INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

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2A 2010-2011
INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1
Objectifs
L'an dernier, nous avons étudié l'intégrale d'une fonction dénie et continue sur unZ intervalle
+1 1
fermé borné I de R. L'objectif de ce chapitre est d'étudier des intégrales du type :
2 dx
Z
0
2
x
ou du type
tan xdx c'est à dire qu'on s'intéresse à l'intégration d'une fonction f dénie
0
sur un intervalle I , non fermé et borné c'est à dire un intervalle de l'un des types suivants :
1. [a; b[ où
2. ]a; b] où
3. ]a; b[ où
1 < a < b 6 +1
1 6 a < b < +1
1 6 a < b 6 +1
Ainsi, on va maintenant rencontrer du calcul intégral :
de fonctions sur un intervalle non borné
de fonctions non bornées sur un voisinage de a ou de b
un mélange des 2 !
2
Généralités
Dénition 1. Soit f une fonction dénie sur un intervalle I de R. On dit que la fonction f est
localement intégrable sur I , si pour tout couple (; ) 2 I 2 , la restriction de f à l'intervalle
1
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fermé et borné [; ] est intégrable au sens de Riemann, c'est à dire, f est continue sur tout
l'intervalle I , ou f est continue par morceaux sur l'intervalle I c'est à dire que f ne présente
qu'un nombre ni de discontinuités sur I .
Contre-exemple historique : la fonction f telle que f (x) = 0 si x est un nombre rationnel et
f (x) = 1 si x est un irrationnel, est un exemple de fonction n'étant pas localement intégrable.
Il faut alors une théorie plus puissante, appelée théorie des Distributions an de pouvoir
quand même intégrer ce genre de fonctions.
Dénition 2. Nature d'une intégrale généralisée.
1. Soit f une fonction localement intégrable sur l'intervalle [a; b[ avec 1 < a < b 6 +1.
On
dit que l'intégrale de f sur [a; b[ est convergente si la fonction : F : x 2 [a; b] 7!
Z x
f (t)dt possède une limite nie lorsque x ! b. Si cette limite existe et est nie, on
a
Z
la note
diverge.
b
a
f (t)dt. Si elle n'existe pas ou est innie, on dit que l'intégrale de f sur [a; b[
2. Soit f une fonction localement intégrable sur l'intervalle ]a; b] avec 1 6 a < b < +1.
On
dit que l'intégrale de f sur ]a; b] est convergente si la fonction : F : x 2 [a; b] 7!
Z b
f (t)dt possède une limite nie lorsque x ! a. Si cette limite existe et est nie, on
x
Z
la note
diverge.
b
a
f (t)dt. Si elle n'existe pas ou est innie, on dit que l'intégrale de f sur ]a; b]
3. Soit f une fonction localement intégrable sur l'intervalle ]a; b] avec 1 < a < b < +1
et f fonction non bornée au voisinage de a.ZOn dit que l'intégrale de f sur ]a; b] est
b
convergente si la fonction : F : x 2 [a; b] 7! f (t)dt possède une limite nie lorsque
x
Z
b
x ! a. Si cette limite existe et est nie, on la note f (t)dt. Si elle n'existe pas ou est
a
innie, on dit que l'intégrale de f sur ]a; b] diverge.
4. Soit f une fonction localement intégrable sur l'intervalle [a; b[ avec 1 < a < b < +1
et f fonction non bornée au voisinage de b.ZOn dit que l'intégrale de f sur [a; b[ est
x
convergente si la fonction : F : x 2 [a; b] 7!
f (t)dt possède une limite nie lorsque
a
Z
b
x ! b. Si cette limite existe et est nie, on la note f (t)dt. Si elle n'existe pas ou est
a
innie, on dit que l'intégrale de f sur [a; b[ diverge.
5. Soit f une fonction localement intégrable sur l'intervalle ]a; b[ avec 1 6 a < b 6 +1
et
soit c 2]a; Zb[. On dit que l'intégrale de f sur ]a; b[ est convergente si les deux intégrales
Z c
b
f (t)dt et f (t)dt convergent. On appelle alors intégrale généralisée de f sur ]a; b[
a
le réel noté
Z
c
b
a
f (t)dt déni par :
Z
b
a
f (t)dt =
2
Z
c
a
f (t)dt +
b
Z
c
f (t)dt
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Remarque 1.
