SERIES ET INTEGRALES IMPROPRES

© 2004 - Gérard Lavau - http://perso.wanadoo.fr/lavau/index.htm
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SERIES ET INTEGRALES IMPROPRES
PLAN
I : Définitions
1) Séries
2) Exemples de séries
3) Propriété de Cauchy
4) Intégrales impropres
II : Séries à termes positifs et fonctions positives
1) Critères de convergence
2) Comparaison avec une intégrale
3) Fonctions et séries de réference
III : Séries ou intégrales quelconques
1) Absolue convergence
2) Convergence en moyenne, en moyenne quadratique
3) Série produit
4) Critère de D'Alembert
5) Séries alternées
6) Séries de vecteurs
Annexe I : Absolue convergence, semi-convergence
Annexe II : La formule de Stirling dans le calcul d'entropie
Annexe III : La transformée de Laplace
Annexe IV : Série de vecteurs (Complément de cours MP/MP*)
Annexe V : Accélération de convergence
Dans ce chapitre sont traités en parallèle les séries numériques (à valeurs réelles ou complexes) et les
intégrales impropres de fonctions. En effet, les méthodes utilisées et les théorèmes énoncés sont
comparables dans ces deux domaines. Les fonctions sont définies sur des intervalles I ouverts ou
semi-ouverts, bornés ou non. On supposera les fonctions continues par morceaux sur tout segment J
inclus dans I, et on dira qu'elles sont continues par morceaux sur I.
I : Définitions
1– Séries
DEFINITION :
❑ On appelle série (∑ xn) de terme général xn, réel ou complexe, la suite de terme général
Sn = x0 + ... + xn, appelée somme partielle. La série converge si la suite des sommes partielles
converge. La limite S s'appelle somme de la série. La quantité Rn = S – Sn s'appelle reste de rang n.
∞
On note ∑ xn la limite lorsqu'elle existe.
n=0
-1-
La définition choisie pour la convergence est la plus simple qui puisse donner un sens à une somme
infinie, mais ce n'est pas la seule. Signalons par exemple qu'Euler, au XVIIIème tenait le
raisonnement suivant : soit S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +... Alors S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + ...) = 1 – S
1
donc S = . Cette méthode était largement acceptée à l'époque, bien que le même, appliqué aux
2
puissances de 2, suscitât des réticences. Soit S = 1 + 2 + 4 + 8 + ... = 1 + 2 × (1 + 2 + 4 + 8 +...)
= 1 + 2S donc S = –1 !!! Si certains pensent que tout ceci n'est que fariboles et divagations, je leur
apprendrai que la formule 1 + 2 + 4 + 8 + ... = –1 est vraie dans un certain corps de nombre (dit
corps 2-adique : à titre indicatif, on peut écrire dans ce corps les nombres avec un développement
infini vers la gauche au lieu d'utiliser un développement infini vers la droite comme pour le corps des
réels. Si on travaille en base 2, on vérifiera bien que, si S = ...11111111, alors S + 1 = 0, la retenue se
propageant indéfiniment vers la gauche, et donc que S = –1) et que la formule 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – ...
1
= serait vraie si on prenait comme définition de la somme d'une série non pas la limite des sommes
2
partielles, mais la limite de leur moyenne (dite limite au sens de Cesaro, les sommes partielles prenant
1
alternativement les valeurs 1 et 0, leur moyenne tend vers ). Euler a également cherché à donner un
2
sens à la somme de la série 1 – 1! + 2! – 3! + 4! + ... Sans se soucier du fait que la série
y = x – 1!.x2 + 2!.x3 – 3!.x4 + ... n'est jamais convergente pour x ≠ 0, il la dérive terme à terme et
obtient formellement l'équation différentielle x2y' + y = x. Or cette équation a effectivement une seule
solution telle que y(0) = 0, donnée par l'expression :
x –1/t
∞
e
⌠ xe–u du (avec u = 1 – 1)
y(x) = e1/x ⌠
dt
=
 1 + xu
 t
t x
⌡0
⌡0
Euler considère donc que y(1) est la somme qu'il cherche, soit approximativement 0,596347, valeur
qu'il obtient également par d'autres méthodes. Il existe enfin des situations aussi bien en
mathématiques qu'en physique dans lesquelles on obtient des séries divergentes au sens usuel et pour
lesquels il faut bien attribuer une somme. Citons par exemple le cas suivant. On peut montrer
que (formule de Stirling) :
1
1
B
B2
Bp
1
ln(n!) = (n + )ln(n) – n + ln(2π) + 1 –
+ ...+ (–1)p–1
+ o( 2p+1)
2
2
1.2.n 3.4.n3
(2p–1).2p.n2p–1
n
à tout ordre p, où les (–1)p–1Bp sont les nombres dits de Bernoulli. A p fixé, la précision est d'autant
meilleure que n est grand, mais à n fixé, il est illusoire de prendre davantage de termes car la série
diverge lorsque p tend vers l'infini. Ce problème est particulièrement ennuyeux car on souhaiterait
bien que la formule de Stirling donne une valeur de ln(n!) à une précision arbitraire !!
Vers la fin du XIXème se posait donc le problème suivant. Etant donné une suite (an), comment
donner un sens à la somme des an ? Voici un bref résumé de quelques méthodes :
• La méthode usuelle, celle que nous allons étudier, qui consiste à prendre la limite des sommes
partielles. Elle date de Cauchy, dans la première moitié du XIXème :
n
S = lim ∑ ak
n→+∞ k=0
• La méthode de Cesaro, qui consiste à prendre la limite des moyennes des sommes partielles :
n
S
S = lim ∑ k où Sk = a0 + ... + ak
n→+∞ k=0 n+1
• La méthode d'Abel qui consiste à multiplier ak par rk avant de faire tendre r vers 1 :
-2-
∞
a rn = lim
lim
S = lim
r→1 ∑ n
r→1
r<1
N
∑ an rn
N→+∞
n=0
r<1
n=0
∞
–t n
• La méthode de Borel, consistant à utiliser le fait que n! =⌠
 e t dt pour définir :
⌡0
∞
∞
–t
S=⌠
∑ an!n tn dt
 e n=0
⌡0
∞
en espérant que la série
a
∑ n!n tn converge au sens usuel. Bornons-nous à signaler que la méthode
n=0
usuelle est la plus simple, mais pas la plus efficace. En effet, les méthodes de Césaro et d'Abel sont
plus puissantes : dans le cas où la méthode usuelle donne une valeur à S, il en est de même de ces
deux méthodes (avec la même valeur de S). En ce qui concerne par exemple la convergence au sens
de Cesaro, c'est un exercice classique de montrer que, si une suite Sn admet une limite S, alors la
n
Sk
admet la même limite. Cet exercice est souvent traité en première année,
n+1
k=0
suite des moyennes ∑
mais son intérêt pour les séries ne peut être souligné à cette période. Car l'intérêt de la convergence
au sens de Césaro est de pouvoir attribuer une somme à des séries divergentes au sens usuel. Il en est
de même de la méthode d'Abel. Par exemple, la série d'Euler 1 – 1 + 1 – 1 +... se voient attribuer la
1
valeur par les méthodes de Césaro et d'Abel alors que la méthode usuelle échoue. Quant à la
2
∞
∞
(–1)n n
–t
e
méthode de Borel, elle attribue à cette série la valeur ⌠
t dt or nous verrons que
∑

n=0 n!
⌡0
n
∞
1
(–1) n
t n'est autre que e–t de sorte que l'intégrale devient ⌠
e–2t dt = là aussi.

2
n!
⌡0
∞
∑
n=0
La plupart des résultats énoncés dans ce chapitre sont dus à Cauchy en 1821, qui écrira à cette
occasion :
Je me suis vu forcé d'admettre plusieurs propositions qui paraîtront peut-être un peu
dures au premier abord. Par exemple [...] qu'une série divergente n'a pas de somme.
2- Exemples de séries
EXEMPLE 1 : un premier exemple de série est fourni par le développement décimal d'un réel. On a
en effet :
∞
x=M+∑
n=0
an
10n
où M est la partie entière de x, et les ai des chiffres tels que ∀ n, ∃ m > n, am ≠ 9. (Cette condition a
pour but d'éviter les écritures décimales avec une infinité de 9. Au lieu de 0,9999999999..., on a 1
tout simplement).
∞
EXEMPLE 2 : il n'est pas difficile de montrer que, pour x < 1, on a
1
. Il s'agit d'une série
∑ xn = 1–x
n=0
géométrique.
-3-
∞
EXEMPLE 3 : on appelle série harmonique la série
1
∑ . Elle diverge. Les démonstrations en sont
n=1 n
innombrables, certaines datant du milieu du XVIIème :
Démonstration 1
La somme partielle, de 1 à N = 2k est minorée par :
k
∑
2p
∑
p=1 n = 2p–1+1
k
1
2p–1 k
≥ ∑ p = qui tend vers +∞ avec k
2
n p=1 2
Démonstration 2
n
Posons Sn = ∑
k=1
1
et Dn = S2n – Sn. On a évidemment Dn > 0.
k
1
1
1
1
1
+
– =
–
> 0. Donc la suite (Dn) est strictement croissante et
2n 2n–1 n 2n–1 2n
strictement positive, donc elle ne peut tendre vers 0, ce qui serait si la suite (Sn) convergeait. Donc
(Sn) diverge.
De plus : Dn – Dn–1 =
Démonstration 3
On a ln(1 + x) ≤ x pour x > –1 donc
n
n
n
(n+1)!
= ln
= ln(n+1), donc la
∑ 1k ≥ ∑ ln(1 + 1k) = ∑ ln 1+k
k
n!
k=1
k=1
k=1
série diverge vers +∞ quand n tend vers +∞.
Démonstration 4
n
Posons Sn = ∑
k=1
1
. On a :
k
1
1 2 2
2
2
1
1 2
1
1
+ ... + = + + ... +
avec = – + 1 + et ≤
+
2
n 2 4
2n
2
2
2 2k 2k–1 2k
1
1 1 1
1
1
1
Donc Sn ≤ – + 1 + + + + ... +
+
= – + S2n
2
2 3 4
2n–1 2n
2
Si la suite (Sn) convergeait vers une limite S, on aurait :
1
S≤– +S
2
donc 0 ≤ – 1/2.
Sn = 1 +
Démonstration 5
n
Posons Sn = ∑
k=1
1
. On a :
k
1
1
1
n 1
+
+ ... +
≥ nombre de termes × plus petit terme =
=
n+1 n+2
2n
2n 2
Si la série convergeait vers S, on aurait, en passant à la limité :
1
0=S–S≥
2
S2n – Sn =
-4-
Démonstration 6
Pour tout entier n, on a :
2
1
1
1 1 n –n 1
1 n2 – n
+
+ ... + 2 = + ∑
≥ +
=1
n n+1
n n k=1 n + k n
n2
donc, en regroupant les termes de la série géométrique par paquets entre l'indice n et n2, on peut
dépasser toute quantité donnée. Ainsi :
1 1 1
1
1
1 + ( + + ) + ( + ... + ) ≥ 1 + 1 + 1 = 3
5
25
2 3 4
Les regroupements peuvent être effectués aussi loin que l'on veut.
Démonstration 7
1
1
1
3
+ +
≥ donc :
n–1 n n+1 n
1 1 1
1
1
1
3 3
3
1 1 1
+
+
) ≥ 1 + + + ... +
1 + ( + + ) + ( + + ) + ... + (
5 6 7
3n – 1 3n 3n + 1
3 6
3n
2 3 4
1
1
≥ 1 + 1 + + ... +
2
n
S3n+1 ≥ 1 + Sn. Si la suite (Sn) des sommes partielles convergeait vers S, on aurait S ≥ 1 + S.
Pour tout entier n, on a
soit
EXEMPLE 4 : pour tout x, l'inégalité de Taylor–Lagrange donne :
x2
xn
xn+1
ex – (1 + x + + ... + ) ≤ M
2
n!
(n+1)!
où M est un majorant de ex entre 0 et x. On peut choisir par exemple M = exp x . Le membre de
droite de l'inégalité tend vers 0 quand n tend vers +∞, donc, pour tout x :
∞
ex = ∑
n=0
∞
En particulier, ∑
n=0
xn
n!
∞
1
(–1)n 1
= e et ∑
=
n!
n!
e
n=0
EXEMPLE 5 : on montre dans le chapitre FOURIER.PDF que
∞
2
∞
π4
. Le calcul
∑ n12 = π6 et ∑ n14 = 90
n=1
n=1
de ces deux séries constituèrent un défi au début du XVIIIème et leur somme fut établie par Euler.
L'expression remarquable du résultat n'a d'égal que l'étonnement que l'on peut avoir sur la possibilité
de l'établir. Cela laisse faiblement entrevoir la joie qu'a dû éprouver Euler.
Plus généralement on connaît la valeur de la série somme des inverses de n'importe quelle puissance
∞
paire, mais on ne connaît aucune formule pour
1
∑ 3 (on sait seulement depuis 1978 qu'il s'agit d'un
n=1 n
irrationnel).
L'exemple 3 montre qu'il ne suffit pas que le terme général xn d'une série tende vers 0. C'est
cependant nécessaire. En effet, si une série converge, alors Sn – Sn–1 tend vers S – S = 0. Or
-5-
Sn – Sn–1 = xn. Ainsi, la série ∑ (–1)n diverge et nous n'attribuerons aucune valeur à cette somme,
contrairement à Euler.
Il est facile de vérifier que l'ensemble des séries convergentes forme un espace vectoriel, et que l'on a
∞
∞
∞
∞
∞
∞
n=0
n=0
n=0
n=0
n=0
n=0
∑ un + vn = ∑ un + ∑ vn et ∑ λun = λ ∑ un. si un est complexe égal à xn + iyn, alors la série ∑ un
–––––
∞
également ∑ un =
n=0
∞
∞
∞
∞
∞
n=0
n=0
n=0
n=0
n=0
∑ xn et ∑ yn convergent et ∑ un = ∑ xn + i ∑ yn. On a
converge si et seulement si les séries
∞
∑ ––
u .
n
n=0
Cela résulte en effet des théorèmes sur les limites des suites.
3– Propriété de Cauchy
Rappelons la propriété de Cauchy pour les suites : une suite (un)n∈ est convergente si et seulement
si :
∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ∀ p ≥ n, up – un < ε
Pour une série, cette propriété s'exprime par : une série (∑ un) est convergente si et seulement si :
∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ∀ p ≥ n,
p
∑ uk < ε
k=n+1
Prenons par exemple la série harmonique (démonstration 8). Alors, pour tout p ≥ n, on a :
p
∑ 1k ≥ p –p n (nombre de termes fois le plus petit)
k=n+1
1
Quand p tend vers +∞, ce minorant tend vers 1. Si donc ε = , il est impossible de trouver N tel que
2
la propriété de Cauchy soit vérifiée. La série est donc divergente.
4– Intégrales impropres
Une définition comparable de convergence peut être posée pour les fonctions continues par
morceaux sur des intervalles autres que les segments :
b
❑ Si f est continue par morceaux sur [a, b[, on dit que l'intégrale ⌠
 f(t) dt est impropre (ou
⌡a
x
généralisée). Elle est convergente si ⌠
 f(t) dt admet une limite quand x tend vers b, en restant dans
⌡a
b
[a, b[. ⌠
 f(t) dt désigne alors la valeur de cette limite.L'intégrale est divergente s'il n'y a pas de
⌡a
limite.
Ci-dessus, b est éventuellement infini. Dans le cas d'un intervalle du type ]a, b], (a éventuellement
infini), on définira :
-6-
b
b
⌠ f(t) dt = lim ⌠ f(t) dt si cette limite existe

x→a
⌡a
⌡x
et dans le cas d'un intervalle du type ]a, b[, on posera :
b
y
c
y
⌠ f(t) dt =
⌠ f(t) dt = lim ⌠ f(t) dt + lim ⌠ f(t) dt si chacune des deux
lim

(x,y) → (a,b) 
x→a
y→b
⌡a
⌡x
⌡x
⌡c
limites existe. c est un point quelconque de [a, b].
La convergence des intégrales est souvent plus facile à traiter car on dispose parfois de primitives :
EXEMPLE 1 :
Soit a > 0
∞
⌠ e–t dt = lim [ e–t] x ce qu'on note parfois [ e–t] +∞
0
0

x→∞
⌡0
=1
EXEMPLE 2 :
1
⌠ 1 dt = lim [ 2 t] 1 = [ 2 t] 1 = 2
 t
x
0
x→0
⌡0
EXEMPLE 3 :
1
⌠ 1 dt = lim lnt 1 = diverge
[ ]x
 t
x→0
⌡0
mais nous verrons ci-après des critères de convergence rapides à mettre en oeuvre.
Par passage à la limite des bornes de l'intégrale, on montre facilement que les propriétés usuelles de
l'intégrale sur un segment sont vérifiées par les intégrales impropres (linéarité, relation de Chasles,
inégalité de la moyenne, changement de variables). On prendra garde cependant que, pour
⌠
l'intégration par parties pour laquelle l'intégrale ⌠
 uv' est transformée en la somme [ uv] I –  u'v,
⌡I
⌡I
l'intégrale initiale peut être convergente, alors que, séparément [ uv] et ⌠
 u'v peuvent diverger. Il
I
⌡I
convient dans ce cas d'intégrer par parties sur des segments J inclus dans I et de ne passer à la limite
qu'à la fin du calcul.
II : Séries à termes positifs et fonctions positives
1– Critères de convergence
Ce paragraphe s'applique aux séries à terme général réel de signe constant. Quitte à changer tous les
signes, on peut se ramener à des séries à terme général positif. Pour ces séries, on dispose des
théorèmes de convergence suivants :
PROPOSITION :
i) Soit (∑ un) une série à termes positifs ou nuls. Alors la série converge si et seulement si les
∞
sommes partielles sont majorées. Dans ce cas, ∑ un = lim Sn = Sup Sn.
n=0
n→+∞
-7-
ii) Soient (∑ un) et (∑ vn) deux séries à termes positifs. Si un = O(vn) et si ∑ vn converge, alors ∑ un
converge.
iii) Si (∑ un) et (∑ vn) sont des séries de signe constant, et si un ∼ vn au voisinage de +∞, alors ∑ un
et ∑ vn sont simultanément convergentes ou divergentes (on dit que les deux séries sont de même
nature).
Démonstration :
i) La suite des sommes partielles Sn = u0 + ... + un est une suite croissante. En effet, Sn+1 – Sn = un+1
est supérieur ou égal à 0. Cette suite converge si et seulement si elle est majorée et alors, elle
converge vers sa borne supérieure.
ii) On suppose qu'il existe N et M tel que, pour n ≥ N, on ait un ≤ Mvn. Supposons que la série (∑ vn)
converge. On a alors :
n
∑ uk ≤ M
k=N
n
∑ vk ≤ M
k=N
∞
∞
N–1
k=N
k=0
k=0
∑ vk = M (∑ vk –
∑ vk)
n
car la série (∑ vn) converge en croissant vers sa limite. Les sommes partielles
∑ uk sont donc
k=0
majorées et on applique le i).
Le plus souvent, on cherche directement une majoration un ≤ vn. Pour qu'une série à termes positifs
converge, il suffit de la majorer par une série convergente. En prenant la contraposée, pour qu'une
série à termes positifs diverge, il suffit de la minorer par une série à termes positifs divergente.
iii) Au voisinage de l'infini, on a :
vn
3v
≤ un ≤ n, donc : un = O(vn) et vn = O(un) d'où l'équivalence.
2
2
n2 + 3n + 1
EXEMPLE 1 : ∑ n3 + 5n – 6
Cette série est une série divergente, car son terme général est équivalent à
1
qui est positif, et terme
n
général d'une série divergente.
EXEMPLE 2 : Considérons la série ∑
1
. Nous disposons du résultat suivant :
nα
1
) convergent si et seulement si α > 1.
nα
1 1
1
1
Si α ≤ 1, alors α ≥ , et comme la série ∑ diverge, il en est de même de ∑ α.
n
n
n
n
Si α > 1, alors on remarque que :
1
=1
1α
1 1 2
1
α + α ≤ α = α–1
2 3 2 2
1 1 1 1 4
1
+ + + ≤ =
4α 5α 6α 7α 4α 4α–1
...
Les séries ( ∑
-8-
1
1
1
2p
1
1
p
α+
p
α + ... +
p
p
α ≤
p α=
p α–1
p α+
(2 + 2 – 1) (2 ) (2 )
(2 ) (2 + 1) (2 + 2)
N
En majorant la somme partielle
∑
n=1
1
par une somme partielle analogue comprenant un nombre de
nα
termes supérieur à N de la forme 2p+1 – 1 et en utilisant les inégalités précédentes, on a :
N
∑
n=1
1
≤
nα
p
1
n α–1 =
n=0 (2 )
∑
1–
n=0
1
(2α–1)n
≤
∞
∑
n=0
1
1
série géométrique de terme général α–1 < 1 qui
(2α–1)n
2
∞
1
converge vers
p
∑
1
. Les sommes partielles étant majorées, la série ∑
n=1
α–1
1
converge.
nα
2
❑ Il faut prendre garde que les séries sont des limites et non des sommes finies, sous peine de
connaître des déboires cuisants. Donnons de suite un exemple frappant (Un autre exemple tout aussi
troublant est donné dans le III)-4) séries alternées EXEMPLE 1). En 1655, Wallis donne la formule
suivante :
2 1.3.3.5.5.7.7.9.9.11...
=
π 2.2.4.4.6.6.8.8.10.10..
Il s'agit d'un produit infini mais on se ramène à des séries en prenant le logarithme. Nous ne
chercherons pas à montrer cette formule mais nous nous livrerons simplement à quelques calculs
élémentaires... et paradoxaux. Considérons donc :
1.3.3.5.5.7.7.9.9.11...
1 3 3 5 5 7 7
ln(
) = ln( × × × × × × ×...)
2.2.4.4.6.6.8.8.10.10..
2 2 4 4 6 6 8
1
3
3
5
5
7
7
= ln( ) + ln( ) + ln( ) + ln( ) + ln( ) + ln( ) + ln( ) + ...
2
2
4
4
6
6
8
∞
somme de la forme ∑ (ln
n=1
– ln
2n + 1
2n – 1
+ ln
). Son terme général peut s'écrire :
2n
2n
2n
2n + 1
1
1
+ ln
= – ln(1 +
) + ln(1 + )
2n – 1
2n
2n – 1
2n
1
1
1
=–
+
+ O( 2)
(développement limité de ln)
2n – 1 2n
n
1
1
1
=–
+ O( 2)) ∼ – 2 terme de signe constant
2n(2n – 1)
n
4n
Comme la série ∑
∞
1
2n – 1
2n + 1
converge,
il
en
est
de
même
de
(ln
+ ln
).
∑
n2
2n
2n
n=1
Remarquons maintenant que, 1 étant neutre pour le produit, on devrait aussi bien avoir :
2 1.3.3.5.5.7.7.9.9.11...
2 3.3.5.5.7.7.9.9.11...
2 1.1.3.3.5.5.7.7.9.9....
=
que =
ou =
2.2.4.4.6.6.8.8.10.10..
2.2.4.4.6.6.8.8.10...
π
π
π 2.2.4.4.6.6.8.8.10.10..
2 3.3.5.5.7.7.9.9.11...
32 52 72
Mais la formule =
est constitué de produits 2, 2, 2, ... tous plus grands que
2 4 6
π 2.2.4.4.6.6.8.8.10...
2
1, donc le produit augmente et est supérieur à 1, et ne saurait converger vers , qui est strictement
π
inférieur à 1. D'ailleurs, en prenant les logarithmes, on trouve :
-9-
∞
∞
∞
(2n + 1)2
2n + 1
1
32
52
72
ln( 2) + ln( 2) + ln( 2) + ... = ∑ ln
= 2 ∑ ln
= 2 ∑ ln(1 + ) série à termes
2
4
6
(2n)
2n
2n
2
n=1
n=1
n=1
1
, terme général d'une série divergente. Ainsi, le fait
2n
même de supprimer le facteur 1 pourtant sans intérêt dans un produit (ou de supprimer de la somme
ln(1) qui est nul) et de réordonner les termes rend la formule divergente.
1.1.3.3.5.5.7.7.9.9....
1
Si au contraire, on rajoute 1 pour obtenir la formule
, alors les facteurs sont 2,
2
2.2.4.4.6.6.8.8.10.10..
32 52
1 1
2
, , ... tous inférieurs à 1, donc le produit sera inférieur au premier facteur 2 = alors que est
42 62
2
4
π
strictement supérieur à cette valeur. Aburdité également. En prenant les logarithmes, le terme général
2n
1
2
(2n – 1)2
= – 2 ln
= – 2 ln(1 +
)∼–
là aussi terme général d'une série
devient ln
2n – 1
2n – 1
2n – 1
(2n)2
divergente.
positifs dont le terme général est équivalent à
Pour les fonctions, le théorème correspondant s'énonce comme suit, par exemple dans le cas où
I = [a, b[. Le lecteur adaptera aisément le résultat pour les autres formes possibles d'intervalles.
PROPOSITION :
i) Soit f une fonction continue par morceaux sur I et positive ou nulle. Alors l'intégrale ⌠
 f
⌡I
converge si et seulement si les intégrales ⌠
 f où J parcourt les segments inclus dans J sont
⌡J
majorées.
ii) Soit f et g définies sur [a, b[, positives. Si, au voisinage de b, f = O(g) et si ⌠
 g converge alors
⌡I
⌠ f converge.

