CCP Maths 1 PSI 2001 — Corrigé
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CCP Maths 1 PSI 2001 — Corrigé
c Éditions H&K 1/19 Publié dans les Annales des Concours CCP Maths 1 PSI 2001 — Corrigé Ce corrigé est proposé par Sébastien Desreux (ENS Ulm) et Nicolas Andraud (Mines de Paris) ; il a été relu par Vincent Perrier (ENS Lyon) et David Lecomte (ENS Cachan). Cette épreuve, composée de deux problèmes indépendants, demande peu de connaissances techniques ; de surcroît, le travail est très bien guidé par des questions précises et progressives. En revanche, on a souvent besoin de faire appel aux résultats de questions déjà traitées et il est essentiel de prendre un peu de recul vis-à-vis de l’énoncé pour comprendre où il nous mène. En outre, plusieurs questions exigent beaucoup de rigueur. C’est donc un excellent entraînement aux épreuves écrites. • Le premier problème propose l’étude de la série des restes d’une série convergente. Après une mise en jambe facile, on montre à la question II.1 une identité que l’on utilise ensuite pour l’étude : d’une suite, des restes des séries à termes positifs, des restes de la fonction ζ et enfin des restes d’une série entière. • Le second problème propose de calculer le déterminant de la matrice de terme général 1 Cp si i + j est pair (i + j = 2p) 2p wi,j = 22p 0 sinon Z π À cette fin, on exprime wi,j en fonction d’une intégrale de la forme cosk t dt 0 (qui doit faire penser aux intégrales de Wallis), ce qui introduit une étude de nature euclidienne au moyen du produit scalaire (usuel) Z 1 π hf | gi = f (t)g(t) dt π 0 Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/19 Indications Premier problème I.1.1 La série est géométrique. I.2.1 Utiliser le théorème des séries alternées. I.2.2.2 Utiliser le théorème de convergence dominée. I.2.2.5 Utiliser à nouveau le théorème de convergence dominée. n P II.1 Remarquer que Rk = Rn + up pour tout k ∈ [[ 0 ; n ]] ou raisonner par p=k+1 récurrence. II.2 Poser uk = (−1)k+1 /k et utiliser la question précédente sous la forme − n P k uk = . . . k=1 II.3.1 Remarquer (à l’aide de la question II.1) que n P k uk est compris entre 0 et k=1 ∞ P Rk . k=0 II.3.2 Encadrer (n + 1)Rn en remarquant que ∀k > n + 1 (n + 1) uk 6 k uk II.4 Utiliser la question II.3.3. II.5.1 Une série entière est dérivable terme à terme sur son intervalle (ouvert) de convergence. II.5.3.1 Remarquer que (ak ) est bornée, ou trouver un équivalent. II.5.3.2 Passer en complexes. Deuxième problème I.3.2 Intégrer Jm+2 par parties (m + 2 = 1 + (m + 1)). I.3.3 Construire une formule empirique et la compléter en ajoutant les termes pairs. II.1 Linéariser le produit de cosinus. II.2 La famille est orthonormale, donc. . . II.3 Utiliser la formule d’Euler puis la formule du binôme. II.4 Montrer que em peut s’écrire comme combinaison des vk , 0 6 k 6 m. II.5 Utiliser le théorème de projection orthogonale et le fait que la famille (ei ) est une base orthonormale de Hm (e). II.6.1 Remarquer que la matrice Qn est triangulaire. II.6.2 Reconnaître une matrice de Gram. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K 3/19 Publié dans les Annales des Concours Premier problème L’énoncé a choisi d’utiliser une notation qui peut prêter à confusion : P une série est notée un (x) n>0 tandis que sa somme est notée ∞ P un (x) n=0 Afin de faciliter votre lecture, nous avons choisi de conserver la notation de l’énoncé. Toutefois, le jour du concours, vous pourriez sans problème utiliser P la notation (standard) un (x) pour une série dans votre copie. Partie I I.1.1.1 La série de terme général (−x)k est géométrique de raison −x ; elle converge si et seulement si | − x| ∈ [ 0 ; 1 [ , et dans ce cas sa somme est 1/(1 − (−x)) . P (−1)k xk converge sur I = ] −1 ; 1 [ k>0 et ∞ P ∀x ∈ I (−1)k xk = k=0 1 1+x +∞ I.1.1.2 La convergence sur I de la série P (−x)k assure l’existence du reste k>0 pour tout x ∈ I et tout n ∈ N. Rn (x) = ∞ P P (−x)k k=n+1 (−x)k k=n+1 = (−x)n+1 ∞ P (−x)k k=0 Rn (x) = La série P (−x)n+1 1+x Rn (x) est donc géométrique, de premier terme −x/(1 + x) et de rai- n>0 son −x ; elle converge si et seulement si | − x| ∈ [ 0 ; 1 [, c’est-à-dire x ∈ I, et sa somme est S(x) = −x (1 + x)2 I.2.1 La suite (1/k)k∈N∗ est positive, décroissante et de limite nulle, donc la série P alternée (−1)k+1 /k est convergente, ce qui justifie l’existence de ses restes pour k>1 tout n ∈ N∗ . Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/19 I.2.2.1 Commençons par vérifier l’identité proposée (l’existence des restes a été justifiée à la question I.1.2) : m P (−x)k = k=n ∞ P (−x)k − k=n ∞ P (−x)k = Rn−1 (x) − Rm (x) k=m+1 Chacun des termes du membre de droite peut être majoré par 1 : ∀x ∈ [ 0 ; 1 [ ∀p ∈ N |Rp (x)| = xp+1 1 6 61 1+x 1+x L’inégalité triangulaire fournit donc le résultat : m P k ∀m, n > m ∀x ∈ I0 (−x) 6 |Rn−1 (x)| + |Rm (x)| 6 2 k=n On peut en fait obtenir une majoration plus fine sans effort particulier : m m ∞ P P P 1 k ∀x ∈ [ 0 ; 1 [ (−x) 6 |xk | 6 xk = 61 1+x k=n k=n k=0 I.2.2.2 La question précédente semble un peu parachutée et, de surcroît, son résultat n’est guère passionnant : on peut donc se douter qu’il ne s’agit que d’une étape dans un enchaînement plus vaste, en l’occurrence l’hypothèse essentielle du théorème de convergence dominée. Appliquons le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (fm )m>n (n est fixé) définies par : I0 −→ R m fm : P (−1)k xk x 7−→ k=n • Chaque fonction fm est continue (comme somme finie de fonctions qui le sont) sur I0 ; • la suite (fm ) converge simplement vers Rn−1 sur I0 ; • Rn−1 est continue sur I0 ; • chaque fm est majorée sur I0 par la fonction constante à la valeur 2 d’après la question précédente ; • la fonction constante à la valeur 2 est continue et intégrable sur I0 . D’après le théorème de convergence dominée, la fonction Rn−1 est intégrable sur I0 (ce que l’on pouvait prouver de manière plus élémentaire avec la question I.1.2) et (surtout) Z Z lim fm (x) dx = lim fm (x) dx + I0 m→ ∞ m→+∞ I0 ce qui se réécrit Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .