Devoir surveillé sur les probabilités en première S

Devoir de mathématiques no 9 - 1èreS
14 mars 2012 - 1h
Exercice 1
(4 points)
Pour une compétition internationale, le sélectionneur doit choisir entre deux tireurs à l’arc dont les
performances sont définies par les lois de probabilités ci-dessous.
A chaque tir dans la cible, on associe un nombre de points. Plus la flèche est proche du centre de la cible,
plus le nombre de points est élevé.
On note X et Y les variables aléatoires donnant le nombre de points obtenus à chaque tir respectivement
par le tireur A et le tireur B.
Tireur A
probabilité
1
0,16
2
0,15
3
0,20
4
0,25
5
0,18
10
0,06
Tireur B
probabilité
1
0,03
2
0,1
3
0,51
4
0,21
5
0,11
10
0,04
Calculer l’espérance et l’écart type de chacune des deux variables aléatoires.
Compte tenu de ces informations, quel tireur va choisir le sélectionneur ?
Exercice 2
(8 points)
Le coût de production d’un objet est de 950 euros.
Cet objet peut présenter un défaut A, un défaut B, ou bien en même temps le défaut A et le défaut B.
La garantie permet de faire des réparations aux frais du fabricant avec les coûts suivants :
100 euros pour le défaut A et 150 euros pour le défaut B.
On admet que 90% des objets produits n’ont aucun défaut, 5% ont au moins le défaut A,
et 4% ont les deux défauts A et B.
1. On note X la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard, associe son prix de revient,
c’est-à-dire son coût de production augmenté du coût de réparation éventuel.
Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer l’espérance mathématique E(X) de cette variable aléatoire.
Que représente E(X) pour l’usine ?
3. On admet que tous les objets produits sont vendus.
(a) L’usine peut-elle espérer réaliser des bénéfices en vendant 960 euros chaque objet vendu ?
(b) L’usine veut réaliser un bénéfice moyen de 100 euros par objet.
Expliquer comment doit-on alors choisir le prix de vente de l’objet produit.
Exercice 3
(8 pts)
Une urne contient une boule rouge et n boules blanches.
On tire successivement et avec remise deux boules de l’urne.
1. Exprimer en fonction de n la probabilité des événements suivants :
M : ≪ Les deux boules sont de la même couleur ≫
N : ≪ Les deux boules sont de couleur différente ≫
2. On considère le jeu suivant : le joueur perd (n + 1)2 euros si M est réalisé et gagne 2(n + 1)2 euros
sinon. On appelle X la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) du joueur.
(a) Déterminer la loi de probabilité de X.
(b) Démontrer que E(X) = −n2 + 4n − 1.
Pour les questions suivantes toute trace de recherche et de raisonnement seront pris en compte.
(c) Pour quelles valeurs de n le jeu est favorable au joueur ?
(d) Si on laisse choisir au joueur le nombre de boules blanches, que doit-il répondre ?
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