Feuille d`exercices no 12 : Intégration sur un segment

Feuille d’exercices no 12 : Intégration sur un segment
2013 – 2014
Calculs d’intégrales et de primitives
Exercice 1 — Dans chacun des cas suivants calculer l’intégrale I après avoir justifié son existence :
Z 1
Z4
Z2
Z1
2
exp(1/t)
x
1
ln x
1.
a) I =
dx.
d)
I
=
dx.
dx.
b) I =
dx.
c) I =
√
2
2
1
t
0
2 t(ln t)
1 x
1 − x2
2
Z π
Z4
Z 1
√
√
x2 − x dx. d) I = 2 cos4 θ dθ.
2.
a) I =
y(y − 2 y) dy. c) I =
0
0
−1
Exercice 2 — Dans les cas suivants, déterminer les intervalles sur lesquels la fonction f admet une primitive, et calculer
√
x
3
sur ces intervalles les primitives de f : a) f (x) =
b) f (x) =
c) f (x) = x 3 − x.
x+1
x(x − 1)
Exercice 3 — Dans chacun des cas suivants calculer l’intégrale I après avoir justifié son existence :
Z2
Z −2
Z9
Ze
a) I =
tet dt.
b) I =
t 2 e5t dt.
c) I =
y 3 ln y dy.
d) I =
x(ln x)2 dx.
Z1 π
Z11
Z 01
Z1 π
4
t
3 y2
g) I =
x sin x dx.
h) I =
t arctan t dt.
e cos(4t) dt.
f) I =
y e dy.
e) I =
0
0
0
−π
Exercice 4 — Calculer les intégrales suivantes au moyen du changement de variable indiqué :
Z 10
Z1
Z1
t ln(1 + et )
x
1
t
2
a) I =
).
c)
I
=
dt, (x = 1 + et ).
dx,
(y
=
x
).
b)
I
=
ln
dt,
(u
=
t+1
2
2
1 t(t + 1)
t+1
1 + e−t
1 (x + 2)(x + 1)
0
Z π
Z 12 √
Z2
ln x
2
1
x
2
e) I =
dt, (u = cos t)
f) I =
1 − t dt, (t = sin θ)
g) I =
cos 1+x
dx, (t = 1x ).
2
π sin t
1
x
0
2
4
Suites définies par une intégrale
Z
Exercice 5 — 1. Pour n ∈ N, on pose un =
1
0
tn
dt.
1 + t2
R
1
1 = 1 t n dt.
a) Montrer : ∀n ∈ N, 0 ≤ un ≤
. Indication : On pourra remarquer que n+1
0
n+1
b) En déduire que la suite (un )n∈N converge et déterminer sa limite.
2. En procédant de même, étudier la convergence et la limite éventuelle des suites définies par
Z 1
1
R1 √
n sin(
nt )
a) vn = 0 t n 1 + t.
b) wn =
dt
1
t
n+1
Z
1 1
Exercice 6 — Pour tout n ∈ N, on pose In =
(1 − t)n et dt.
n! 0
1. Calculer I0 et I1 .
2. Montrer : ∀n ∈ N, 0 ≤ In ≤ n!e . En déduire la limite de (In ).
1
3. Montrer : ∀n ∈ N, In+1 = In − (n+1)!
.
4. Montrer : ∀n ∈ N, In = e −
n 1
n 1
P
P
. En déduire la limite de
lorsque n tend vers +∞.
k=0 k!
k=0 k!
Z
Exercice 7 Intégrales de Wallis. — Pour tout n ∈ N, on pose Wn =
π/2
(cos t)n dt.
0
1. Pour n ∈ N, montrer grâce à une intégration par parties que (n + 2)Wn+2 = (n + 1)Wn .
(2n)!
π
2. En déduire : ∀n ∈ N, W2n = n
× .
(2 × n!)2 2
3. a) Pour n ∈ N, on pose un = (n + 1)Wn+1 Wn . Montrer que (un )n∈N est une suite constante. Que vaut cette constante ?
b) En déduire la valeur de W2n+1 pour tout entier n.
