Formulaire sur l`intégrale
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Formulaire sur l`intégrale
Formulaire sur l’intégrale Z Z Intégrale indéfinie et dérivées Z f 0 (x) dx = f (x) +C d dx Z sin(x) dx = − cos(x) +C Z cos(x) dx = sin(x) +C f (x) dx = f (x) Z sec2 (x) dx = tan(x) +C Changement de variables Z Z csc2 (x) dx = − ctg(x) +C f (u) du Z f g(x) g0 (x) dx = où u = g(x), du = g0 (x)dx sec(x) tan(x) dx = sec(x) +C Z csc(x) ctg(x) dx = − csc(x) +C Intégration par parties Z u dv = uv − Z Z v du Linéarité Z Z A f (x) dx = A f (x) dx, A ∈ R Z Z f (x) + g(x) dx = Z f (x) dx + g(x) dx Primitives de base Z xa dx = xa+1 +C, a , −1 1 dx = ln |x| +C Z x ex dx = ex +C a+1 Z Z bx dx = bx +C ln(b) tan(x) dx = − ln | cos(x)| +C = ln | sec(x)| +C Z ctg(x) dx = ln | sin(x)| +C = − ln | csc(x)| +C Z sec(x) dx = ln | sec(x) + tan(x)| +C Z csc(x) dx = − ln | csc(x) + ctg(x)| +C 1 √ dx = asin(x) +C = − acos(x) +C 1 − x2 Z 1 dx = atan(x) +C = − actg(x) +C 2 Z 1+x 1 √ dx = asec(x) +C = − acsc(x) +C x x2 − 1 Z Intégrale définie Changement de variable pour l’intégrale définie Avec le changement de variable u = g(x): Définition y Z b 0 Z g(b) 0 f (g(x))g (x) dx = a g(a) g(b) f (u) du = f (u)g(a) y = f 0 (x) Théorème fondamental du calcul k f (x) Première partie: a dx Z b x b f 0 (x) dx = a n Z b f (x) dx = lim n→∞ a ∑ aire k Z b a b dy = f (b) − f (a) = f (x)a y k=1 f (b) − f (a) dy y = f 0 (x) dx aire k = f (xk∗ )∆x = f (xk∗ ) k xk∗ a b ∆x x f (x) x Z f (t) dt Seconde partie : d = f (x) dx a y 1 2 k ... 3 a ... n−2 n−1 n y = f (x) y = f (x) a + k∆x b Rx x b−a pour un découpage régulier n b−a xk∗ = a + k si on prend les cotés à droite n b−a xk∗ = a + (k − 1) si on prend les cotés à gauche n ∆x = a Rx f (t) dt Z Comparaisons Si f (x) ≥ 0 sur [a, b], alors f (x) dx ≥ 0. a f (x) dx Si f (x) ≥ g(x) sur [a, b], alors a Z b f (x) + g(x) dx = a f (x) dx Z b a f (x) dx ≥ a Propriétés géométriques de l’intégrale définie Z a Z b Z b f (x) dx = − f (x) dx = 0 a Z ca Z b f (x) dx + a f (t) dt) x dx Linéarité de l’intégrale définie Z b Z b C f (x) dx = C a f (x) a Z b a b d( Z c f (x) dx = b g(x) dx. a Si m ≤ f (x) ≤ M sur [a, b], alors f (x) dx a f (x) dx a Z b m(b − a) ≤ Z b a f (x) dx ≤ M(b − a).