⌡I
⌠
iii) Si, au voisinage de b, f ∼ g, alors ⌠
 g et  f sont de même nature (toutes deux convergentes ou
⌡I
⌡I
toutes deux non divergentes).
Démonstration : elle est tout à fait comparable à celle relative aux séries.
⌠
⌠
i) ⌠
 f est la limite des  f lorsque les bornes de J tendent vers celles de I. Comme  f croît avec J,
⌡I
⌡J
⌡J
cette limite existe si et seulement si les ⌠
 f sont bornés.
⌡J
ii) Il existe M et c élément de [a, b[ tels que, pour x élément de [c, b[, on ait : 0 ≤ f(x) ≤ Mg(x), et
donc :
x
x
b
x
⌠ f(t) dt ≤ M⌠ g(t)dt ≤ M⌠ g(t)dt puisque ⌠ g(t)dt est une fonction croissante de x




⌡c
⌡c
⌡c
⌡c
b
c
x
⌠
⌠
majorée par sa limite ⌠
 g(t)dt. En rajoutant  f(t)dt qui est un nombre fini, on voit que la quantité 
⌡c
⌡a
⌡a
f(t)dt est une fonction croissante de x est majorée, donc convergente.
- 10 -
Le plus souvent, on cherche directement une majoration f ≤ g au voisinage de b. Pour que l'intégrale
d'une fonction positive converge, il suffit de la majorer par une fonction dont l'intégrale converge. En
prenant la contraposée, pour qu'une intégrale d'une fonction positive diverge, il suffit de la minorer
par une fonction positive dont l'intégrale diverge.
g
3g
iii) Il suffit de remarquer que sur un voisinage [c, b[ de b, on a un encadrement du type ≤ f ≤ . Si
2
2
3g
et donc de f, d'après i). De même, si
l'intégrale de g converge, il en est de même de celle de
2
l'intégrale de f converge, celle de g aussi.
2– Comparaison série-intégrale
Début de partie réservée aux PSI/PSI*
L'analogie entre série et intégrale impropre apparaît de manière encore plus apparente dans le
théorème suivant :
THEOREME :
Soit f une fonction positive décroissante sur [0,+∞[, continue par morceaux sur tout intervalle
[0,x]). Alors :
n
⌠
i) la série de terme général wn = f(t) dt – f(n) est convergente.
⌡n–1
∞
⌠
ii) la série (∑ f(n)) converge si et seulement si l'intégrale  f(t) dt converge. En outre,
⌡0
Démonstration :
i) f étant décroissante positive converge vers une limite l en +∞. Pour tout n, on a :
n
⌠
f(n) ≤  f(t) dt ≤ f(n–1)
⌡n–1
n
⌠
0 ≤  f(t) dt – f(n) ≤ f(n–1) – f(n)
⌡n–1
Il suffit donc de prouver que la série (∑ f(n–1) – f(n)) converge, or les sommes partielles de cette
⇒
n
série valent ∑ f(k–1) – f(n) = f(0) – f(n) qui converge vers f(0) – l. On remarquera que :
k=1
n
n
w1 + ... + wn = ⌠
∑ f(n)
 f(t) dt – k=1
⌡0
Ainsi, la différence entre l'intégrale partielle sur [0,n] et la somme partielle est-elle convergente.
∞
ii) Supposons maintenant que ⌠
 f converge. On a alors :
⌡0
k
n
∞
⌠
f(t) dt ≤ ⌠
f(t) dt
∑ f(k) ≤ ∑  f(t) dt = ⌠


k=1
k=1 ⌡
k–1
⌡
⌡
n
n
0
0
donc la série converge (les sommes partielles sont majorées).
Réciproquement, si la série converge, on peut majorer les intégrales partielles. Si x est un réel de
partie entière n, on a :
- 11 -
x
n+1
k
n+1
⌠
⌠
⌠
 f(t) dt ≤  f(t) dt = ∑  f(t) dt ≤
⌡0
⌡0
k=1 ⌡
k–1
n+1
n
∞
k=1
k=0
k=0
∑ f(k–1) = ∑ f(k) ≤ ∑ f(k)
Comme l'intégrale partielle est une fonction croissante de x et majorée, elle converge.
On a enfin l'encadrement :
∞
∞
⌠
⌠
 f(t) dt ≤ ∑ f(k) ≤ f(0) +  f(t) dt
k=0
⌡0
⌡0
+∞
Ci-dessous les graphiques permettent d'illustrer la démonstration :
n
n
n
∑ f(k) ≤ ⌠
 f(t) dt
n–1
⌠ f(t) dt ≤ ∑ f(k)

k=1
k=0
⌡0
⌡0
Les termes wn sont les triangles curvilignes apparaissant dans la figure de gauche au dessus des
rectangles. Si on les déplace dans la même colonne [0,1] × [0, f(0)], il apparaît clairement que toute
somme partielle des wn est majorée par f(0).
1
EXEMPLE 1 : la série harmonique (∑ ) diverge (démonstration 9) car elle est de même nature que
n
∞
1
l'intégrale de ⌠
 t dt. Cependant, la différence entre la somme partielle et l'intégrale de 1 à n
⌡1
converge, ce qui permet d'écrire :
1
1
1 + + ... + = ln(n) + C + o(1)
2
n
où C est une constante, appelée constante d'Euler. Une valeur approchée est 0.57721566...
- 12 -
EXEMPLE 2 : on peut également procéder à des encadrements en cas de fonction croissante.
Considérons par exemple ln(n!). On a :
n
n+1
⌠
⌠
 ln(t) dt ≤ ln(n) ≤  ln(t) dt
⌡n–1
⌡n
⇒
nln(n) – 1 – (n–1)ln(n–1) ≤ ln(n) ≤ (n+1)ln(n+1) – 1 – nln(n)
On somme ensuite les inégalités, de 2 à n pour l'inégalité de gauche, et de 1 à n pour celle de droite :
⇒
nln(n) – n + 1 ≤ ln(n!) ≤ (n+1)ln(n+1) – n
⇒
nne–n × e ≤ n! ≤ (n+1)n+1e–n
1
Comme (n+1)n+1 = exp[ (n+1)ln(n+1)] = exp[ (n+1)ln(n) + (n+1)ln(1 + )]
n
1
1
= exp[ (n+1)ln(n) + (n+1)( + o( ))]
n
n
= exp[ (n+1)ln(n) + 1 + o(1)]
∼ nn en
n!
on en déduit que n –n est compris entre e et en × qqc qui tend vers 1. Par des méthodes un peu plus
ne
n!
compliquées, on peut montrer que n –n ∼ 2πn, ou encore que n! ∼ nne–n 2πn, ou enfin que
ne
1
1
ln(n!) = nln(n) – n + ln(n) + ln(2π) + o(1) (Formule de Stirling).
2
2
Fin de la partie réservée aux PSI/PSI*. Retour à la partie commune PSI/PC
3- Fonctions et séries de réference
Pour voir si une série à termes positifs ou une intégrale impropre d'une fonction positive converge,
on prend un équivalent pour se ramener à une expression plus simple, servant de référence. Les cas
les plus fréquents que l'on obtient figurent ci-dessous.
On vérifiera aisément, en calculant une primitive que :
∞
⌠ 1 dt converge si et seulement si α > 1
 tα
⌡
1
diverge si et seulement si α ≤ 1
1
⌠ dt converge si et seulement si α < 1
 tα
⌡0
diverge si et seulement si α ≥ 1
1
⌠a 1
dt converge si et seulement si α < 1
 t–t α
0
⌡t
0
∞
diverge si et seulement si α ≥ 1
⌠ –αt
 e dt converge pour tout α > 0
⌡0
1
⌠ ln(t) dt converge

⌡0
- 13 -
∞
1
∑ α converge si et seulement si α > 1
n=1 n
diverge si et seulement si α ≤ 1.
Le résultat sur les séries a été démontré plus haut La série ci–dessus s'appelle série de Riemann. Elle
sert souvent de série de référence pour voir si une série à termes positifs converge.
EXEMPLE 1 :
∞
⌠ P(t) dt où P est de degré n et Q de degré m.
 Q(t)
⌡a
En supposant Q non nul sur [a, +∞[, le seul problème de convergence se pose en +∞. On a alors
P(t)
1
∼
. L'intégrale converge si et seulement si m – n > 1.
Q(t) xm–n
EXEMPLE 2 :
∞
⌠
Trouver les valeurs de x pour lesquelles Γ(x) converge, avec Γ(x) =  e–t tx–1 dt.
⌡0
1
En 0, e–t.tx–1 ∼ tx–1 = 1–x dont l'intégrale converge si et seulement si x > 0.
t
1
En +∞, on a 0 ≤ e–t.tx–1 ≤ 2 puisque e–t.tx+1 tend vers 0 quand t tend vers +∞. Donc l'intégrale
t
converge en +∞ pour tout x.
Ainsi, Γ(x) est défini sur +*. On vérifiera que Γ(x+1) = x Γ(x) et donc par récurrence que, pour n
entier, Γ(n+1) = n!. Ainsi, Γ est une extension aux réels strictement positifs de la factorielle.
Voici le graphe de la fonction Γ entre –5 et 5, obtenu avec MAPLE :
O
On peut s'étonner d'un tel graphe alors que nous avons vu que Γ n'était défini que pour x > 0. En
effet, on y voit Γ défini pour les valeurs négatives non entières de x. En fait, on a prolongé Γ aux
valeurs négatives, par exemple au moyen de l'un des procédés suivants :
Γ(x+1)
❑ Dans la relation Γ(x) =
, le membre de droite est défini pour x élément de ]–1,0[ ∪ ]0,+∞[.
x
On peut donc utiliser cette relation pour définir Γ(x) sur ]–1,0[. Mais reprenant la même relation
- 14 -
avec l'extension de Γ, le membre de droite est cette fois défini sur ]–2,–1[ ∪ ]–1,0[ ∪ ]0,+∞[,
permettant d'étendre Γ à ]–2,–1[. De proche en proche, on définit ainsi Γ sur tout intervalle
]–n–1,–n[.
❑ On peut aussi écrire (la connaissance du chapitre "Suites et Séries de fonctions" est nécessaire ici)
:
1
∞
∞
⌠ –t x–1
⌠
⌠ –t x–1
Γ(x) =  e t dt =  e t dt +  e–t tx–1 dt
⌡0
⌡0
⌡1
∞
1 ∞
⌠
(–t)n x–1
=⌠
∑ n! t dt +  e–t tx–1 dt avec convergence normale de la série sur [0,1]
 n=0
⌡1
⌡0
∞
∞
1
⌠
(–t)n x–1
=∑⌠
t dt +  e–t tx–1 dt

n!
n=0
⌡1
⌡0
∞
∞
⌠
(–1)n
=∑
+  e–t tx–1 dt
(n+x)n!
n=0
⌡
1
expression qui est définie pour tout x réel non entier négatif.
Voici une curieuse utilisation de la fonction Γ :
∞
⌠ ⌠
⌠
n
Considérons ... exp(–x12 – ... – xn2) dx1 dx2 ... dxn =  exp(–t2) dt
 ⌡ n
⌡–∞

