Controle 2 - Correction

Université Paris Diderot
L1 MASS- Probabilité et sondage
Controle 2 - Correction
Exercice 1
Pour l’examen du code de la route, les candidats doivent remplir un questionnaire de 40
questions en choisissant pour chacune d’elles l’une des quatre réponses proposées, dont
une seule est exacte. Un candidat totalement ignorant décide de tenter sa chance en
cochant complètement au hasard une réponse pour chaque question.
1. Pour chaque question vu séparement. Quelle est la probabilité d’avoir la bonne
réponse.
2. Quelle est la loi du nombre S de bonnes réponses du candidat ?
Correction 1
1. Les Xi pour i = {1, 2, . . . , 40} valent 1 si le candidat à eu bon à la quesion i. Les
Xi suivent la loi de Bernoulli de paramètre p = 41 . Le candidat à une probabilité
égale à p = 14 d’avoir bon à une question.
P
2. Soit S = 40
i=1 Xi . Si le candidat répond totalement au hasard aux 40 questions,
les Xi sont alors indépendantes. On est donc dans le cadre d’un schéma de Bernoulli répété 40 fois indépendement. La variable aléatoire S représente donc bien le
nombre de bonnes réponses du candidat au 40 questions du test. S suit donc une
loi Binomiale de paramètre n = 40 et p = 41 .
Exercice 2
Un test est mis en place pour dépister une maladie. Si la personne est effectivement
atteinte, le test donne un résultat positif dans 99, 9% des cas. Si la personne est en bonne
santé, le test peut malgré tout etre positif (on parle de « faux positif »), et cela arrive
dans 1% des cas. On sait que, en moyenne, une personne sur vingt est atteinte de cette
maladie. On pratique ce test sur un individu et il est positif. Quelle est la probabilité
pour qu’il soit effectivement malade ?
Correction 2
Sur un espace Ω, on note
1. M l’évenement ”la personne testée est malade”.
2. S l’évenement ”la personne n’est pas malade”’.
3. Po l’évenement ”le test est positif”.
4. N l’évenement ”le test est négatif”.
L’énoncé fournit les probabilités suivantes :
P(P o|M ) = 0.999, P(P o|S) = 0.01, P(M ) = 0.05
La probabilité à calculer est P(M |P o). On utilise pour cela la formule de Bayes :
P(M |P o) =
0.999 × 0.05
0.04995
P(P o|M )P(M )
=
=
≈ 0.840
P(P o|M )P(M ) + P(P o|S)P(S)
0.999 × 0.05 + 0.01 × 0.95
0.05945
1
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L1 MASS- Probabilité et sondage
La probabilité que la personne soit malade sachant que son test est positif est donc
d’environ 84%.
Exercice 3
On dispose d’une urne contenant B boules blanches et 3 boules vertes et on s’intéresse
notamment au tirage de la première boule verte. Les tirages s’effectuent avec remise.
1. Pourquoi les tirages sont-ils indépendants ? Justifier que l’on est dans le d’un schéma
de Bernoulli.
2. Calculer la probabilité de tirer au moins une boule verte au cours des n premiers
tirages.
3. On note X la loi du tirage de la première boule verte. Donner la P (X = k).
Correction 3
1. La composition de l’urne ne change pas d’un tirage à l’autre, on suppose que chaque
tirage est bien uniforme parmi les boules. On est donc dans le cas d’une expérience
répétée de façon indépendante : c’est un schéma de Bernoulli.
2. On pose E1 =”tirer au moins une boule verte parmi les n premiers tirages” et
E2 =”tirer uniquement des boules blanches parmi les n premiers tirages”. On a
alors que
P(E1 ) = 1 − P(E2 )
B
et les
Or la probabilité de tirer une boule blanche au k ieme tirage est égale à B+3
tirages sont indépendants. La probabilité de tirer uniquement
des
boules
blanches
n
B
. On a donc
au cours des n premiers tirages est donc égale à B+3
P(E1 ) = 1 −
B
B+3
n
3. Pour tout k ≥ 1, la probabilité de tirer pour la première fois une boule verte au
k ieme tirage est égale à la probabilité de tirer des boules blanches au cours des
k − 1 premiers tirages, puis une boule verte au k ieme tirage. On a donc, en utilisant
l’indépendance des tirages :
P(X = k) =
2
B
B+3
k−1
3
B+3