A priori, on ne devrait pas s'autoriser à noter
Z
b
a
f (t)dt diverge, car
Z
b
a
f (t)dt
n'a de sens que si celle-ci converge, néanmoins, pour simplier la rédaction, on l'écrira quand
même !
Par la suite, nous n'envisagerons pas à chaque fois chaque cas potentiel. Ce serait trop
fastidieux. On décide de convenir que le choix d'un intervalle du type [a; b[ convient la plupart
du temps et permet de comprendre les diérentes propositions énoncées.
1. Montrer que la fonction f : x
+1
et que
f (t)dt converge.
Exemple 1.
Z
0
7! e
x
est localement intégrable sur [0; +1[
2. Montrer que la fonction f : x 7!
converge.
p1x est localement intégrable sur ]0; 1] et que
3. Montrer
que la fonction f : x
Z +1
f (t)dt diverge.
7!
0
1
Z
0
f (t)dt
sin x est localement intégrable sur [0; +1[ et que
1
4. Montrer que la fonction f : x 7!
est localement intégrable sur R et que
1 + x2
converge.
Z
+1
f (t)dt
1
Exemple 2. Déterminer la nature des intégrales suivantes et leurs éventuelles valeurs.
1.
2.
Z
0
Z
1
ln tdt
+1
1
dt
1 t2
Z +1
1
È
3.
dt
0
j 1 t2 j
2.1
0
Interprétation géométrique
F (x) =
Z
x
a
f (t)dt représente l'aire colorée
3
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Ainsi, si l'intégrale converge, cela signie que cette aire est nie, sinon, si l'intégrale diverge,
c'est que l'aire est innie.
Remarque 2. Attention danger !
+ Il est inexact d'écrire que
Z
Z x
+1
f (t)dt = x!+1
lim
f (t)dt. Si tel était le cas, l'intégrale
1
x
généralisée de 1Zà +1 d'une fonction impaire serait convergente, ce qui est manifes+1
tement faux pour
sin xdx.
1
+ Lorsque l'on calcule une intégrale, elle peut sembler ne pas être généralisée. Il faut donc
bien s'assurer du fait que f est intégrable ou pas sur un intervalle
donné. Exemple : si
Z 1
1
on ne fait pas attention on pourrait écrire l'horreur suivante :
dx = [ln jxj]1 1 = 0
1x
2.2
La condition nécessaire de convergence
f une fonction localement intégrable sur l'intervalle [a; +1[ ( Zrespective+1
ment ] 1; a]). Si f admet une limite non nulle en +1 (respectivement 1) alors
f (t)dt
a
Z a
(respectivement
f (t)dt) diverge.
Proposition 1. Soit
1
Autrement dit, cette proposition nous arme
donc qu'il est nécessaire (mais hélas pas suZ +1
1
1
sant car par exemple x!+1
lim = 0 mais
dt = +1) que x!+1
lim f (x) = 0 (respectivement
lim f (x) = 0) pour que
x! 1
Z
x+1
a
0
t
f (t)dt (respectivement
Z
a
1
f (t)dt) converge.
La Zcontraposée de cette proposition,
plus anecdotique, nous permet donc d'armer que
Z a
+1
si
f (t)dt (respectivement
f (t)dt) converge alors x!+1
lim f (x) = 0 (respectivement
a
1
lim f (x) = 0).
x! 1
Attention, cette condition nécessaire de convergence n'est valable qu'un voisinage des innis,
c'est à dire qu'on prend b = 1.
3
Calcul des intégrales généralisées
On peut réutiliser tous les résultats et propriétés vus sur les intégrales classiques (linéarité, relation de Chasles,...). Cependant, nous allons développer quelques subtilités dues aux
intégrales généralisées.
3.1
Formule du changement de variables
Proposition 2. Soit une bijection de [a; b[ dans [; [ de classe C 1 sur [a; b[ et soit f une fonc-
tion continue sur [; [. L'intégrale
Z
f (x)dx est convergente (respectivement divergente) si
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et seulement si l'intégrale
b
Z
a
f ((t)) 0 (t)dt converge (respectivement divergente).
