Intégrales - WordPress.com

Lycée Berthollet, 2014/2015
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Résumé 08 : Intégrale Généralisée
R EMARQUES :
Dans tout ce chapitre, K sera le corps R ou C, E un espace vectoriel de dimension finie n sur K muni d’une base B = (e1 , . . . , ep ), I un intervalle de R.
.........................................................................................................................................................................................................................
1
c
§ 1. Convergence d’une intégrale impropre.— Si f est une application contiZ b
nue par morceaux sur [a, b[, où b ∈ R̄, l’intégrale
f (t)dt est dite convergente
a
Z x
lorsque x 7−→
f (t)dt admet une limite finie ` quand x tend vers b. Dans ce
a
b
Z
Z
x
f (t)dt. .
f (t)dt = lim
x→b
a
2. Intégrales doublement impropres : Lorsque f est continue par morceaux sur
Rb
Rc
]a, b[, on dit que l’intégrale
f converge lorsqu’il existe c ∈]a, b[ tel que
f et
Rb
I NTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
cas, on pose
1. La nature de l’intégrale (i.e sa divergence oiu sa convergence) ne dépend
que du comportement local de f en b.
a
a
f convergent.
§ 2. Quelques propriétés.— de l’intégrale généralisée.
Propriétés 1.2
Rb
L’ensemble des f : [a, b[→ E continues par morceaux telles que a f converge
0
([a, b[, E). De plus, sur cet espace, l’appliest un sous-espace vectoriel de Cm
Rb
cation f 7−→ a f est une forme linéaire.
a
Proposition 1.3
On parle alors d’intégrale impropre en b, ou d’intégrale généralisée.
L’intégrale est dite divergente lorsqu’elle n’est pas convergente. La définition
s’étend évidemment aux intervalles de la forme ]a, b].
Si f est continue sur [a, b[, et si l’intégrale converge, alors F : x 7−→
est de classe C 1 et F 0 = −f .
Rb
x
f (t)dt
E XEMPLES :
Z
1.
1
1
dt
√ est convergente, car t 7−→ √ est continue sur ]0, 1], et que sa primitive
t
t
0
Z 1
√
dt
t 7−→ 2 t admet une limite finie en 0+ . Ainsi,
√ =2
t
0
Z
2.
1
+∞
dt
√ , ainsi que
t
Z
+∞
cos tdt sont divergentes.
0
Proposition 1.1 (Indifférence de la borne inférieure)
Si f est continue par morceaux sur [a, b[, l’intégrale impropre est convergente
Z b
si et seulement si il existe c ∈]a, b[ tel que
f est convergente. Dans ce cas,
§ 3. Intégrabilité.— On introduit ici une hypothèse plus forte sur f que la seul
convergence de son intégrale.
Définition 1.4
Une fonction f ∈ C 0 ([a, b[, E) est dite intégrable sur [a, b[ lorsque
converge. On notera L 1 (I, E) l’ensemble de ces fonctions.
Z
b
|f |
a
R EMARQUES :
Z
On utilise indifféremment “f est intégrable” et “
b
f converge absolument”.
a
c
Z
b
Z
f=
a
c
Z
f+
a
Théorème 1.5
b
f.
c
Si f ∈ C 0 ([a, b[, E) est intégrable, alors
Z
b
f converge.
a
Résumé N °8 : Intégrale Généralisée
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R EMARQUES :
R EMARQUES :
Il n’y a pas d’équivalent de la divergence grossière ici, i.e qu’une fonction peut être
intégrable sur R+ et ne pas tendre vers 0 en +∞. En revanche, si elle admet une limite
finie en +∞, celle-ci est nulle.
Dans ce cas, on a
Z
b
x
Z
f
=
a
f (t)dt
lim
x→b−
a
Z
=
E XEMPLES :
n→+∞
I Intégrales de Riemann
Z +∞
dx
•
converge ⇐⇒ α > 1.
α
x
1
Z
b
• Si a < b,
+∞
Z
•
1
Z
0
a
=
Z0 +∞
I
Z0
I
R
dx
converge ⇐⇒ α < 1.
(x − a)α
o
f, où [a, b] ⊂ I .
Enonçons quelques théorèmes de comparaisons. Vous remarquerez un fait essentiel : la fonction de référence est toujours positive.
dx
diverge toujours.
xα
eαx dx converge ⇐⇒ α > 0.
dt
converge.
1 + t2
.........................................................................................................................................................................................................................
2
nZ
a
b
a
ln converge.
I
sup
bn
f (t)dt
lim
C AS DES FONCTIONS POSITIVES
Soit f, g : [a, b[→ R continues par morceaux, et g à valeurs positives.
Z b
Z b
I Si 0 6 f 6 g et si
g converge, alors
f converge.
