Examen de probabilités

Examen de probabilités
Master 1 mathématiques, janvier 2015
Durée 3h. 7 exercices. Aucun document autorisé. Pas d’appareils électroniques.
exercice 1 :
Soit X une variable aléatoire strictement positive telle que X et 1/X sont
intégrables. Montrer que
E(X)E(1/X) ≥ 1.
exercice 2 :
Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, de carrés intégrables. Montrer que les suites suivantes convergent
presque sûrement vers une limite qu’on calculera.
n
1X
X2
n k=1 k
n
1X
Xk Xk+1
n k=1
X
2
Xi Xj
n(n − 1) 1≤i<j≤n
exercice 3 :
Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement disP
tribuées, de carrés intégrables, d’espérance non nulle. On pose Sn = nk=1 Xk .
Quelle est la limite presque sûre des suites suivantes ?
Sn ,
Sn
,
n
S
√n ,
n
Sn
.
n2
exercice 4 :
Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires et a ∈ R. Montrer que la suite
(Xn ) converge en loi vers une constante a ∈ R si et seulement si elle converge
en probabilité vers cette constante.
exercice 5 :
Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes qui obéissent aux
lois suivantes :
√ 1
√ P Xn = n = P Xn = − n = .
2
– Calculer l’espérance et la variance de Xn .
– Calculer la fonction caractéristique de Xn .
– Montrer qu’il existe deux constantes A et B telles que pour tout x ∈ [−1, 1],
−
x2
x2
+ Ax4 ≤ ln(cos(x)) ≤ − + Bx4 .
2
2
– On pose Sn = nk=1 Xk . Montrer que la suite ( Snn ) converge en loi vers une
loi normale d’espérance nulle et d’écart-type à déterminer.
P
1
exercice 6 :
Etudier la convergence en loi des suites (Xn )n∈N∗ pour lesquelles on a les informations suivantes :
1) P (Xn = 1 + n1 ) =
2) P (Xn = 0) = 1 −
1
2
1
n
= P (Xn = 1 − n1 ).
et P (Xn = 1) = n1 .
3) Xn de loi uniforme sur l’ensemble {0, n1 , n2 , ..., n−1
n , 1}.
exercice 7 :
Soit p, q, r ∈ [0, 1] tels que p + q + r = 1, p > 0, q > 0. Soit (Xn )n∈N∗ une
suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un espace probabilisé
(Ω, T , P ) telles que
P (Xn = 1) = p,
P (Xn = −1) = q,
P (Xn = 0) = r.
Soit a, b ∈ N∗ et ω ∈ Ω. On pose
Sn (ω) =
n
X
Xk (ω),
k=1
φ(λ) = E(eλX1 ) = peλ + qe−λ + r,
τ (ω) = inf{k > 0 | Sk (ω) = −a ou Sk (ω) = b},
(n ∧ τ )(ω) = min(n, τ (ω)) pour n ∈ N,
(Sn∧τ )(ω) = S(n∧τ )(ω) (ω).
– Montrer que τ est un temps d’arrêt et que P (τ < ∞) = 1.
– Montrer que pour presque tout ω, la suite (n ∧ τ )(ω) est constante à partir
d’un certain rang.
– Montrer que la variable aléatoire Sn∧τ est convergente, sa limite est notée Sτ .
– Montrer que la suite (Mn ) donnée par Mn = Sn − nE(X1 ) est une martingale.
– Montrer que (Mn∧τ ) converge vers une limite à exprimer en fonction de Sτ .
– En déduire que E(Sτ ) = E(τ )E(X1 ).
– Montrer que la suite Mn = eλSn φ(λ)−n est une martingale.
– Soit λ ∈ R tel que φ(λ) ≥ 1. Montrer que E(eλSτ φ(λ)−τ ) = 1.
– Montrer l’égalité e−λa
R
−τ
(Sτ =−a) φ(λ)
dP + eλb
R
−τ
(Sτ =b) φ(λ)
dP = 1.
On suppose maintenant que p 6= q.
– Montrer qu’il existe λ0 6= 0 tel que φ(λ0 ) = φ(0) = 1.
– Montrer que P (Sτ = −a) et P (Sτ = b) sont solutions d’un système linéaire
de deux équations à deux inconnues.
– Supposons a = b. Exprimer P (Sτ = b), E(Sτ ), E(τ ) en fonction de p, q, r, b.
2