⌡
2
2
2
Si on passe en coordonnées sphériques, x1 + ... + xn = r avec r variant de 0 à l'infini. L'élément de
volume sera égal à dr × aire de la surface de la sphère Sn–1(r) = {(x1, ..., xn), x12 + ... + xn2 = r2}. Par
homothétie de centre 0 de rapport r, la surface de cette sphère est égale à rn–1 × aire de Sn–1(1). (On a
S1(r) = 2πr et S2(r) = 4πr2). On a donc :
∞
⌠ ⌠
⌠
... exp(–x12 – ... – xn2) dx1 dx2 ... dxn = Sn–1(1) exp(–r2) rn–1 dr
 ⌡ n
⌡0
⌡
∞
∞
⌠
1⌠
Γ(n/2)
.
Posons t = r2. On a  exp(–r2) rn–1 dr =  exp(–t) tn/2–1 dr =
2
2
⌡0
⌡0
On a donc finalement :
∞
⌠
n
Γ(n/2)
2
 exp(–t ) dt = Sn–1(1) 2
⌡–∞

∞
⌠
2
Γ(1)
Pour n = 2, cette formule correspond à  exp(–t2) dt = S1(1)
= π, donc :
2
⌡–∞

∞
⌠
2
 exp(–t ) dt = π
⌡–∞
∞
t2
formule qu'on rencontre également sous la forme ⌠
exp(–
) dt = 2π

2
⌡–∞
- 15 -
Γ(n/2)
et donc que l'aire de la sphère unité de
2
2 πn
1
. Pour n = 3, on obtient : π3 = 2π Γ(3/2) ⇒ Γ(3/2) = π = Γ(1/2) ⇒ Γ(1/2) = π
2 2
Γ(n/2)
On en déduit également que
πn = Sn–1(1)
n
est
Montrons enfin la formule de Stirling : n! ∼ nn e–n 2πn (la connaissance du chapitre "Suites et
Séries de fonctions" SUITESF.PDF est nécessaire ici). On écrit :
∞
⌠
n! = Γ(n+1) =  e–t tn dt
⌡0
∞
u
exp(–n – u n) nn (1 + )n n du en faisant le changement de variable t = n + u n
=⌠

n
⌡
–
n
n
–n
=n e
∞
n⌠

⌡–
exp(– u n + n ln(1 +
n
u
)) du
n
∞
L'intégrale est de la forme ⌠
 fn(u) du avec :
⌡–∞
fn(u) = 0 si u < n
= exp(– u n + n ln(1 +
u
)) pour u ≥ – n
n
Quand n tend vers +∞, pour u fixé, fn(u) sera égal à exp(– u n + n ln(1 +
u
)) pour n assez grand,
n
u2
). On vérifiera en outre que, pour tout n et tout u, 0 ≤ fn(u) ≤ ϕ(u) avec ϕ
2
intégrable définie par :
u2
ϕ(u) = exp(– ) pour u ≤ 0
2
= (1+u) exp(–u) pour u ≥ 0
Le théorème de convergence dominée permet alors de conclure que l'intégrale tend vers
2
∞
⌠ exp(– u ) du, et dont la valeur est 2π comme vu précédemment.

2
⌡–∞
de limite exp(–
III : Séries ou intégrales quelconques
Dans ce paragraphe, on s'attache à déterminer la convergence de deux types de séries, les séries dites
absolument convergentes, et les séries dites alternées. On aborde aussi le cas des intégrales
absolument convergentes.
1– Absolue convergence
DEFINITION
Une série (∑ un) est dite absolument convergente si (∑ un ) converge.
⌠
Une intégrale ⌠
 f est dite absolument convergente si  f converge. On dit aussi que f est
⌡I
⌡I
intégrable sur I.
- 16 -
Cette notion n'a évidemment d'intérêt que pour les séries à coefficients (ou des fonctions à valeurs)
complexes ou réels de signe non constants
PROPOSITION :
Une série absolument convergente est convergente.
Une intégrale absolument convergente est convergente.
Démonstration 1 :
❑ Si un est à coefficients complexes, on écrit un = xn + iyn, et comme xn et yn sont inférieurs ou
égaux à un , les séries obtenues en prenant les parties réelles et imaginaires sont elles–mêmes
absolument convergentes. Il suffit donc de raisonner sur . On suppose donc un réel. On pose :
un+ = un si un ≥ 0
= 0 sinon
–
un = – un si un ≤ 0
= 0 sinon
On a alors :
un = un+ + un–
un = un+ – un–
Les séries (∑ un+) et (∑ un–) sont des séries à termes positifs ou nuls, majorées par la série
convergente (∑ un ). Elles sont donc convergentes Il en est de même de la série (∑ un), différence de
ces deux séries. On a par ailleurs, en majorant la valeur absolue des sommes partielles et en passant à
la limite :
∞
∞
n=0
n=0
∑ un ≤ ∑ un
❑ Pour f à valeurs réelles, on procède de manière analogue en posant :
1
f+ = Sup(f,0) = (f + f )
2
1
f– = Sup(–f,0) = ( f – f)
2
de sorte que f = f+ + f– et f = f+ – f–.
Si f est intégrable, il en est donc de même de f+ et f–. On a alors :
⌠ +
⌠
⌠ –
 f(t) dt =  f (t) dt –  f (t) dt
⌡I
⌡I
⌡I
On a par ailleurs :
⌠ +
⌠
⌠ –
 f(t) dt =  f (t) dt +  f (t) dt
⌡I
⌡I
⌡I
⌠
⌠
de sorte que  f(t) dt ≤  f(t) dt
⌡I
⌡I
- 17 -
x
⌠
Si I = [a, b[, la limite lim  f(t) dt peut fort bien exister sans qu'aucune des limites suivantes
x→b ⌡a
x
x
x
⌠
⌠
⌠
n'existent : lim  f+(t) dt, lim  f–(t) dt, lim  f(t) dt. On peut très bien avoir par exemple :
x→b ⌡a
x→b ⌡a
x→b ⌡a
x
x
⌠
⌠
lim  f+(t) dt = lim  f–(t) dt = +∞
x→b ⌡a
x→b ⌡a
alors que la différence converge. De même pour les séries. Il existe des séries qui sont convergentes
∞
∞
n=0
n=0
sans être absolument convergentes. Pour ces séries, on a
∑ un+ = ∑ un– = +∞, mais la série des
∞
différences converge. Nous verrons que c'est le cas de
(–1)n+1
qui converge vers ln(2). On appelle
n
n=1
∑
semi-convergentes de telles intégrales ou séries. L'absolue convergence est une condition suffisante
de convergence.
Démonstration 2 pour les séries :
Début de partie réservée aux PSI/PSI*
Si la série (∑ un ) est absolument convergente, elle vérifie le critère de Cauchy, à savoir :
∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ∀ p ≥ n,
p
∑ uk < ε
k=n+1
On en déduit qu'a fortiori :
∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ∀ p ≥ n,
p
∑ uk < ε
k=n+1
Donc la série (∑ un) vérifie le critère de Cauchy et est convergente.
Fin de la partie réservée aux PSI/PSI*. Retour à la partie commune PSI/PC
Afin de voir si une série ou une intégrale quelconque est convergente, on regarde si elle est
absolument convergente, se ramenant ainsi à des séries à termes positifs ou à des fonctions positives.
On peut alors appliquer les méthodes d'équivalents, de majorations, de minorations, de comparaison
avec les séries ou les intégrales de Riemann.
Les séries absolument convergentes forment un espace vectoriel. En effet, si (∑ un) et (∑ vn) sont
absolument convergentes, il en est de même de la somme, puisque :
un + vn ≤ un + vn
et la série somme, en valeur absolue, converge, étant majorée par une série convergente. La
vérification pour le produit par un scalaire est facile. Il en est de même des fonctions intégrables.
EXEMPLE 1 :
- 18 -
(∑
(–1)n+1
) est absolument convergente. On peut même en calculer la somme. En effet, nous avons
n2
donné plus haut la valeur de
∞
2
∑ n12 = π6 . On en déduit (au besoin en considérant les sommes
n=1
partielles avant de prendre leurs limites) que :
∞
1
1 ∞ 1 π2
=
∑ n12 = ∑ (2p)
∑ =
2
4 p=1 p2 24
n pair
p=1
⇒
∞
∑
n impair
⇒
1 ∞ 1
1 π2 π2 π2
= –
=
2 = ∑
2 – ∑
n n=1 n n pair n2 6 24 8
∞
n=1
n impair
1
1 π2 π2 π2
= –
=
2 – ∑
n n pair n2 8 24 12
sin(x)
sin(x)
1
est intégrable sur [1, +∞[ car
≤ 2 qui est intégrable sur [1,+∞[. Par
2
2
x
x
x
EXEMPLE 2 :
contre
∞
n+1
= ∑
∑ (–1)
n2
sin(x)
n'est pas intégrable sur [1,+∞[. En effet :
x
(k+1)π
(k+1)π
⌠
sin(x)
1 ⌠
2

