude du comportement de la fonction ζ de Riemann au voisinage de 1. II - Séries à termes réels positifs 1) Condition nécessaire et suffisante de convergence Soit (un ) ∈ RN , telle que un ≥ 0 à partir d’un certain rang n0 . un converge si et seulement si la suite (Sp ) des sommes partielles est majorée. Sinon Sp −→ +∞. p→∞ (En effet, (Sp )p≥n0 est croissante.) 2) Utilisation des relations de comparaison Propriété 1 : soient (un ) et (vn ) à termes réels positifs à partir d’un certain rang, telles que un = O (vn ) (c’est le cas en particulier lorsque un ≤ vn à partir d’un certain rang) ∗ si vn converge, alors un converge ; ∗ si un diverge, alors vn diverge. Propriété 2 : soient (un ) et (vn ) telles que un ∼ vn et de signe constant à partir d’un certain rang. un et vn sont de même nature. NB : deux suites équivalentes sont de même signe à partir d’un certain rang ; il suffit de connaître le signe de l’une des deux suites équivalentes. Attention ! Ces propriétés peuvent être en défaut lorsque un et vn ne sont pas de signe constant. (−1)n Exemple : soit un = √ ; n − (−1)n (−1)n un est une série alternée, un ∼ vn où vn = √ ; n n≥1 vn vérifie les hypothèses du TSSA et donc converge et pourtant. . . un diverge ! En effet : 1 1 un = vn + wn où wn = un − vn = √ √ n ∼ n ( n − (−1) ) n 1 donc wn diverge (appliquer la propriété 2 à wn ∼ , de signe constant) ; ainsi un diverge. n √ n n Formule de Stirling : n! ∼ 2πn . e 3. Compléments sur les séries numériques Page 3 1√ n n n ; pour montrer que la suite (un ) converge, je montre que la n! e suite (ln un ) converge, en montrant que la série vn converge, où : Dém. (non exigible) Soit un = vn = ln un+1 − ln un = ln (n + 1)n+1/2 1 · e nn+1/2 = n+ 1 1 ln 1 + 2 n −1∼ 1 ; 12n2 ainsi la suite (ln un ) converge vers un réel ℓ ; donc, par continuité de la fonction exponentielle, (un ) converge vers L = eℓ > 0 ; par conséquent : 1√ n n n! ∼ n . L e √ On peut montrer que L = 1/ 2π, par exemple à l’aide des intégrales de Wallis. Comparaison à une série de Riemann Lorsqu’un équivalent “simple” de un n’apparaît pas, mais que un tend “suffisamment vite” vers 0, penser à étudier nα un avec α convenablement choisi. . . En effet, s’il existe α > 1 tel que la suite (nα un ) soit bornée (en particulier si elle converge vers 0), alors 1 un est absolument convergente (en effet |un | = O ). nα s Par exemple, pour tout s > 0, e−n converge. 3) Règle de d’Alembert Propriété : soit (un ) à termes > 0 à partir d’un certain rang, telle que lim n→∞ • si ℓ < 1, alors • si ℓ > 1, alors un+1 = ℓ ∈ R+ ∪ {+∞} un un converge ; un diverge ; • si ℓ = 1 : cas douteux de la règle de d’Alembert (cf. les séries de Riemann). un+1 Dém. Si ℓ < 1, je fixe r tel que ℓ < r < 1 ; alors, à partir d’un certain rang, ≤ r d’où n0 tel que un un u la suite soit décroissante et donc (récurrence immédiate) : ∀n ≥ n0 0 < un ≤ rnn00 · rn . n r n≥n0 Ainsi un = O (rn ). J’en déduis la convergence de Même méthode pour ℓ > 1. rn . un par comparaison à la série géométrique