Puisque est une bijection de [a; b[ dans [; [, il s'agit nécessairement d'une fonction strictement monotone. On peut donc la supposer strictement croissante, auquel cas on a bien
[a; b[) = [; [. Sinon on aura [a; b[) = [; [ ce qui ne change pas la proposition ci-dessus.
Cette proposition, nous permet donc par changement de variable, de déterminer la nature
des intégrales généralisées. Dans la pratique, on opère comme avec les intégrales classiques,
en cherchant dt ou dx et en n'oubliant pas de changer les bornes d'intégration.
Exemple 3. Déterminer la nature de
3.2
+1
Z
0
1
dt.
t2 + 2t + 3
Intégration par parties
u et v deux fonctions de classe C 1Z sur l'intervalle [a; b[. On suppose
b
que t !
7 u(t)v(t) possède une limite à gauche en b. Si uv0 converge (respectivement si
Proposition 3. Soient
Z
b 0
uv
a
b 0
uv
a
Z
converge), alors
converge (respectivement
d'Intégration Par Parties (IPP) suivante :
Z
b
a
Z
uv0 = tlim
(uv )(t) (uv )(a)
!b
a
b
a
uv0 converge) et on a la formule
Z
b
a
u0 v
Dans la pratique, on admet que t 7! u(t)v (t) possède une limite à gauche en b et on se lance
dans le calcul !
3.3
+
1
Z
0
(ln t)2 dt.
Exemples fondamentaux = exemples de références !
Z
1 1
0 x
dx
- converge si < 1,
- diverge si > 1.
+
Z
1
+1 1
x
dx
- converge si > 1,
- diverge si 6 1.
Ces deux premiers items sont appelés intégrales de Riemann.
+
+
Z
0
Z
0
1
ln xdx converge.
+1 x
e dx
5
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- converge si < 0,
- diverge si > 0.
+ 8a > 1;
Z
+1
1
dx
x (ln x)
a
- converge si > 1 et 8 2 R,
- converge si = 1 et > 1,
- diverge sinon.
+ 8a 2]0; 1[;
Z
1
a
dx
0 x (ln x)
- converge si < 1 et 8 2 R,
- converge si = 1 et > 1,
- diverge sinon.
Ces deux derniers items sont appelés intégrales de Bertrand.
4
4.1
Critères de convergence d'une intégrale généralisée
A quoi ça sert ?
Il est souvent très dicile, voire impossible de calculer la valeur d'une intégrale. Il en est de
même pour une intégrale généralisée. Il est donc très important de disposer quand même de
critères nous permettant de connaître sa nature. Ainsi, même si on ne sait pas la calculer, on
pourra savoir si une intégrale généralisée converge ou diverge. On dispose ensuite, dans le cas
de la convergence, de moyens numériques pour avoir une valeur approchée de cette intégrale.
Avant de citer quelques critères, voici une proposition importante :
Proposition 4. Soient
f et g deux fonctions localement intégrables sur [a; b[ et soient et deux réels quelconques.
+ Si les intégrales généralisées
Z
b
a
Z
b
a
f (t)dt et
b
Z
g(t)dt convergent alors l'intégrale généralisée
a
f (t) + g(t)dt converge également.
+ Si une des deux intégrales généralisées converge et que l'autre diverge, alors l'intégrale
généralisée
Z
b
a
f (t) + g(t)dt diverge.
+ Si les intégrales généralisées
Z
b
a
f (t)dt et
priori la nature de l'intégrale généralisée
Z
Z
b
a
b
a
g(t)dt divergent alors on ne connaît pas à
f (t) + g(t)dt.
Exemple 5.
6
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1. Décomposer
2
1 t2
en éléments simples.
2. Montrer que l'intégrale
+1
Z
2
1 t2
2
dt converge.
3. Montrer que les intégrales généralisées de chacun des éléments simples divergent.
4.2
Critères de convergences pour les fonctions positives
Dans un souci de simplication de la rédaction, on énonce ici des critères valables pour des
fonctions positives sur un intervalle I sur lequel on les intègre. Bien entendu, tous les résultats
dénis ci-dessous sont les mêmes si la fonction est négative sur I .
f une fonction
à valeurs positives sur [a; b[ et localement intégrable sur
Z b
[a; b[. L'intégrale généralisée f (t)dt converge si et seulement si il existe un réel M > 0 tel
aZx
f (t)dt < M .
que pour tout x 2]a; b[ on ait :
Proposition 5. Soit
a
Cette proposition
est une interprétation du théorème de la limite monotone pour la fonction
Z x
F : x 7! f (t)dt. En eet, F est croissante car F 0 (x) = f (x) > 0. Pour qu'elle admette une
a
limite nie en b, il faut donc qu'elle soit majorée. M est ce majorant.