dx ≥
sin(x) dx =
terme général d'une série divergente

x
(k+1)π
(k+1)π
⌡kπ
⌡kπ
∞
Cependant, ⌠

⌡1
sin(t)
dt converge car :
t
x
x
⌠ sin(t) dt = – cos(t) x – ⌠ cos(t) dt
2

 t
t  1 

⌡1
⌡1 t
cos(t)
Le crochet admet une limite et la fonction 2 est, elle, intégrable, donc le membre de droite admet
t
une limite.
∞
2
De même, cos(t2) n'est pas intégrable sur [0,+∞[, mais ⌠
 cos(t ) dt existe (faire le changement de
⌡0
2
variable u = t puis une intégration par partie).
EXEMPLE 3 :
Pour z complexe de partie réelle positive, on a e–t tz–1 = e–t tRe(z)–1, intégrable pour Re(z) > 0. On
∞
⌠
pose alors Γ(z) =  e–t tz–1 dt, définie pour z complexe tel que Re(z) > 0.
⌡0
2- Convergence en moyenne, en moyenne quadratique
L'ensemble C(I) des fonctions continues intégrables sur I à valeurs complexes forme un espace
vectoriel. En effet, l'inégalité triangulaire permet de montrer que, si f et g sont intégrables, il en est de
même de f + g. Si on pose :
- 19 -
⌠
N1(f) =  f(t) dt
⌡I
N1 définit alors une norme sur C(I) dite norme de la convergence en moyenne.
⌠
f est dite de carré intégrable si  f(t) 2 dt existe. Si f et g sont de carrés intégrables, alors fg est
⌡I
intégrable. En effet, pour tout segment J, l'inégalité de Schwarz permet de conclure que :
⌠
⌠
⌠
2
2
 f(t) dt
 g(t) dt
 f(t)g(t) dt ≤
⌡J
⌡J
⌡J
En prenant les limites des bornes de J, on voit que cette inégalité reste valable sur I. On en déduit
que l'espace des fonctions continues de carrés intégrables est un sous-espace vectoriel de C(I). En
effet, si f et g sont de carrés intégrables, il en est de même de f + g, puisque (f + g)2 = f 2 + 2fg + g2 et
que toutes les fonctions du second membre sont intégrables. On pose alors :
⌠
2
 f(t) dt
⌡I
N2 est une norme appelée norme de la convergence en moyenne quadratique. L'inégalité de Schwarz
donne :
N2(f) ≤
⌠
⌠
 f(t)g(t) dt ≤  f(t)g(t) dt ≤
⌡I
⌡I
⌠
2
 f(t) dt
⌡I
⌠
2
 g(t) dt
⌡I
ou encore :
<f,g> ≤ N1(fg) ≤ N2(f)N2(g)
ce qui exprime que le produit scalaire est une forme bilinéaire continue pour la norme N2.
3- Série produit
Début de partie réservée aux PSI/PSI*
Soit (∑ un) et (∑ vn) deux séries. On appelle série produit (ou produit de Cauchy) la série (∑ wn) de
terme général :
n
wn = u0vn + u1vn–1 + ... + ukvn–k + ... + unv0 = ∑ ukvn–k
k=0
PROPOSITION :
Si les séries (∑ un) et (∑ vn) sont absolument convergentes, il en est de même de la série (∑ wn) et
l'on a :
∞
∞
∞
n=0
n=0
n=0
∑ wn = ∑ un × ∑ vn
Démonstration non exigible
Démonstration :
Si les séries sont à termes positifs, on a :
N
N
2N
2N
2N
n=0
n=0
n=0
n=0
n=0
∑ un × ∑ vn ≤ ∑ wn ≤ ∑ un × ∑ vn
et il suffit de passer à la limite.
- 20 -
Si (∑ un) et (∑ vn) sont absolument convergentes, alors, la série (∑ zn) définie comme série–produit
n
de (∑ un ) et (∑ vn ) converge. Comme wn est inférieur ou égal à zn, (car wn =
∑ ukvn–k alors que
k=0
n
zn =
∑ uk vn–k , la série (∑ wn) est absolument convergente. Il reste à montrer que sa somme est le
k=0
produit des sommes des deux séries. On a en effet :
N
N
N
n=0
n=0
n=0
∑ un × ∑ vn – ∑ wn =
∑ upvq
(p,q) ∈ E
où E = {(p,q) | p+q > n, p ≤ n, q ≤ n}. La somme est majorée par :
N
∑ upvq = ∑ un
(p,q) ∈ E
n=0
×
N
N
n=0
n=0
∑ vn – ∑ zn
et cette dernière expression tend vers 0 en vertu du résultat précédent sur les séries–produit à termes
positifs.
Les résultats suivants sont donnés à titre purement indicatif pour montrer que la situation est moins
triviale qu'il ne paraît :
• Il suffit que l'une des séries ∑ un ou ∑ vn soit absolument convergente et l'autre convergente pour
que la série produit ∑ wn soit bien égale au produit des deux séries.
• Si les deux séries sont convergentes, mais qu'aucune n'est absolument convergente, il se peut que
(–1)n
dont nous montrerons tout à l'heure la
(∑ wn) diverge. Prenons par exemple un = vn =
n
convergence, pour n ≥ 1. La série–produit est définie par :
n–1
wn = ∑
k=1
(–1)n
p(n–p)
or p(n–p) est majoré par
n2
n
, donc sa racine est majorée par . On a donc wn qui est minoré par
4
2
2(n–1)
et qui ne tend pas vers 0 quand n tend vers +∞. Donc la série produit diverge.
n
• Si ∑ un converge, il existe une série ∑ vn convergente telle que ∑ wn diverge.
• Si les trois séries ∑ un, ∑ vn et ∑ wn sont convergentes, la série produit ∑ wn est bien égale au
produit des deux séries.
1
1
• Si les deux séries ∑ un et ∑ vn convergent, et si un = O( ) et vn = O( ), alors la série produit ∑ wn
n
n
soit bien égale au produit des deux séries.
Fin de la partie réservée aux PSI/PSI*. Retour à la partie commune PSI/PC
4– Critère de D'Alembert
Voici enfin un critère de convergence, particulièrement adapté pour les séries dont les termes
utilisent des puissances ou des factorielles.
Soit (∑ un) une série à termes non nuls. Alors :
- 21 -
un+1
(i) si lim
= l < 1, la série est absolument convergente.
n→+∞ un
u
(ii) si lim n+1 = l > 1, la série est diverge.
n→+∞ un
Dans tous les autres cas, on ne sait pas conclure. On notera que les cas où l'on ne sait pas conclure
sont fréquents, puisqu'il y figure toutes les séries de Riemann, convergentes ou divergentes !
Démonstration :
(i) Soit q compris entre l et 1. Il existe N tel que, pour n ≥ N, on ait :
un+1
≤q
un
donc un ≤ uN qn–N et un = O(qn). La série (∑ un ) se trouve majorée par une série géométrique de
raison q inférieure à 1, donc convergente. Elle est donc elle–même convergente.
(ii) Soit q compris entre 1 et l. Il existe N tel que, pour n ≥ N, on ait :
un+1
≥q
un
et donc ici, on a un ≥ uN qn–N. Comme lim qn = +∞, il en est de même de un est la série diverge.
n→+∞
EXEMPLE : reprenons la série de l'exponentielle, mais appliquée aux complexes. un =
zn
. Alors :
n!
z
un+1
=
qui, pour tout z, tend vers 0.
un
n+1
La série
∞
zn
est donc convergente pour tout z. On appelle exponentielle complexe la somme de
∑ n!
n=0
cette série.
5– Séries alternées
On dit que (∑ un) est alternée si (–1)nun est de signe constant.
PROPOSITION :
Soit (∑ (–1)n un) une série alternée dont le terme général un est positif et décroît et tend vers 0.
Alors la série converge. En outre, le reste Rn est majoré en valeur absolue par un+1 et du signe de
un+1.
Démonstration :
On suppose par exemple un du signe de (–1)n, et donc de la forme (–1)nvn avec vn positif. On a
alors :
S2n+2 – S2n = u2n+2 + u2n+1 = v2n+2 – v2n+1 ≤ 0
S2n+1 – S2n–1 = u2n+1 + u2n = –v2n+1 + v2n ≥ 0
- 22 -
Donc la suite (S2n) est décroissante. La suite (S2n+1) est croissante, et S2n–S2n+1 = v2n+1 ≥ 0. Ces deux
suites sont donc adjacentes et possèdent une limite commune S, ce qui signifie que la série initiale
converge vers S. Pour une telle série, on a, pour tout n :
S2n+1 ≤ S ≤ S2n
Donc u2n+1 = S2n+1 – S2n ≤ R2n = S – S2n ≤ 0.
De même, 0 ≤ R2n–1 = S – S2n–1 ≤ S2n – S2n–1 = u2n
Il résulte de cette proposition que, pour tout α positif, la série (∑
EXEMPLE 1: la série (∑
2n
∑
k=1
(–1)n
) converge.
nα
(–1)n–1
) converge. Soit L sa limite. On a :
n
(–1)k–1 n
1
1 n 1
=∑
– ∑
2 k=1 k
k
k=1 2k–1
In
2n
or Pn + In = ∑
k=1
Pn
1
= ln(2n) + C + o(1) où C est la constante d'Euler.
k
et Pn =
1 n 1 1
∑ = (ln(n) + C + o(1))
2 k=1 k 2
⇒
C
1
In = ln(2) + ln(n) + + o(1)
2
2
⇒
In – Pn = ln(2) + o(1) de sorte que la limite cherchée est L = ln(2) = ∑
∞
k=1
(–1)k–1
k
A titre de curiosité, où est l'erreur dans le raisonnement suivant ? Nous avons :
1 1 1 1 1 1 1 1 1
ln(2) = 1 – + – + – + – + –
+...
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
1
On permute les termes de façon à ce que, pour n impair, le terme –
soit placé derrière le terme ,
2n
n
1
1
et pour n pair, le terme – soit placé devant le terme
. On obtient alors :
2n
n+1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
1
1
1
ln(2) = 1 – – + – – + –
–
+ –
.. . – +
–
...
2 4 3 6 8 5 10 12 7 14
4k 2k+1 4k+2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
– +
–
+
–
+
... – +
...
2
4
6
8
10
12
14
4k 4k+2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= [1–
+
–
+
–
+
... – +
... ]
2
2
3
4
5
6
7
2k 2k+1
1
= ln(2) ???
2
=
EXEMPLE 2 :
Rappelons la formule de Taylor avec reste intégral pour une fonction de classe Cn.
- 23 -
b
f(b) = f(a) + (b–a)f '(a) + (b–a)2
f"(a)
f(n–1)(a) ⌠
f(n)(t)
+ ... + (b–a)n–1
+  (b–t)n–1
dt
2
(n–1)! ⌡
(n–1)!
a
Prenons f(x) = ln(1+x), a = 0, b = 1. On a f '(x) =
1
(k–1)!
et, par récurrence f(k)(x) = (–1)k–1
. La
1+x
(1+x)k
formule donne donc :
1
ln(2) = 1 –
(–1)n–2 ⌠
1
1 1
+ – ... +
+  (1–t)n–1 (–1)n–1
dt
n–1
(1+t)n
2 3
⌡
0
1
⌠
1
et l'intégrale est majorée en valeur absolue par  (1–t)n–1 dt = qui tend vers 0. Donc :
n
⌡0
∞
ln(2) = ∑
k=1
(–1)k–1
k
EXEMPLE 3 :
On peut encore procéder comme suit :
1 n
t
Soit In = (–1)n ⌠
 1+t dt. On a I0 = ln(2) et on peut écrire In sous la forme :
⌡
0
1
⌠
(–1)n
tn–1(1+t) – tn–1
dt = (–1)n  tn–1 dt + In–1 =
+ In–1
In = (–1) ⌠

n
1+t
⌡0
⌡0
1
n
⇒
In =
∞
(–1)n (–1)n–1
1 1
(–1)k–1
+
+ ... – + – 1 + I0 = ln(2) – ∑
n
n–1
3 2
k
k=1
1
⌠
1
En outre, on a 0 ≤ In ≤  tn dt =
qui tend vers 0, donc, en passant à la limite, on obtient :
n+1
⌡0
∞
0 = ln(2) – ∑
k=1
(–1)k–1
k
EXEMPLE 4 :
La même méthode s'applique à :
1
1 2n
1 2n–2
t
(1+t2) – t2n–2
(–1)n
n⌠
n⌠ t
n ⌠ 2n–2
In = (–1) 
dt = (–1)  t
dt + In–1 =
+ In–1
2 dt = (–1) 
2
1+t
2n–1
⌡0
⌡0 1+t
⌡0
1
1
π
avec I0 = ⌠
 1+t2 dt = 4
⌡0
⇒
In =
n
(–1)n (–1)n–1
1
(–1)k–1
+
+ ... + – 1 + I0 = π – ∑
2n–1 2n–3
3
4 k=1 2k–1
1
⌠
1
En outre, on a 0 ≤ In ≤  t2n dt =
qui tend vers 0, donc, en passant à la limite, on obtient :
2n+1
⌡0
∞
∞
(–1)k–1
(–1)k–1
0= π–∑
ou encore π = ∑
4 k=1 2k–1
4 k=1 2k–1
EXEMPLE 5 :
Plus généralement, la même méthode permet de montrer que, pour tout α strictement positif :
- 24 -
1
∞
⌠ 1 dt = ∑ (–1)k 1
 1+tα
kα+1
k=0
⌡0
tαn
(–1)n
Il suffit de prendre In = (–1) ⌠
dt.
On
aura
I
=
+ In–1.
n