Rab
R ba
I Si f = Ob (g) et si a g converge, alors a f converge.
I Si b = +∞ et s’il existe α > 1 tel que xα f (x) −−−−−→ ` ∈ R,
x→+∞
Z +∞
alors
f converge.
a
Z b
Z b
I Si f ∼b g, alors
g converge ⇐⇒
f converge.
a
a
Evidemment, l’intégrale d’une fonction positive converge si et seulement si elle
est intégrable.
Théorème 2.1
Si f est continue par morceaux sur [a, b[ et POSITIVE,
Z
b
x
Z
f converge
⇐⇒
x 7−→
⇐⇒
f est intégrable.
Z bn
lim
f existe et est réelle quand bn → b
a
f (t)dt est majorée.
§ 1. Deux outils essentiels.— Ils permettent de transformer une intégrale donnée en intégrlae plus simple.
S’inspirer des résumés de Michel A. pour ce paragraphe.
a
⇐⇒
⇐⇒
n→+∞
nZ
a
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Proposition 2.2
Si f et g sont de classe C 1 sur [a, b] à valeurs dans K, alors
a
b
f, où [a, b] ⊂ I
o
Z
est majoré.
a
b
b
f (t)g(t)dt = f (t)g(t) a −
0
Z
b
f (t)g 0 (t)dt.
a
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E XEMPLES :
Z
sin t
dt, et de celle de la divert
On se souviendra de la preuve de la convergence de
R+
Z
gence de
R+
| sin t|
dt. D’une manière générale (mais ce n’est pas une régle absolue),
t
on sera bien inspiré pour prouver la convergence d’un intégrale semi-convergente, d’effectuer une intégration par parties afin d’obtenir une nouvelle intégrale, mais cette fois-ci
d’une fonction absolument convergente.
ANNEXE
.........................................................................................................................................................................................................................
A L A PREUVE À CONNAITRE ...
Z +∞
sin t
I La semi-convergence de
dt.
t
0
.........................................................................................................................................................................................................................
B Q UELQUES EXERCICES CLASSIQUES
E XERCICES :
Proposition 2.3 (Changement de variable)
Soit f continue de ]a, b[ dans K, et ϕ :]α, β[→]a, b[ bijective, strictement croissante, et de classe C 1 .
Z b
Z β
Les intégrales
f (t)dt et
f ◦ ϕ(s)ϕ0 (s)ds sont de même nature, et égales
a
CCP- Analyse 47 Si f : [0, 1] → R est de classe C 1 , alors en notant Sn =
n−1 1X
k
f
n
n
Z
Sn −
α
en cas de convergence.
, il existe une constante K telle que
k=0
0
1
K
f (t)dt 6
.
n
On appliquera ce théorème sans justifier lorsque ϕ est affine, exponentielle, puissance ou logarithme.
E XERCICES :
§ 2. Intégration des relations de comparaison.— On se fixe une fonction f ∈
C 0 ([a, b[, R) positive, et g ∈ C 0 ([a, b[, R).
b
Z
I Cas de divergence - On suppose ici que
1. Si g(x) = O f (x) en b− , alors
2. Si g(x) = o f (x) en
b− ,
Z
Z
f diverge, i.e que
a
x
g(t)dt = O
a
x
3. Si g(x) ∼ f (x) en
Z
a
x
g(t)dt = o
quand x → b− .
quand x → b− .
f (t)dt
x
dt
.
ln t
1. Montrer que H est C 1 sur ]1, +∞[ et calculer sa dérivée.
1
1
−
admet une limite finie
2. Montrer que la fonction u définie par u(x) =
ln x
x−1
en x = 1.
3. Calculer la limite en 1+ de H.
a
x
x
Z
f (t)dt quand x → b− .
g(t)dt ∼
alors
x→b
f (t)dt
a
b− ,
a
f (t)dt −−−→ +∞. Alors
x
Z
Z
alors
Rx
CCP- Analyse 56 On considère la fonction H définie sur ]1, +∞[ par H(x) =
Z x2
a
a
Z
I Cas de convergence - On suppose ici que
b
f converge, i.e que x 7−→
Rx
a
f (t)dt est bornée
a
sur [a, b[. Alors
1. Si g(x) = O f (x) en
2. Si g(x) = o f (x) en
b− ,
b− ,
Z
b
alors
Z
g(t)dt = O
x
b
alors
Z
g(t)dt = o
x
b
quand x → b− .
f (t)dt
quand x → b− .
x
Z
g(t)dt ∼
x
Résumé N °8 : Intégrale Généralisée
b
b
f (t)dt
Z
x
3. Si g(x) ∼ f (x) en b− , alors
Z
b
f (t)dt quand x → b− .
x
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