convergente NB : cette méthode est un cas particulier de comparaison logarithmique ; la version générale (hors programme, mais classique !) est la suivante : un+1 vn+1 si (un ) et (vn ) sont deux suites à termes > 0 à partir d’un certain rang, telles que ≤ , un vn toujours à partir d’un certain rang, alors un = O (vn ). Série exponentielle : ∞ Pour tout complexe z, la série zn zn est absolument convergente, sa somme est : ez = . n! n! n=0 zn , j’ai n! |un+1 | |z| = −→ 0 < 1. |un | n + 1 n→∞ La règle de d’Alembert s’applique à |un | et prouve la convergence absolue. Dém. Pour z = 0, en posant un = 3. Compléments sur les séries numériques Page 4 4) Comparaison à une intégrale Théorème : soient n0 ∈ N∗ et f une application continue par morceaux sur [n0 , +∞[, à valeurs réelles, positive et décroissante. n La série de terme général wn = n−1 La série f (t) dt − f (n) est convergente, à termes positifs. f (n) converge si et seulement si f est intégrable sur [n0 , +∞[ (i.e. si et n≥n0 X seulement si f (t) dt admet une limite réelle lorsque X tend vers +∞, cf. chapitre 7). n0 Application (hors programme mais classique !) : en cas de divergence, on a deux infiniments grands équivalents p p n=n0 n NB : 1) La relation wn = n−1 f (n) ∼ p→∞ f (t) dt. n0 [f (t) − f (n)] dt permet d’encadrer wn (un encadrement analogue peut être obtenu lorsque f est croissante). 2) Avec les notations précédentes, si en outre f est de classe C 1 , j’obtiens en intégrant par parties n wn = n−1 t=n t=n−1 [f (t) − f (n)] dt = (t − n + 1) f (t) − f (n) soit n wn = − n − n−1 (t − n + 1) f ′ (t) dt, (t − n + 1) f ′ (t) dt. n−1 Dém. (du théorème) Soit n > n0 ; comme f est décroissante, j’ai ∀t ∈ [n − 1, n] d’où, en intégrant sur [n − 1, n] : f (n) ≤ f (t) ≤ f (n − 1) n f (n) ≤ n−1 f (t) dt ≤ f (n − 1) et en retranchant f (n), j’obtiens : 0 ≤ wn ≤ f (n − 1) − f (n) puis, pour p > n0 , en sommant, p 0≤ n=n0 +1 wn ≤ f (n0 ) − f (p) ≤ f (n0 ) . wn est bien à termes dans R+ et ses sommes partielles sont majorées, donc elle Ainsi, la série n≥n0 converge. Or, grâce à la relation de Chasles, p p p wn = n0 n=n0 +1 f (t) dt − f (n) n=n0 +1 d’où, en reprenant l’encadrement précédent : p n=n0 +1 Comme la suite p → en découle. Enfin, dans le cas où p n=n0 +1 p p f (n) ≤ n0 f (t) dt ≤ f (n) et la fonction X → p n=n0 +1 f (n) et p X f (n) . n=n0 f (t) dt sont croissantes, le résultat annoncé n0 f (t) dt ont pour limite +∞, ce sont deux infiniment grands n0 équivalents, puisque leur différence est bornée. 3. Compléments sur les séries numériques Page 5 Exemples : 1) Séries de Riemann (rappel) : pour α > 0, le théorème précédent s’applique à f : t → 2) Séries de Bertrand (classique mais hors programme !) : nature de 1 3) Constante d’Euler : avec f : t → , je retrouve t n 1 − ln n −→ γ ; en particulier n→∞ k k=1 et ici, pour n ≥ 2, n n t−n+1 dt ≤ t2 wn = n−1 n−1 dt t2 n k=1 un où un = 1 sur [1, +∞[ tα 1 nα (ln n)β ? 1 ∼ ln n k ∞ 1 wn ≤ . p n=p+1 d’où (on a γ ≈ 0, 577 ; on ne sait toujours pas si γ est un nombre rationnel ou pas. . . ) 4) Formule de Stirling (deuxième version) : avec f : t → − ln t, j’obtiens avec une deuxième intégration par parties n n n n t−n+1 1 t − n + 1/2 wn = (− ln t) dt + ln n = dt = dt + dt t 2t t n−1 n−1 n−1 n−1 t=n n 1 t2 − (2n − 1) t + n (n − 1) (t − n + 1) (t − n) = ln n − ln (n − 1) + + dt 2 2t 2t2 n−1 t=n−1 1 = ln n − ln (n − 1) − δ n 2 n (n − t) (1 − (n − t)) où δ n = dt vérifie 2t2 n−1 1 n dt 1 0 ≤ δn ≤ (cf. ∀x ∈ [0, 1] x (1 − x) ≤ ) ; 2 8 n−1 t 4 il en résulte que la série δ n converge, or pour p ≥ 2 p p n=2 wn = ln p! − 1 p 1 ln tdt = ln p − δn 2 n=2 donc la suite de terme général p ln p! − 1 ln tdt − 1 1 ln p = ln p! − p + 2 2 ln p + p − 1 converge. Je retrouve ainsi l’existence de ℓ dans R+∗ tel que p! ∼ ℓ · pp+1/2 e−p . III - Produit de Cauchy de deux séries de nombres complexes 1) Définition Étant données deux séries un et n≥0 deux séries, la série wn où vn à termes complexes, on appelle produit de Cauchy de ces n≥0 n≥0 n ∀n ∈ N wn = up vq = p+q=n n un−q vq = q=0 up vn−p . p=0 3. Compléments sur les séries numériques Page 6 2) Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes Théorème : si un et vn sont absolument convergentes, alors wn est absolument convergente et ∞ ∞ wn = ∞ un n=0 n=0 · vn n=0 Attention ! Tout doit être indexé à partir de 0. ∞ ∞ 1 n 2 (avec un = vn = z . . . ). (1 − z) n=1 n=0 Attention ! Ce résultat peut être en défaut en cas de semi-convergence : nz n−1 = Exemple : si |z| < 1, (n + 1) z n = n (−1)n 1 √ √ avec un = vn = √ , j’ai wn = (−1)n p+1 n−p+1 n+1 p=0 or ∀p ∈ {0, . . . , n} d’où n p=0 et donc (n + 2)2 (p + 1) n + 2 − (p + 1) ≤ 4 1 2 √ √ ≥ (n + 1) n+2 p+1 n−p+1 wn diverge grossièrement. Dém. du théorème Je pose n n Un = n uk , Vn = vk , Wn = k=0 k=0 et j’ai n Wn = k=0 k=0 p+q=k wk , Cn = [[0, n]]2 , Tn = (p, q) ∈ N2 / p + q ≤ n up vq = up vq ; Un Vn = (p,q)∈Tn up vq . (p,q)∈Cn Premier cas : un et vn sont à termes dans R+ . Alors, en posant m = E (n/2), j’ai Cm ⊂ Tn ⊂ Cn , d’où Um Vm ≤ Wn ≤ Un Vn et le théorème d’encadrement permet de conclure. Cas général : je pose de même n u′n = |un | , vn′ = |vn | , le premier cas montre que wn′ u′p vq′ = , Un′ = p+q=n wn′ n u′k k=0 converge et a pour somme premier temps la convergence absolue de wn , puisque |wn | ≤ , Vn′ = n vk′ k=0 ′ lim (Un Vn′ ), n→∞ , Wn′ wk′ ; = k=0 ce qui me donne dans un u′p vq′ = wn′ ; p+q=n de plus, |Un Vn − Wn | = d’où le résultat. (p,q)∈Cn \Tn up vq ≤ (p,q)∈Cn \Tn u′p vq′ = Un′ Vn′ − Wn′ −→ 0 n→∞ 3) Applications à la série exponentielle ∀ z, z ′ ∈ C2 ez+z = ez × ez , ′ ′ ∀z ∈ C ez = ez et ∀θ ∈ R NB : la “vraie” définition des fonctions cos et sin utilise ce qui précède ; ∀θ ∈ R cos θ = Re eiθ et sin θ = Im eiθ . eiθ = 1. 