α
αn–α+1
⌡0 1+t
1
n
EXEMPLE 6 :
Le programme ne prévoit que deux situations où l'on sait conclure sur la convergence de séries à
termes quelconques : les séries absolument convergentes, et les séries alternées.
Il est cependant possible de conclure dans d'autres cas, mais c'est plus difficile. Nous nous bornerons
à un exemple :
∞
∑ sin(nx)
n
n=1
Pour x ≠ 0 mod π, Posons Un = sin(x) + ... + sin(nx) de sorte que :
n
n
U – Uk–1 n Uk n Uk–1 n Uk n–1 Uk
=∑ k
=∑
–∑
=∑
–∑
∑ sin(kx)
k
k
k=1
k=1
k=1 k
k=1 k
k=1 k
k=0 k+1
=
Un
+
n
n–1
n–1
k=1
k=1
Uk Un
Uk
=
–∑
∑ Ukk – k+1
k(k+1)
n
On a utilisé la méthode d'Abel consistant à faire une "sommation par parties", comparable à une
intégration par parties. On remarque alors que, x étant fixé, (Un) est une suite bornée. En effet :
(n+1)x
nx
sin
sin
2
2
1 – e(n+1)ix
ix
2ix
nix
=
Un = Im (1 + e + e + ... + e ) = Im
ix
1–e
x
sin
2
1
⇒
Un ≤
x
sin
2
Un
Uk
tend vers 0. Par ailleurs, la série ∑
est absolument
n
k(k+1)
sin(kx)
convergente. Donc la série ∑
converge.
k
Donc, quand n tend vers +∞,
Annexe I : Absolue convergence, semi-convergence
(–1)n
La série ∑
est convergente sans être absolument convergente. Elle est dite semi-convergente.
n
En 1829, dans un article sur les séries trigonométriques, Dirichlet relève une erreur chez Cauchy.
sin(nx)
Dans un article de 1823, ce dernier utilise le fait que, si le quotient de un sur
tend vers 1, alors
n
sin(nx)
∑ un converge puisque ∑
converge. L'erreur, communément commise de nos jours par tout
n
étudiant débutant dans l'étude des séries, est de croire que ∑ un converge lorsque la suite (un) est
équivalente à la suite (vn) et que ∑ vn converge. Rappelons que pour établir ce résultat, nous avons
(–1)n
utilisé le fait que les séries étaient positives. Dirichlet donne un contre-exemple : ∑
converge,
n
- 25 -
(–1)n
(–1)n
(1 +
) diverge, alors même que le quotient des termes de même rang tend vers 1.
n
n
En 1854, dans son mémoire sur les séries trigonométriques, Riemann définit à la suite de Dirichlet
deux types de séries, celles que nous nommons maintenant série absolument convergente et semiconvergente :
En janvier 1829, parut dans le Journal de Crelle un mémoire de Dirichlet, où la
possibilité de la représentation par les séries trigonométriques se trouvait établie en
toute rigueur pour les fonctions qui sont, en général, susceptibles d'intégration, et qui
se présentent pas une infinité de maxima et de minima. Il arriva à la découverte du
chemin à suivre pour arriver à la solution de ce problème, par la considération que les
séries infinies se partagent en deux classes suivant qu'elles restent convergentes ou non
convergentes, lorsqu'on rend leurs termes tous positifs. Dans les premières, les termes
peuvent être intervertis d'une manière quelconque ; dans les deux autres, au contraire,
la valeur dépend de l'ordre des termes. Si on désigne, en effet, dans une série de
seconde classe, les termes positifs successifs par a1, a2, a3, ..., et les termes négatifs par
– b1, –b2, – b3, ..., il est clair que ∑ a, ainsi que ∑ b, doit être infinie ; car, si ces deux
sommes étaient finies l'une et l'autre, la série serait encore convergente lorsqu'on
donnerait à tous les termes le même signe ; si une seule était infinie, la série serait
divergente. Il est clair maintenant que la série, en plaçant les termes dans un ordre
convenable, pourra prendre une valeur donnée C ; car, si l'on prend alternativement
des termes positifs de la série jusqu'à ce que sa valeur soit plus grande que C, puis des
termes négatifs jusqu'à ce que sa valeur soit moindre que C, la différence entre cette
valeur et C ne surpassera jamais la valeur du terme qui précède le dernier changement
de signe. Or les quantités a, aussi bien que les quantités b, finissant toujours par
devenir infiniment petites pour des valeurs croissantes de l'indice, les écarts entre la
somme de la série et C deviendront encore infiniment petits, lorsqu'on prolongera assez
loin la série, c'est-à-dire que la série converge vers C.
C'est aux seules séries de la première classe que l'on peut appliquer les lois des sommes
finies ; elles seules peuvent être considérées comme l'ensemble de leurs termes ; celles
de la seconde classe ne le peuvent pas : circonstance qui avait échappé aux
mathématiciens du siècle dernier, principalement par la raison que les séries qui
procèdent suivant les puissances ascendantes d'une variable appartiennent,
généralement parlant (c'est-à-dire à l'exception de certaines valeurs particulières de
cette variable), à la première classe.
(–1)n–1
, on peut la faire
Nous avons vu plus haut qu'en permutant l'ordre des termes de la série ∑
n
1
converger ou bien vers ln(2) ou bien vers ln(2). L'explication de ce phénomène est expliqué ci2
dessus par Riemann. Il résulte du fait que la série n'est pas absolument convergente. La somme va
dépendre de l'ordre dans lequel sont pris les termes. Ce phénomène ne se produit pas avec les séries
absolument convergentes.
mais ∑
Annexe II : La formule de Stirling dans le calcul d'entropie
L'entropie d'un système dans un certain état est définie par S = k lnW, où k est une constante et W le
nombre de configurations permettant d'obtenir l'état considéré. Plus ce nombre est important, plus S
est élevé. Ainsi, S donne une mesure de la probabilité de l'état considéré, l'état le plus probable
correspondant à un maximum. On prend un logarithme car on souhaite que l'entropie de la réunion
de deux systèmes indépendants soit S = S1 + S2, avec Si entropie de chaque système. Or s'il y a W1
configurations pour le premier système et W2 pour le deuxième, le nombre de configurations pour la
- 26 -
réunion est W1W2. L'utilisation d'un logarithme permet de convertir ce produit en somme. Enfin, le
choix de la valeur de la constante k est lié à des considérations thermodynamiques qui importent peu
ici.
Considérons un système constitué de N particules, pouvant se répartir dans n niveaux, cavités,
x
paquets... Appelons xi le nombre de particules dans le ième paquet, et pi = i la proportion de ces
N
particules. En rangeant les N particules dans un ordre arbitraire et en plaçant les x1 premières dans le
N!
premier paquet, les x2 suivantes dans le deuxième, ..., on obtient W =
. En effet, il y a N!
x1!...xn!
façons de ranger les N particules dans l'ordre, mais parmi celles-ci, les x1! permutations des premières
particules donneront la même configuration, de même que les x2! permutations des suivantes, etc...
On obtient une expression de S sous forme de fonction continue et même différentiable en utilisant la
formule de Stirling :
N! ∼ NN e–N 2πN
1
1
⇒
ln(N!) = NlnN – N + lnN + ln(2π) + o(1)
2
2
De même :
1
1
⇒
ln(xi!) = xilnxi – xi + lnxi + ln(2π) + o(1)
2
2
⇒
n
S
1
1
1
1
= lnW = NlnN – N + lnN + ln(2π) – ∑ (xi ln(xi) – xi + lnxi + ln(2π)) + o(1)
k
2
2
2
2
i=1
n
1
n–1
1
= NlnN + lnN –
ln(2π) – ∑ (xi ln(xi) + lnxi) + o(1)
2
2
2
i=1
n
car ∑ xi = N
i=1
n
Or tous les termes sont négligeables devant N sauf NlnN et ∑ xi ln(xi)
i=1
⇒
n
S
= NlnN – ∑ xi ln(xi) + o(N)
k
i=1
n
n
n
i=1
i=1
i=1
= NlnN – ∑ Npi ln(Npi) + o(N) = NlnN – ∑ Npi lnN – ∑ Npi ln(pi) + o(N)
n
= – N (∑ pi ln(pi) + o(1))
(fonction f)
i=1
N étant en général extrêment grand, cela conduit à définir l'entropie comme étant :
n
S = – Nk ∑ pi ln(pi)
i=1
Cette expression permet de donner la répartition statistique de Boltzmann d'une population de
particules en fonctions de leur énergie. Supposons que les n paquets dans lesquelles on répartit les
particules correspondent à n niveaux d'énergie par particule E1, ..., En. L'énergie moyenne d'une
particule est alors, compte tenu de la répartition statistique, p1E1 + ... + pnEn, et l'énergie totale du
- 27 -
système est E = N(p1E1 + ... + pnEn). Compte tenu du fait que p1 + ... + pn = 1, nous considèrerons
que E est fonction des variables p1, ..., pn–1. A savoir :
E = N [p1E1 + ... + (1 – p1 – pn–-1)En]
De même l'entropie S est fonction des variables p1, ..., pn–1, à savoir :
n–1
S = – Nk [
∑ pi ln(pi) + (1 – p1 – pn–-1) ln(1 – p1 – pn–-1) ]
i=1
1
dS
est définie à l'équilibre thermique comme étant , où T est la température du milieu.
T
dE
Or, pour i compris entre 1 et n–1, on a d'une part :
∂S
p
= – Nk [ ln(pi) + 1 – ln(1 – p1 – pn–-1) – 1 ] = – Nk ln( i )
pn
∂pi
et d'autre part :
∂S dS ∂E 1
=
×
= × N [Ei – En]
∂pi dE ∂pi T
p
E – Ei
⇒
ln( i ) = n
pn
kT
E
E
⇒
ln(pi) + i = ln(pn) + n = Cte indépendant de i
kT
kT
E
⇒
pi × exp( i ) = C Constante indépendant de i
kT
E
⇒
pi = C × exp(– i )
kT
La quantité
n
La constante C est déterminée de façon que p1 + ... + pn = 1, autrement dit C ∑ exp(–
i=1
Ei
) = 1.
kT
On peut vérifier les résultats obtenus de la façon suivante :
n
n
i=1
i=1
E = N ∑ pi Ei = NC ∑ exp(–
Ei
) Ei
kT
n
n
i=1
i=1
S = – Nk ∑ pi ln(pi) = NCk ∑ exp(–
de sorte que
Ei Ei NC n
Ei
E
)
=
) Ei =
∑ exp(– kT
kT kT T i=1
T
dS 1
= comme attendu.
dE T
Une autre démonstration de cette répartition est donnée dans le chapitre FPLSVAR2.PDF.
Annexe III : La transformée de Laplace
Définition :
On se place sur l'espace des fonctions f continues par morceaux sur
transformée de Laplace de f est :
∞
–pt
L(f)(p) = ⌠
 e f(t) dt = F(p)
⌡0
- 28 -
, nulles sur ]–∞,0[. La
où p est un complexe. Dans la plupart des cas, f sera bornée de sorte que F est définie au moins sur
le demi-plan complexe Re(p) > 0, ce qui est également le cas si f est majoré par un polynôme. L est
clairement linéaire.
Table de transformée :
La table qui suit se dresse aisément. δ0 désigne la distribution de Dirac en 0, définie dans le
paragraphe suivant. u est la fonction d'Heaviside ou fonction échelon, nulle sur ]–∞,0[ et égale à 1
sur ]0,+∞[ (la valeur en un point de discontinuité d'une fonction continue par morceaux importe
peu).
f(t)
δ0
u(t)
F(p)
1
1
p
u(t–a)
e–pa
p
t
1
p2
tn
n!
pn+1
e–at
1
p+a
iωt
e
1
p + iω
= 2
p – iω p + ω2
p
cos(ωt)
2
p + ω2
sin(ωt)
ω
2
p + ω2
Il est bien entendu que toutes les fonctions sont supposées être nulles pour t négatif. Par exemple, la
fonction cos(ωt) ci-dessus désigne en fait la fonction u(t)cos(ωt), nulle pour t < 0 et égale à cos(ωt)
pour t > 0, donc ayant une discontinuité en 0.
• Par ailleurs, on vérifiera aisément que :
L(e–atf)(p) = L(f)(p + a) = F(p + a)
donnant bien d'autres transformées, et illustré dans la table précédente par :
L(e–at)(p) = L(e–atu(t))(p) = L(u)(p + a) = 1
p+a
• On a également :
∞
∞
–pt
⌠ d –pt
L(tf)(p) = ⌠
 te f(t) dt = –  dp e f(t) dt
⌡0
⌡0
∞
d ⌠ –pt
=–
e f(t) dt en vérifiant les hypothèses de domination adéquates
dp 
⌡0
d
= – L(f)(p)
dp
- 29 -
C'est ainsi que L(tsin(t))(p) =
2p
(p2 + 1)2
Distribution de Dirac :
Une présentation de la transformée de Laplace ne peut se faire de façon totalement cohérente qu'en
introduisant les distributions, mises au point par Laurent Schwartz dans les années 1950. Une
distribution est simplement une forme linéaire sur un espace de fonctions. Sans entrer dans les détails
trop techniques, nous donnerons comme seul exemple la distribution de Dirac. a étant un réel positif
ou nul, considérons la fonction par morceaux suivante :
fh(t) = 0 si t < a
1
fh(t) = si a < t < a + h
h
fh(t) = 0 si t > a + h
a a+h
fh correspond à une impulsion, d'autant plus brève et intense que h est petit. L'aire contenue sous la
courbe vaut 1. La transformée de Laplace de cette impulsion vaut :
a+h
e–pa – e–p(a+h)
–pt
L(fh)(p) = 1⌠
e
dt
=
dont la limite vaut e–pa quand h tend vers 0. La limite