Son utilisation reste cependant assez délicate
Proposition 6. Théorème de comparaison.
Soient f et g deux fonctions localement intégrables sur [a; b[ à valeurs positives sur [a; b[ telles
que f (x) 6 g (x), 8x 2 [a; b[ alors on a :
+ si
+ si
Z
b
a
Z b
a
g(t)dt converge alors
f (t)dt diverge alors
b
Z
a
b
Z
f (t)dt converge.
g(t)dt diverge.
a
En réalité, on peut amender un peu ce théorème. En eet, la condition f (x) 6 g (x)8x 2
[a; b[ n'est pas nécessaire. Comme le problème se situeZ au voisinage
de b, il Zsut d'avoir
Z c
b
b
f (x) 6 g(x)8x 2 [c; b[ où c > a car on peut écrire que : f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt. Or
Z
c
a
f (t)dt est une intégrale classique et seul
Exemple 6. Montrer que
+1
Z
0
e
x2 dx
b
Z
c
a
a
c
f (t)dt est une intégrale généralisée.
converge et que
=2
Z
0
1
dt diverge.
sin t
Proposition 7. Théorème d'équivalence.
Soient f et g deux fonctions localement intégrables sur [a; b[ à valeurs positives sur [a; b[ telles
que lim
x!b
f (x)
= l alors on a :
g(x)
+ si l 6= 0 alors
Z
b
a
f (t)dt et
Z
b
a
g(t)dt sont de même nature.
7
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+ si l = 0 alors si
+ si l = 0 alors si
Z
b
a
Z b
a
Z
g(t)dt converge alors
f (t)dt diverge alors
Z
b
a
b
a
f (t)dt converge.
g(t)dt diverge.
f (x)
On retrouve dans cette proposition et dans le cas où l = 1 le fait que si f g alors lim
=1
x!b g (x)
b
et donc le théorème d'équivalence s'applique.
+1
Z
2
1
dt converge.
t2 ln t
Corollaire 8. Critère de Riemann
Soient f une fonction localement intégrable sur [a; +1[ à valeurs positives sur [a; +1[.
+ s'il existe > 1 et c > 0 tels que f (t) +1
tc alors
Z
+1
a
f (t)dt converge.
Z +1
c
+ s'il existe 6 1 et c > 0 tels que f (t) +1
t alors a f (t)dt diverge.
Ce corollaire utilise le théorème d'équivalence et les intégrales de Riemann.
Exemple 8. Déterminer la nature de l'intégrale généralisée :
5
+1
Z
1
p1
t 1 + t2
Convergence absolue
Dans le paragraphe précédent, nous ne pouvions nous intéresser qu'à des fonctions conservant
leur signe sur un intervalle I . Finalement, cela arrive assez peu souvent. Il nous faut donc un
critère pour étudier la nature des intégrales généralisées pour des fonctions quelconques.
f une fonction localement intégrable sur [a; b[. OnZdit que l'intégrale généb
f (t)dt converge absolument ou que l'intégrale généralisée f (t)dt est absolument
Dénition 3. Soit
ralisée
Z
b
a
convergente si
Z
b
a
a
jf (t)jdt converge.
Z
b
L'intérêt de cette dénition réside dans le fait qu'alors, en introduisant jf (t)jdt, on retombe
a
sur l' intégrale généralisée d'une fonction positive. D'autant plus que l'on a le théorème
essentiel suivant :
Théorème 9. Toute intégrale généralisée absolument convergente est convergente.
En revanche, la réciproque est fausse ; il existe des intégrales généralisées convergentes mais
non absolument convergentes.
Exemple 9. L'intégrale
Z
0
+1 sin t
le démontrerons juste après.
t
dt est convergente mais non absolument convergente. Nous
8
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Remarque 3. L'absolue convergence est donc une convergence forte. Elle exprime le fait que
les parties négatives d'une fonction dont on calcule l'aire, se transforment en parties positives
et que malgré tout, l'aire reste nie.