3. Compléments sur les séries numériques Page 7 IV - Compléments hors programme 1) Sommation des relations de comparaison a) Comparaison des sommes partielles en cas de divergence Ici an est une série à termes réels positifs divergente. p • si p un est une série à termes complexes telle que un = O (an ), alors un = O n=0 n=0 p • si un est une série à termes complexes telle que un = o (an ), alors • si bn est une série à termes réels positifs telle que an ∼ bn , alors p un = o n=0 p n=0 an an n=0 bn diverge également et p an ∼ bn . n=0 b) Comparaison des restes en cas de convergence Ici an est une série à termes réels positifs convergente. ∞ • si un est une série à termes complexes telle que un = O (an ), alors n=p+1 ∞ • si un est une série à termes complexes telle que un = o (an ), alors • si bn est une série à termes réels positifs telle que an ∼ bn , alors n=p+1 ∞ un = O ∞ n=p+1 un = o ∞ n=p+1 an an bn converge également et ∞ n=p+1 an ∼ bn . n=p+1 c) Exemples d’utilisation (très classiques !) Théorème de Cesàro (convergence en moyenne) Soit (un ) une suite complexe convergeant vers ℓ et (αn ) une suite de réels positifs tels que p α u n=0 n n converge également vers ℓ. Alors la suite des moyennes pondérées p αn n=0 En particulier (avec αn = 1 pour tout n), 1 p un p n=1 Constante d’Euler On s’intéresse à la série harmonique (divergente !) converge vers ℓ. 1 et l’on écrit (habilement) n 1 1 ∼ − ln 1 − = ln n − ln (n − 1) (pour n ≥ 2). n n Les sommes partielles sont donc des infiniment grand équivalents : p 1 ∼ ln p d’où n n=2 p 1 ∼ ln p. n n=1 On peut préciser la différence : p p 1 − ln p = 1 + an n n=1 n=2 Par comparaison à une série de Riemann, où an = 1 1 + ln 1 − n n an converge. . . ∼− 1 . 2n2 αn diverge. 3. Compléments sur les séries numériques Page 8 2) Suites de Cauchy — Transformation d’Abel a) Suites de Cauchy Définition : une suite complexe (un )n∈N est dite de Cauchy si et seulement si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 ∀p ∈ N |un+p − un | ≤ ε. Il est clair que toute suite convergente est de Cauchy, mais la réciproque est fausse dans certains espaces métriques (par exemple dans Q). Cependant elle est vraie dans R, dans C et plus généralement dans tout espace vectoriel normé de dimension finie. Pour le prouver, on peut établir successivement les résultats suivants : • de toute suite réelle on peut extraire une suite monotone • de toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente (théorème de Bolzano-Weierstrass) • de toute suite complexe bornée on peut extraire une suite convergente • toute suite de Cauchy est bornée • toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente converge. b) Transformation d’Abel Soient (λn ), (bn ) deux suites de complexes. On pose : n ∀n ∈ N an = λn bn Établir, pour n ∈ N et p ∈ bk . k=0 N∗ , p p an+k = k=1 et Bn = k=1 (λn+k − λn+k+1 ) Bn+k − λn+1 Bn + λn+p+1 Bn+p . NB : le lecteur notera l’analogie avec l’intégration par parties. . . En déduire que, si la suite (Bn ) est bornée et si (λn ) est une suite réelle décroissante de limite nulle, alors la série an est convergente (montrer que la suite des sommes partielles est de Cauchy !). Exemples : 1) retrouver ainsi le théorème spécial des séries alternées ; 2) montrer la convergence de la série eint , où α ∈ R+∗ et t ∈ R\2πZ. nα