h⌡
ph
a
ainsi obtenue est appelée transformée de Laplace de la distribution de Dirac δa en a. δa est une forme
linéaire qui, à toute fonction g, associe g(a). Par convention de notation et par analogie avec le calcul
intégral, au lieu de noter g(a) = δa(g), on note, même si δa n'est pas une fonction en tant que telle :
∞
g(a) = ⌠
 g(t) δa dt
⌡–∞
∞
=⌠
 g(t) δa dt si g est nulle sur ]–∞,0[.
⌡0
Cette notation se justifie par le fait que, si g est continue, alors :
∞
g(a) = lim ⌠
g(t) fh(t) dt
h→0 
⌡
–∞
comme on pourra le montrer en exercice, de sorte que δa est, d'une certaine façon, la limite de fh
quand h tend vers 0. Cette convention d'écriture est en outre bien cohérente avec :
∞
–pt
L(δa)(p) = e–pa = δa(e–pt) =⌠
 e δa dt
⌡0
On remarque par ailleurs que la primitive de fh s'annulant sur ]–∞,0[ est de la forme :
- 30 -
a a+h
Quand h tend vers 0, on obtient la fonction échelon en a, t → u(t–a) :
a
Nous dirons, qu'au sens des distributions, u(t–a) est une primitive de δa et que δa est la dérivée de
d
u(t–a). Nous adopterons les notations suivantes : ' ou désigne la dérivée usuelle de sorte que u',
dt
dérivée usuelle de la fonction de Heaviside, est nulle sur * et non définie en 0. D désigne la dérivée
au sens des distributions, de sorte que Du = δ0. Si f est une fonction continue C1 par morceaux, alors
Df = f '. Si f est continue par morceaux et C1 par morceaux, nous verrons ci-après comment est défini
Df.
Transformée d'une dérivée :
Soit f continue, C1 par morceaux, telle que f soit nulle sur ]–∞,0]. On a :
∞
∞
–pt
⌠ e–pt f(t) dt en intégrant par parties
L(f ')(p) = ⌠
e
f
'(t)
dt
=
p


⌡0
⌡0
= pL(f )(p)
Qu'en est-il pour une fonction continue par morceaux, C1 par morceaux ? On remarquera, qu'au sens
des distributions, avec f = u, on a :
L(Du)(p) = L(δ0)(p) = 1 = pL(u)(p) puisque L(u)(p) = 1
p
Considérons maintenant une fonction ayant un nombre fini de discontinuité aux points d'abscisse ai
avec 0 ≤ a0 < a1 < ... < an. Notons si = f(ai+) – f(ai–) = lim f(t) – lim f(t) le saut de f en ai. Posons :
x→ai
x→ai
x > ai
x < ai
g(t) = f(t) – s0u(t – a0) – s1u(t – a1) – ... – snu(t – an)
g est obtenue à partir de f en recollant de façon continue les morceaux discontinus du graphe de f.
Vérifions en effet que g est continue, par exemple en a0. On a :
- 31 -
lim g(t) = lim f(t) – s0 alors que lim g(t) = lim f(t)
x→a0
x→a0
x→a0
x→a0
x > a0
x > a0
x < a0
x < a0
La différence entre les deux limites vaut lim f(t) – lim f(t) – s0 qui est nul par définition de s0. On
x→a0
x→a0
x > a0
x < a0
procède de même aux autres ai. f étant par ailleurs C1 par morceaux, il en est de même de g, mais g
est de plus continue, de sorte que la formule suivante est valide pour g :
L(g')(p) = pL(g)(p)
⇒
L(g')(p) = p L(f(t) – s0u(t – a0) – s1u(t – a1) – ... – snu(t – an))(p)
en remplaçant g par sa définition
–pa
–pa
–pa
e 1
e n
e 0
– s1
– ... – sn
]
⇒
L(g')(p) = p [ L(f)(p) – s0
p
p
p
en utilisant la linéarité de L et la valeur de L(u(t–a))
–pa
–pa
–pa
⇒
L(g')(p) = pL(f)(p) – s0 e 0 – s1 e 1 – ... – sn e n
en développant
⇒
L(g')(p) = pL(f)(p) – s0 L(δa0)(p) – s1 L(δa1)(p) – ... – sn L(δan)(p)
en utilisant la valeur de L(δa)
⇒
pL(f)(p) = L(g')(p) + s0 L(δa0)(p) + s1 L(δa1)(p) + ... + sn L(δan)(p)
= L(g' + s0δa0+ s1δa1 + ... + sn δan)(p)
en utilisant la linéarité de L
On reconnaît dans g' + s0δa0+ s1δa1 + ... + sn δan la dérivée de f = g + s0u(t–a0) + ... + snu(t–an) à
condition de prendre cette dérivation au sens des distributions, c'est à dire de dériver les échelons
correspondants aux discontinuités de f en des distributions de Dirac. Si f ' = g' en dehors des ai, on a
Df = g' + s0δa0+ s1δa1 + ... + sn δan = f ' + s0δa0+ s1δa1 + ... + sn δan. Sous cette condition, la relation :
L(Df )(p) = pL(f)(p)
reste valable.
EXEMPLES : Dans les exemples, nous avons rajouté systématiquement u(t) en facteur pour bien
rappeler que les fonctions sont nulles pour t < 0 :
• Prenons f(t) = u(t)sin(ωt), continue sur . On a Df = f '(t) = ωu(t)cos(ωt)
or
L(u(t)sin(ωt))(p) = 2 ω 2
p +ω
⇒
L(ωu(t)cos(ωt))(p) = 2 pω 2
p +ω
⇒
L(u(t)cos(ωt))(p) = 2 p 2 ce qui est bien vérifié.
p +ω
• Prenons f(t) = u(t)cos(ωt) discontinue en 0 avec un saut égal à 1. On a, au sens des distributions,
Df = f '(t) + δ0 = δ0 – ωu(t)sin(ωt).
or
L(u(t)cos(ωt))(p) = 2 p 2
p +ω
2
⇒
L(δ0 – ωu(t)sin(ωt))(p) = 2 p 2
p +ω
= 1 – ωL(u(t)sin(ωt))(p)
- 32 -
⇒
L(u(t)sin(ωt))(p) =
ω
ce qui est bien vérifié.
p + ω2
2
• Prenons f(t) = u(t)e–at, discontinue en 0, avec un saut de 1. Sa dérivée au sens des distributions,
vaut Df = f '(t) + δ0 = δ0 – au(t)e–at. Donc :
L(δ0 – au(t)e–at) = pL(u(t)e–at)
⇔
1 – aL(u(t)e–at) = pL(u(t)e–at)
⇔
L(u(t)e–at) = 1 ce qui est bien le cas.
p+a
Fonction de transfert d'un système :
Un système, automatique, mécanique, ou électrique, reçoit en entrée une commande e(t) dépendant
du temps, et fournit en sortie un signal s(t) dépendant du temps également. Par exemple, e(t) est
l'angle d'ouverture d'un robinet et s(t) le débit d'eau du robinet. Ou bien e(t) est l'angle dont on
tourne un bouton et s(t) le niveau sonore d'un haut-parleur... Dans de très nombreuses situations, e et
s sont reliées par une relation prenant la forme d'équation différentielle linéaire à coefficients
constants :
an Dns + ... + a1 Ds + a0s = bm Dme + ... + b1 De + b0e
On suppose que e et s sont nuls pour t < 0. On met le système en marche à t = 0 en agissant sur e.
On souhaite connaître s. Une méthode de résolution aisée repose sur la transformée de Laplace.
Notons S(p) = L(s)(p) et E(p) = L(e)(p). Compte tenu de la relation L(Df)(p) = pL(f)(p), qui, itérée,
donne L(Dnf)(p) = pn L(f)(p), on obtient :
(anpn + ... + a1p + a0)S(p) = (bmpm + ... + b1p + b0)E(p)
b pm + ... + b1p + b0
⇒
S(p) = m n
E(p) = H(p) E(p)
anp + ... + a1p + a0
b pm + ... + b1p + b0
avec H(p) = m n
. H, indépendante de l'entrée choisie, est intrinsèque au système. On
anp + ... + a1p + a0
l'appelle fonction de transfert du système. La méthode de résolution consiste, au moyen de tables de
transformées de Laplace à :
(i) déterminer la transformée de Laplace E de l'entrée e(t)
(ii) calculer le produit S(p) = H(p)E(p) et, la plupart du temps, le réduire en éléments simples.
(iii) déterminer la transformée de Laplace inverse de S à l'aide la table des transformées de
Laplace.
EXEMPLE 1 : Circuit série RC. En t = 0, on ferme un circuit contenant en série un générateur de
tension v, une résistance R, une capacité C de charge nulle.
R
v
C
i
Si i est l'intensité du courant, on a :
- 33 -
dq
d
= Dq où q est la charge du condensateur. (Ici D =
car physiquement, q est une
dt
dt
fonction continue du temps).
q
et
Ri = v –
C
q
de sorte que q vérifie l'équation R Dq + = v. L'entrée est la tension appliquée au circuit, fonction
C
échelon nulle pour t < 0 et égale à la constante v pour t > 0. La sortie est la charge q du
1
C
condensateur. La fonction de transfert est H(p) =
=
. La transformée de Laplace de
1 1 + RCp
Rp +
C
v
l'entrée v est V(p) = . Donc la transformée de Laplace de la sortie q est :
p
C
vC
vRC2
vC
vC
v
=
–
=
–
Q(p) = H(p) V(p) =
1
p 1 + RCp p 1 + RCp p
+p
RC
La table donnée au début du chapitre permet de déterminer q pour t > 0 à partir de Q(p) :
t
q(t) = vC(1 – exp(–
))
RC
i=
dx
+ 2x = 3t avec x(0) = 2.
dt
Nous résolvons l'équation pour t > 0 car physiquement, nous déduisons l'état du système
postérieurement à l'instant initial t = 0. Rien ne nous empêche alors de supposer que l'entrée et la
sortie x étaient nuls pour t < 0, cet artifice nous permettant d'appliquer la méthode des transformée
de Laplace. Il faut prendre garde alors que x admet un saut de 2 à l'origine et donc que Dx = x' + 2δ0
de sorte que l'équation à résoudre est :
Dx – 2δ0 + 2x = 3t
Prenons les transformée de Laplace. On obtient :
3
pX(p) – 2 + 2X(p) = 2
p
3 + 2p2
3
3
11
⇒
X(p) = 2
= 2–
+
p (p + 2) 2p 4p 4(p + 2)
3t 3 11 –2t
⇒
x(t) = – +
e
2 4 4
EXEMPLE 2 : Résoudre l'équation différentielle
d2x
+ x = cos(t) avec x(0) = 1 et x'(0) = –3. On
dt2
procède comme dans l'exemple 2. On résout pour t > 0 en supposant les fonctions nulles pour t < 0.
x admet un saut de 1 à l'origine de sorte que Dx = x' + δ0. Mais x' aussi admet aussi un saut de –3 en
0 de sorte que D2x = Dx' + Dδ0 = x" – 3δ0 + Dδ0. Peu importe la signification à apporter à Dδ0. Nous
devons seulement savoir que sa transformée de Laplace vaut L(Dδ0) = pL(δ0) = p. L'équation
différentielle devient donc :
D2x + 3δ0 – Dδ0 + x = cos(t)
Prenons les transformées de Laplace. On obtient :
p
p2X + 3 – p + X =
1 + p2
EXEMPLE 3 : Résoudre l'équation différentielle
- 34 -
⇒
⇒
⇒
p
–3+p
1 + p2
p
p–3
X=
2 2 +
(1 + p ) 1 + p2
tsin(t)
x(t) =
+ cos(t) – 3sin(t)
2
(p2 + 1)X =
Cas où l'entrée n'est pas nulle pour t < 0 :
Trois cas sont considérés dans ce paragraphe. Celui où e est nulle sur ]–∞, a[ avec a < 0, celui où e
est constante sur ]–∞, 0[, et celui où e est sinusoïdal sur .
• Le premier cas se traite aisément : on l'obtient à partir du cas d'une entrée nulle sur ]–∞, 0[ par
simple translation du temps. Ainsi, dans l'exemple du circuit RC, si on ferme le circuit à l'instant a
t–a
avec a < 0, la charge sera q(t) = vC(1 – exp(–
)).
RC
• Le deuxième cas se traite comme suit : si l'entrée est constante égale à e0 sur ]–∞, 0[, on
considère que le système est alors dans un état stationnaire, c'est à dire pour lequel s = Cte = s0. Si
b
b pm + ... + b1p + b0
, on aura s0 = 0 e0 = H(0)e0 comme on le
la fonction de transfert est H(p) = m n
a0
anp + ... + a1p + a0
b
voit en considérant l'équation différentielle d'où est issu H. (La quantité 0 s'appelle gain statique
a0
du système). Les équations étant linéaires, on a les relations suivantes :
pour une entrée e0, on a une sortie s0
pour une entrée e – e0, nulle sur ]–∞, 0[, on résout le problème comme précédemment
et on trouve une solution s1.
Donc
pour une entrée e, une solution est s0 + s1. Il s'agit de la solution stationnaire pour
t < 0.
EXEMPLE 4 : Circuit série RC fermé depuis longtemps. En t = 0, on ouvre le circuit. Dans le cas
présent, l'entrée vaut v sur ]–∞, 0[ puis 0 sur ]0, +∞[.
Si l'entrée est constante égale à v, la sortie stationnaire (charge du condensateur) est
constante égale à q0 = Cv.
Si l'entrée est nulle sur ]–∞, 0[ et vaut –v sur ]0, +∞[, cette entrée est opposée à celle
calculée dans l'exemple 1, et il en est donc de même de la sortie, de sorte que
t
q1 = – vC(1 – exp(–
))
RC
Donc pour l'entrée égale à v sur ]–∞, 0[ et nulle sur ]0, +∞[, somme des deux entrées
t
précédentes, la sortie est q = q0 + q1 = vCexp(–
)
RC
• Le troisième cas se traite comme suit. Si e(t) = e0eiωt sur , on peut supposer qu'il existe une
sortie également sinusoïdale sous la forme s0eiωt, avec s0 complexe. On cherche ce qu'on appelle la
sortie en régime permanent. Si on remplace dans l'équation différentielle, on remarque que
d iωt
e = iω eiωt de sorte que dériver revient à multiplier par iω, au même titre qu'en appliquant la
dt
transformée de Laplace, dériver revenait à multiplier par p. Il en résulte que, si H est la fonction
de transfert, la solution s'obtient directement au moyen de la relation s0eiωt = H(iω) e0eiωt et donc
que s0 = H(iω)e0, relation jouant un rôle analogue à S(p) = H(p)E(p). Cette méthode donne
seulement la solution particulière en régime permanent.
- 35 -
Annexe IV : Série de vecteurs (Complément de cours MP/MP*)
Ce paragraphe résume les propriétés qui restent vraies lorsqu'on prend une série d'éléments dans un
espace vectoriel normé. La propriété de Cauchy restant valable pour les suites d'un espace normé de
dimension finie, il en est de même des séries. Ainsi, soit (∑ un) une série telle que les un soient
élements de E, espace normé de dimension finie. Alors la série (∑ un) est convergente si et
seulement si :
 p

∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ∀ p ≥ n,  ∑ uk  < ε
k=n+1 


Dans la pratique, on regardera plutôt si (∑ || un ||) est convergente. Dans ce cas, on dit que la série (∑
un) est normalement convergente (la norme a simplement remplacé la valeur absolue ou le module).
Une série normalement convergente est convergente car :
Démonstration 1 :
Les normes étant équivalentes sur les espaces de dimension finie, on prend par exemple la norme
uniforme (maximum des valeurs absolues des composantes), une base (e1, e2, ... ep) de l'espace E
étant choisie. Pour chaque composante i, on a alors :
∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ∀ p ≥ n,
p
∑ uk(i) < ε
k=n+1
Donc la série des ième composantes converge, donc la série initiale converge.
Démonstration 2 :
(∑ || un ||) converge
⇒
(∑ || un ||) vérifie la propriété de Cauchy
⇒
∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ∀ p ≥ n,
p
∑ || uk || < ε
k=n+1
p
 p

or  ∑ uk  ≤ ∑ || uk ||
k=n+1  k=n+1


 p

∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ∀ p ≥ n,  ∑ uk  < ε
k=n+1 


⇒
(∑ un) vérifie la propriété de Cauchy
⇒
(∑ un) converge
(Cette dernière implication n'est vrai dans les espaces de dimensions
finies ou plus généralement les Banach et est fausse dans les autres espaces de dimension infinie).
⇒
EXEMPLE 1 :
Soit u un endomorphisme défini sur un espace vectoriel normé de dimension finie E, et tel que || u || ≤
1, ou || u || est la norme d'endomorphismes subordonnée à la norme de E (cf Espaces normés,
∞
EVNORME.PDF). Alors Id – u est inversible, ∑ un converge et est égal à (Id – u)–1.
n=0
En effet, la norme d'endomorphismes vérifie la propriété || u o v || ≤ || u || || v ||. On en déduit que
∞
|| un || ≤ || u ||n. La série ∑ || u ||n étant convergente (géométrique de raison strictement inférieure à 1),
n=0
∞
∞
n=0
n=0
il en est a fortiori de même de ∑ || un ||, de sorte que la série ∑ un converge normalement. Enfin :
- 36 -
∞
∞
n=0
n=0
(Id – u) o ∑ un = ∑ un –
∞
∑ un+1 = Id
n=0
EXEMPLE 2 :
∞
On peut définir de même l'exponentielle de u (ou d'une matrice carrée M) par
∑
un
est normalement convergente, puisque
n!
∞
n
∑ || un!||
n=0
∞
endomorphisme exp(u). On note de même exp(M) =
un
∑ . En effet, la série
n=0 n!
= exp|| u || converge. On note cett
n
M
pour une matrice carrée M. On peut se
∑
n=0 n!
demander si exp(A) × exp(B) = exp(A+B). Nous devons alors faire le produit de deux séries. On
utilise les résultats vus dans le paragraphe sur les séries produits, et qui restent valables en
remplaçant valeur absolue ou module par norme. On a :
∞
exp(A) × exp(B) = ∑
n=0
An ∞ Bn
×∑
n! n=0 n!
∞
=∑
n
p
Bn–p
×
∑ A
p! (n–p)!
n=0 p=0
=
∞
1 n p p n–p
∑ n!
∑ Cn A B
n=0
p=0
et l'on reconnaît un binôme de Newton à condition que les matrices A et B commutent. Donc, si
A et B commutent :
exp(A) × exp(B) =
∞
n
= exp(A+B)
∑ (A+B)
n!
n=0
Ce résultat est faux si A et B ne commutent pas.
On a donc en particulier exp(M) × exp(–M) = exp(O) = I, où O est la matrice nulle, donc exp(–M)
est égal à (exp(M))–1. Le calcul de exp(M) est particulièrement facile lorsque M est diagonale. Si
0
0
0 ...
0
1)
 λ01 λ0 00 ...

 exp(λ

...
0
0
exp(λ
)
0
...
0 

2


2
M=
, alors exp(M) =
. Si M n'est pas diagonale
...
...
 ... ... 


 0 0 ... 0 λp 
 0
0
... 0 exp(λp) 
mais semblable à une matrice diagonale, (i.e. M = P–1DP) alors, Mn = P–1DnP et
exp(M) = P–1exp(D)P.
∞
Plus généralement, pour t réel, on a ∑
n=0
tnMn
= exp(tM). Ces matrices interviennent dans la résolution
n!
d'équations différentielles linéaires. On montre que si V'(t) = MV(t) avec V(0) = V0, alors
V(t) = exp(tM)V0 est solution.
- 37 -
Annexe V : Accélération de convergence
Cette annexe a pour but d'illustrer une difficulté relative au calcul approché des sommes des séries
convergentes. En effet, la convergence peut être tellement lente que le calcul d'une somme partielle,
même avec un nombre élevé de termes, ne donnera qu'une faible idée de la valeur de la somme
complète de la série.
Considérons la série harmonique dont on retire les entiers possédant dans leur développement
décimal un chiffre donné c. Par exemple, pour c = 2, on obtient la série :
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 + + + ... +
+
+
+ ... +
+
+
+
+
+ ...
3 4
10 11 13
19 30 31 33 34
Alors cette série converge. En effet, entre 10p et 10p+1 – 1, les entiers possèdent p + 1 chiffres (dont
le premier est non nul), de sorte qu'il y a 8 × 9p entiers répondant à la question (8 choix pour le
premier chiffre et 9 pour les p chiffres qui suivent). La somme de la série entre ces deux bornes est
9p
9p
encadrée par 8 × p+1 et 8 × p, qui sont les termes de séries convergentes.
10
10
Cependant la convergence est extrêmement lente. Supposons que l'on souhaite une valeur approchée
de la somme à 10–6 près. Il serait naïf de croire qu'il suffit de calculer la somme jusqu'à n = 106 (ce
qui représente donc la somme de près de 1 000 000 de termes) et de négliger le reste. En effet,
8 × 9k 8 × 9k
, k variant de
négligeons le reste à partir de 10p. Ce reste est encadré par la somme des k+1 et
10k
10
9 p
9 p
p à l'infini. Ces deux sommes encadrant le reste valent respectivement 8 × ( ) et 80 × ( ) . Pour p
10
10
= 6, le reste est donc compris entre 4 et 43 !!! Par ailleurs, si l'on choisit p de façon que cet
encadrement soit inférieur à 10–6, on obtient p = 173. Il faudrait donc calculer la somme jusqu'à n =
10173, soit plus d'un milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de
milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de
milliard de milliard de milliard de termes, ce qui représente une tâche insurmontable dépassant en
temps, et de loin, l'âge de l'univers.
On utilise alors des méthodes d'accélération de convergence, telles celles d'Aitken–Richardson.
Notons S(n) la somme jusqu'au terme n, S la somme de la série complète, R(n) le reste. On a donc
1
S = S(n) + R(n) avec R(10p) = O(0,9p), ou encore R(n) = O( Φ), avec Φ = 1 – log(9), où log désigne
n
a
1
le logarithme décimal. Supposons que S(n) soit de la forme S(n) = S – Φ + o( Φ) avec a constante.
n
n
Posons :
A[p,0] = S(10p) = S – a 0,9p + o(0,9p))
On a : A[p+1,0] = S – a 0,9p+1 + o(0,9p))
de sorte que, si l'on pose :
A[p,1] = 10A[p+1,0] – 9A[p,0]
cela permet d'éliminer les termes en 0,9p et d'avoir une suite convergeant plus rapidement vers S.
Même si la supposition faite sur S n'est pas exacte, on a quand même :
lim A[p,1] = lim 10A[p+1,0] – 9A[p,0] = 10 S – 9 S = S
p→+∞
p→+∞
donc A[p,1] a de toute façon pour limite S et il ne coûte rien d'appliquer la méthode. Le résultat est
spectaculaire. Lorsque le chiffre éliminé est c = 0, les valeurs successives de A[p,0] valent
respectivement :
2.82896825 4.89448069 6.71873434 8.35750721 9.83212841
Celles de A[p,1] sont :
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23.48409264 23.13701719 23.10646304 23.10371922
alors que S = 23,10345...
On peut par ailleurs s'apercevoir que l'écart entre A[p,1] et S diminue d'environ un dixième à chaque
itération de p, de sorte que l'on est amené à penser que A[p,1] = S + b 0,09p + o(0,09p). Si l'on pose
alors :
100A[p+1,1] – 9A[p,1]
A[p,2] =
, le terme 0,09p est éliminé et la convergence est encore plus
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rapide. (Même si l'hypothèse faite est fausse, on a de toute façon lim A[p,2] = S)
p→+∞
Les premières valeurs de A[p,2] sont :
23.10269105 23.10344120 23.10344785
puis, si l'on itère le procédé :
A[p,3] : 23.10344801 23.10344791
A[p,4] : 23.10344791
qui donnent quatre, voire cinq, six ou même sept décimales exactes après la virgule, et ceci
1
seulement avec 105 termes calculés.
n
Pour c = 1, la somme est 16,1769695...
Pour c = 7, la somme est 22.4934753...
Pour c = 9, la somme est 22,9206766...
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