Z
0
+1 sin t
t
dt et
Z
0
+1 sin t t
dt
f une fonction localement intégrable sur
[a; b[. S'il existe une fonction à valeurs positives et localement intégrables sur [a; b[ telle
Proposition 10. Critère de convergence absolue Soit
que :
(i) l'intégrale généralisée
Z
jf (t)j 6 (t)8t 2 [a; b[
(ii)
b
a
alors l'intégrale généralisée
(t)dt converge
Z
b
a
f (t)dt converge.
Z +1
+1 sin t
cos t
dt et de
dt
2
1
1
t
t2
Z
6
Semi-convergence
f une fonction localement
intégrable sur [a; bZ[. On dit que l'intégrale généZ b
b
f (t)dt est semi-convergente si jf (t)jdt diverge et f (t)dt converge, c'est à dire
Dénition 4. Soit
ralisée
que
Z
b
a
Z
b
a
a
a
f (t)dt n'est pas absolument convergente mais quand même convergente.
Z
+1 sin t
dt est semi-convergente.
t
sin t
1. Montrer que par prolongement par continuité f (t) =
est localement intégrable sur
t
Exemple 11. Le but de cet exercice est de montrer que
0
[0; +1[.
2. En intégrant par partie, montrer que
Z
0
+1 sin t
t
9
dt est convergente.
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3. Montrer que
Z
1
+1 cos(2t)
t
dt converge grâce à une intégration par partie.
1 cos(2t)
2
4. Montrer que 8t 2 [1; +1[; 0 6 sin2 t =
5. En déduire que
Z
0
+1 sin t t
6 j sin(t)j.
dt diverge. Conclure.
Il n'existe hélas pas de critère simple pour établir la semi-convergence d'une intégrale généralisée. On a cependant le théorème suivant :
Théorème 11. Théorème d'Abel. Soit f et g deux fonctions localement intégrables sur [a; +1[.
Si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
(i)
f est une fonction positive et décroissante sur [a; +1[ et x!+1
lim f (x) = 0
(ii)
9M > 0 tel que 8x 2 [a; +1[ on ait :
alors
Z
+1
a
Z
pelle intégrale de Fresnel.
7.1
x
a
g(t)dt 6 M
f (t)g(t)dt est semi-convergente.
7
Z
0
+1 sin t
p dt est semi-convergente. Cette intégrale généralisée s'ap-
2 t
Deux applications fondamentales
Le produit de convolution
On développera dans le chapitre sur les transformées de Laplace, l'utilisation de ce produit
très spécique.
Dénition 5. Soient
f et g deux fonctions dénies sur R. Le produit de convolution de f et g,
noté f g est la fonction dénie partout où l'intégrale généralisée suivante a un sens :
(f g )(x) =
Exemple 13. Calculer
Z
+1
f (t)g(x
1
t)dt
f g pour f = g = 1[0;1] où 1[0;1] est la fonction telle que 1[0;1] (x) = 1 si
0 6 x 6 1 et 0 sinon. On l'appelle l'indicatrice sur l'intervalle [0; 1].
Même question avec f = 1[0;1] et g (x) = e x 1[0;+1[ (x)
7.2
La fonction Gamma d'Euler
En mathématiques, la fonction Gamma d'Euler notée est une fonction complexe, considérée
également comme une fonction spéciale. Elle prolonge la fonction factorielle à l'ensemble des
nombres complexes (excepté en certains points).
10
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Dénition 6. La fonction
d'Euler est dénie pour tout z 2 C tel que Re(z ) > 0 par :
: z 7!
Z
0
+1 z 1 t
t e dt
Cette intégrale converge absolument sur le demi-plan complexe où la partie réelle est strictement positive.
Cette fonction peut être prolongée analytiquement en une fonction méromorphe sur l'ensemble des nombres complexes, excepté pour z = 0, -1, -2, -3, ... qui sont des pôles. C'est ce
prolongement qu'on appelle généralement "fonction gamma". Utilisant l'unicité du prolongement analytique, on montre que la fonction prolongée vérie encore l'équation fonctionnelle
précédente, ce qui permet une dénition plus simple, à partir de l'intégrale et en calculant
de proche en proche ? pour z 1, z 2, etc...