Intégrales et calculs de limites
Exercice√8 — Montrer que les suites (un )n∈N∗ , (vn )n∈N∗ , (wn )n∈N∗ définies ci-dessous sont convergentes :
n−1
1/n
n−1
n
P k
P
Q
1
k
un =
,
v
=
,
w
=
1
+
n
n
n
3/2
k=0 n
k=1 k + n
k=0
1
Zn
Exercice 9 — 1. Pour n ∈ N∗ , calculer In =
ln x dx.
1
Zk
Z k+1
Zn
Z
2. Montrer : ∀k ≥ 2,
ln x dx ≤ ln k ≤
ln x dx. En déduire : ∀n ∈ N∗ ,
ln x dx ≤ ln(n!) ≤
k−1
3. En déduire que
1
k
n+1
ln x dx.
2
ln(n!)
−→ 1.
n ln n n→∞
Zn
1
Exercice 10 — 1. Pour tout n ∈ N∗ , calculer In =
dx.
2 x ln x
Z k+1
1
1
dx ≤
.
2. Montrer : ∀k ≥ 2,
x
ln
x
k
ln
k
k
n
P
1
3. Pour n ∈ N∗ , on pose Sn =
. A l’aide du théorème de minoration, montrer que Sn −→ +∞.
n→+∞
k
ln
k
k=2
Fonctions définies par une intégrale
Zx 2
t
1
dt.
x − 1 1 1 + t8
Montrer que g est prolongeable par continuité au point 1 et donner la valeur en 1 de ce prolongement.
Zx
√
1
Exercice 12 — Montrer : ∀x ∈ R,
dt = ln(x + 1 + x2 ).
√
0
1 + t2
Zx
ln t
dt.
Exercice 13 — On considère la fonction G définie par G(x) =
2
1
1/x + t
1. Déterminer son ensemble de définition et montrer que G est de classe C 1 .
2. Calculer G0 . Que peut-on en déduire ?
Exercice 11 — Soit g la fonction définie sur R \ {1} par g(x) =
2x
Z
Exercice 14 — On considère la fonction g définie par g(x) =
2
e−t dt.
x
1. Justifier que g est bien définie sur R et montrer que g est impaire.
2. Montrer que g est de classe C 1 , puis calculer g 0 (x).
2
2
3. a) Etablir que pour tout réel x > 1, xe−4x ≤ g(x) ≤ xe−x .
b) En déduire l’existence ainsi que la valeur de la limite de g en +∞.
c) Dresser le tableau de variation de g. On précisera g(0).
x2
Z
Exercice 15 — On considère la fonction F définie sur [0 , 1] par F(x) =
x
1
dt si 0 < x < 1, F(0) = 0 et F(1) = ln 2.
ln t
1. Montrer que F est bien définie sur [0 , 1].
Z x2
1
2. a) Pour tout réel x de ]0 , 1[, calculer
dt.
t
ln
t
x
b) Etablir que, pour tout réel x de ]0 , 1[, on a x2 ln 2 ≤ F(x) ≤ x ln 2.
c) En déduire que F est continue sur [0 , 1].
3. Montrer que F est de classe C 1 sur ]0 , 1[, puis déterminer ses variations.
Un peu plus théorique
Exercice 16 — Soient f et g deux fonctions continues sur un segment [a , b].
Zb
(λf (x) + g(x))2 dx est une fonction polynôme de la variable réelle λ. Que dire du signe de P ?
1. Justifier que P : λ ∈ R 7→
a
Z b
2 Z b
Z b
2
2. En déduire l’inégalité
f (x)g(x) dx ≤
f (x) dx
g(x)2 dx
(Inégalité de Cauchy-Schwarz)
a
a
a
Z
1
Exercice 17 — Soit f : [0 , 1] → R, continue, telle que
f (x) dx =
0
1
. Montrer qu’il existe c ∈ [0 , 1] tel que f (c) = c.
2
Z
Exercice 18 — Soit f : [0 , 1] → R, continue. Pour n ∈ N, on pose un =
2
1
0
t n f (t) dt. Montrer que un −→ 0.
n→∞