1 Deux calculs de somme (CCP 2006) 2 Une série 3 Produits infinis

Psi 945 – 2014/2015
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1
DS 1 - le 13/09/2014
Deux calculs de somme (CCP 2006)
1. (a) Justifier la convergence de
X
n≥1
1
·
n(n + 1)(n + 2)
(b) Après une décomposition en éléments simples, calculer la somme de cette série.
X 2n
2. (a) Justifier la convergence de
·
(n − 1)!
n≥1
(b) Calculer la somme de cette série (On pourra reconnaître, à proximité, une série bien connue...).
2
Une série
On considère deux réels a, b tels que 0 < a < b. On définit la suite (un )n∈N par la donnée de u0 > 0
et la relation de récurrence, valable pour tout n ∈ N :
un+1
n+a
·
=
un
n+b
1. On pose wn = nb−a un pour tout n ∈ N.
1
(a) Montrer que ln wn+1 − ln wn = O
·
n2
(b) En déduire que la suite (ln wn )n∈N converge.
L
(c) En déduire qu’il existe un réel L > 0 tel que un ∼ b−a ·
n
P
(d) En déduire la nature de la série
un en fonction de a et b.
P
2. On suppose que la série
un converge. On note vn = n(un − un+1 ).
P
(a) En considérant les sommes partielles, montrer que la série
vn converge.
∞
∞
P
P
(b) Relier
vn à
un .
n=0
n=1
(c) Montrer que vn = bun+1 − aun pour tout n ∈ N.
∞
P
(d) En déduire
un en fonction de u0 , a et b uniquement.
n=0
3
Produits infinis (ESIM 2001)
On considère une suite (un )n∈N∗ de réels de ] − 1, 1[, et on note pn =
n
Q
(1 + uk ) pour tout n ∈ N∗ .
k=1
∞
Q
Si la suite (pn )n∈N converge, on désigne sa limite par
(1 + uk ). Si de plus cette limite est non nulle,
k=1
Q
on dit que le produit infini (1 + un ) converge.
∗
1. On suppose
Pque, pour tout n ≥ 1, un ∈ [0, 1[. Montrer que la suite (pn )n∈N converge si et seulement
si la série
un converge.
On traitera à part le cas où (un )n∈N ne converge pas vers 0.
2. On suppose que, pour tout n ≥ 1, un ∈] − 1, 0].
P
(a) Que peut-on dire de la suite (pn )n∈N∗ si
un diverge ?
1
3.
4.
5.
6.
P
(b) Montrer que (pn )n∈N∗ converge vers un réel strictement positif si et seulement si
un
converge.
Étudier la convergence et calculer la limite de (pn )n∈N∗ dans les cas suivants :
1
;
(a) un = −
(n + 1)
1
;
(b) un = −
(n + 1)2
2
(c) un = −
·
(n + 1)(n + 2)
P 2
Dans cette question, on suppose seulement
P que la série un converge. Montrer que (pn )n∈N∗ admet
une limite non nulle si et seulement si
un converge.
P
Que dire de (pn )n∈N∗ si la série
un converge absolument ?
1
th(t)
=1+
·
(a) Vérifier que, pour tout t ∈ R∗ , on a
th(t/2)
ch(t)
(b) Soit x > 1 et soit (vn )n∈N la suite définie par v1 = x et la relation de récurrence
∀n ∈ N∗
vn+1 = 2vn2 − 1.
∞ Y
1
Montrer l’existence et calculer la valeur de
.
1+
vk
k=1
θ
2
pour tout n ∈ N.
7. Soit θ ∈]0, π/2[. On pose un = tan
2n
∞
Q
Montrer l’existence et calculer la valeur de
(1 + un ).
n=1
4
Une accélération de convergence (Centrale )
On accélère ici la convergence d’une série, pour calculer ζ(3) =
+∞
X
1
à ε près, avec ε = 5.10−5 .
3
n
n=1
1. (a) Soient q, N ∈ N, avec q ≥ 2 et N ≥ 1. À l’aide d’une comparaison avec une intégrale (sur un
segment), majorer soigneusement le reste :
+∞
X
R(N, q) =
n=N +1
1
·
nq
(b) Déterminer un entier N tel que R(N, 3) ≤ ε.
1
2. On pose dorénavant, pour p, n ∈ N∗ : u(n, p) =
·
n(n + 1)...(n + p)
X
(a) Montrer que la série
u(n, p) est convergente.
n≥1
On note σ(p) la somme de la série : σ(p) =
+∞
X
u(n, p).
n=1
(b)
(c)
(d)
3. (a)
Calculer σ(1).
Pour p ≥ 2 et n ∈ N∗ , exprimer u(n, p − 1) − u(n + 1, p − 1) en fonction de p et u(n, p).
En déduire la valeur de σ(p) pour p ≥ 2.
Montrer par récurrence l’existence de trois suites (ap )p≥2 , (bp )p≥2 et (cp )p≥2 d’entiers naturels
telles que pour tout réel x strictement positif et tout entier p ≥ 2 on ait :
p
X
1
ak
bp x + c p
+
·
=
3
3
x
x (x + 1)(x + 2)...(x + p)
x(x + 1)...(x + k)
k=2
On explicitera en particulier les valeurs de ap+1 , bp+1 et cp+1 en fonction de celles de ap , bp ,
cp et p.
2
(b) Montrer que pour tout p ≥ 2 : bp ≥ cp ≥ 0.
(c) Donner un programme (une fonction) Python permettant de calculer les ap , bp et cp .
(d) Calculer ap , bp et cp pour 2 ≤ p ≤ 4.
(e) Expliciter, pour p ≥ 2, la valeur de cp ; puis celle de bp à l’aide d’une somme. En déduire un
équivalent simple de bp lorsque p tend vers +∞.
4. (a) Donner un majorant simple de
+∞
X
n=N +1
n3 (n
b4 n + c4
+ 1)...(n + 4)
et montrer, à l’aide de tout ce qui précède (et d’une calculatrice !), comment calculer ζ(3) pour
la même valeur de ε avec une valeur de N moins grande que celle trouvée question 1b.
(b) En utilisant ce qui précède, donner (à l’aide de la calculatrice) une valeur décimale approchée
(par défaut) à ε près.
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