En s'intéressant à la fonction pour les réels x > 0 on a donc :
(x) =
Z
0
+1 x 1 t
t e dt
Cette intégrale est absolument convergente pour tout x > 0.
Proposition 12. Pour tout
n 2 N; (n + 1) = n!.
x > 0; (x + 1) = x (x). En particulier (1) = 1 et pour tout
11
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8
Fiche méthode
+ Pour déterminer la nature d'une intégrale généralisée
b
Z
a
f (t)dt, il faut d'abord détermi-
ner les points "à problème", c'est à dire les points où f n'est pas dénie et les éventuelles
bornes innies de l'intégrale (beaucoup plus visibles !).
+ Ensuite, il faut montrer que la fonction f est localement intégrable sur [a; b[ ou ]a; b]
ce qui est le cas des fonctions continues sur ces intervalles, ou alors ce qui arrive assez
souvent aussi, des fonction continues par morceaux sur ces intervalles.
+ Pour montrer que l'intégrale généralisée
b
Z
il faut :
a
f (t)dt converge en b (respectivement en a),
- Soit revenir à la dénition et montrer, par calculx de primitive, intégration par
parties ou changement de variable, que x
lorsque x
!b
(respectivement, x
7!
Z
b
x
7!
Z
a
f (t)dt admet une limite nie
f (t)dt) admet une limite nie lorsque
Z b
+
x ! a , ce qui permet en outre, ce qui n'est pas très fréquent, de calculer f (t)dt.
a
- Soit utiliser les diérents critères énoncés dans le cours en particulier si la fonction
est positive sur ]a; b[
- Soit, mais c'est plus compliqué, montrer que la fonction F : x 7!
Z
b
Z
x
a
f (t)dt (res-
pectivement F : x 7! f (t)dt) d'après le théorème de la limite monotone admet
x
une limite nie ou innie en b (respectivement a+ ).
Théorème de la limite monotone : Soit f une fonction dénie sur I =]a; b[ avec a et
b dans R. Si f est monotone sur I , alors elle admet une limite nie ou innie en a
et en b.
Si
f
est croissante sur
I
alors :
f est majorée sur I , f
* Si f est minorée sur I , f
Si f est décroissante sur I , alors :
* Si f est minorée sur I , f
* Si f est majorée sur I , f
* Si
admet une limite nie en b, sinon lim f = +1
x!b
admet une limite nie en a, sinon lim+ f = 1
x!a
admet une limite nie en b, sinon lim f = 1
x!b
admet une limite nie en a, sinon lim+ f = +1
x!a
+ Attention, les calculs de primitives, les intégrations par parties et les changements de
variables sont "ociellement" interdits dans les intégrales généralisées. Pour eectuer
ces opérations licites néanmoins, il faut toujours se ramener à une intégrale dénie, c'est
à dire sur un intervalle où la fonction est continue, puis calculer la limite du résultat.
+ Attention, des intégrales "faussement généralisées" peuvent se glisser dans les énoncés.
Exemple :
Z
0
1 sin t
t
dt. On peut prolonger f (t) =
12
sin t
t
par continuité en 0 en posant
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f (0) = 1 donc
Z
0
1 sin t
t
dt converge.
+ Attention avant de linéariser une intégrale généralisée, il faut toujours s'assurer de la
convergence de toutes les intégrales mises en jeu.
13
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9
Exercices
Exercice 1. Intégrales généralisées étudiées à
8.
l'aide de la dénition
Déterminer la nature et la valeur lorsqu'elles
convergent des intégrales suivantes :
1.
2.
3.
Z
0
Z
+1
+1
1
Z
+1
0
9.
Z
0
1 ln t
1
Z
0
1
p dt
t
p 1 dt
1 t
1
dt
0 t(1 t)
Z 1
1
11.
dt
1 ln jtj
e t dt
10.
ln tdt
1
Z
È
Exercice 4. Déterminer la nature des intégrales
dt
t2 + 2
suivantes, en discutant éventuellement suiExercice 2. Intégrales "faussement" générali- vant les valeurs des paramètres et réels
non nuls :
sées
Z +1
p2
Montrer que les intégrales suivantes sont
1.
x
x + 1dx
0
convergentes.
1.
2.
Z
0
Z
1 sin t
t
dt
1 t ln t
0 t
2.
1
3.
dt
4.
Exercice 3. Utilisation des critères de compa-
raison.
Déterminer la nature des intégrales généralisées suivantes :
5.
6.
+1 sin t
1.
dt
0
t2
Z
2.
3.
Z
0
Z
0
Z
+1
t2
e dt
+1 2 t
t e dt
7.
1
+1 arctan x 2
x
Z +1
ln x
dx
0 x2 1
Z +1
ln x
dx
0 x+e x
Z +1
sin x
dx
0
x
Z +1
x
dx
0 1 + x
0
1
Z
0
dx
j1 tj dt
Exercice 5. Calculer les intégrales suivantes
après avoir montré leur convergence :
1.
+1 ln t
dt
t
Z 1
cos t
p dt
5.
0
t
Z +1
ep t
dt
6.
0
t
Z +1
e t
dt
7.
0
t
4.
Z
2.
3.
4.
5.
14
Z
Z
Z
0
Z
+1
1
dx
2
1 x + 2x + 3
+1
1
dx
2
1 x 3x + 2
+1 n x
x e dx
+1
0
+1
Z
0
ln x
dx
(x + 1)2
1 x arctan
1
x
dx
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+1
Z
6.
0
p
1
dx
1 + ex
puis que pour tout n 2 N ,
Z
1. Montrer
que les intégrales
Z 1
Z +1
ln t
ln t
dt et
dt convergent
2
0 1+t
1 1 + t2
et ont des valeurs opposées.
Exercice 6.
2. Calculer
+1
Z
0
Z
0
+1 ln t
1 + t2
0
(t a)(b t)
Mettre le trinôme (t a)(b
+1
Z
0
t2
I=
0
dt.
1 + t4
Exercice 9. On pose
J=
Z
0
2
ln(cos x)dx.
I =
0
2
4. Calculer
e t2 dt
1. Montrer que pour tout réel x > 1, on a
ln(1 + x) 6 x. En déduire que pour
p tout
entier n 2 N et tout réel t 2 [0; n], on
a:
1
n
6 e t2 6
Ê
2n
+1
Z
0
e t2 dt
Pour tout réel > 0, on dénit
la fonction f
Z 1
par : 8x 2]0; 1]; f (x) = e t t 1 dt
En transformant cette dernière intégrale, en déduire la valeur de I .
Exercice
10. Calcul de l'intégrale de Gauss :
Z

t2 n
cosn tdt.
Exercice 11. Utilisation du théorème de la li-

dt
3. Montrer à l'aide de changements de variables, que les membres de gauche et
de droite dans l'inégalité de p
la questionp 1., valent respectivement nI2n+1
et nI2n 2 .
1 Z 2
sin 2x
2. En déduire que I =
dx.
ln
2 0
2
0
n
e t2 dt
ln(sin x)dx et mite monotone
1. Montrer que ces intégrales convergent et
qu'elles sont égales.
+1
2

(c) En déduire que In n!+1
1. Montrer que ces intégrales convergent et
qu'elles sont égales.
Z
0
0
2
1
dt et J =
1 + t4
2. En eectuant le changement de variable
1
x=t
dans l'intégrale I + J , calculer
t
alors la valeur commune de I et J .
Z
t2
1+
n
pn
(b) Montrer que la suite (In )n2N est décroissante et que, pour tout n 2
N , nIn In 1 = .
t) sous forme
+1
0
dt 6
Z
(a) Calculer I0 et I1 . Exprimer In en
fonction de In 2 pour n > 2.
canonique et faire un changement de variable
adéquat.
Z
n

pn
Z
2. On pose In =
leur convergence.
Exercice 7. Soient a et b deux réels tels que
0 < aZ < b. Justier la convergence et calcub
t
È
ler :
dt.
a
t2
n
1
6
dt puis
ln t
dt après avoir justier
(1 + t2 )2
Exercice 8. On pose
pn

1+

t2 n
n
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x
1. Montrer que : 8 > 0; 8x
f (x) 6
1
2]0; 1]; 0 6
2. Montrer que la fonction f est décroissante sur ]0; 1].
3. Montrer que la fonction f admet une
limite nie en 0.
4. En
déduire la nature de l'intégrale
Z 1
e t t 1 dt.
0
JMB