Contrôle continu Probabilités - IRMA

Université de Strasbourg
UE − Probabilités
Mathématiques-Economie
Niveau − L3, année − 2011-1012.
Contrôle continu
Probabilités
Durée : 1h30. Les calculatrices et téléphones portables sont interdits.
Exercice 1 − On rappelle que la fonction génératrice d’une variable aléatoire X discrète et
positive est GX (s) = E(sX ), pour s ∈ [0, 1].
1) Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Calculer la
fonction génératrice de X.
2) Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes suivants des lois de Poisson de
paramètres respectifs λ1 > 0 et λ2 > 0. Déduire de la question 1) la loi de X1 + X2 .
Exercice 2 − Soit U1 , . . . , Un des variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme
sur [0, 3] définies sur le même espace probabilisé (Ω, F, P). On pose Mn = max(U1 , . . . , Un ) et
mn = min(U1 , . . . , Un ).
1) Montrer que Mn converge en probabilité vers 3 et que mn converge en probabilité vers
zéro.
2) Après avoir remarqué que pour tout ε > 0,
{(a, b) ∈ R2 tq |a + b| > ε} ⊂ {(a, b) ∈ R2 tq |a| > ε/2 ou |b| > ε/2},
montrer que Mn − mn converge en probabilité vers 3.
Exercice 3 − Un sac contient 3 boules rouges R1 , R2 et R3 et deux boules noires N1 et N2 .
On tire en une seule fois deux boules du sac.
1) Calculer le cardinal de l’espace Ω des réalisations possibles et donner toutes les réalisations
possibles (un élément de Ω sera, par exemple, ω = (R2 , N1 )).
2) Comme tribu associée à Ω, on prend la tribu F engendrée par l’évènement E = {(N1 , N2 )}.
Expliciter cette tribu F.
3) Sur l’espace probabilisable (Ω, F), on définit la fonction X : Ω 7→ {0, 1, 2} qui à tout
élément de Ω associe le nombre de boules rouges. Cette fonction est-elle une variable
aléatoire ? (justifier votre réponse).
4) Quelle est la plus petite tribu G qui rend X mesurable ?
Exercice 4 − Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé
(Ω, F, P). On rappelle que si Y est une variable aléatoire discrète prenant ses valeurs dans
l’ensemble {y1 , . . . , yn }, alors
!
Z
n
X
1
XdP I{Y = yi }.
E(X|Y ) =
P(Y = yi ) {Y =yi }
i=1
TSVP
Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre
p. On pose Sn = X1 + . . . + Xn et Tn = X2 + . . . + Xn .
1) Donner les lois de Sn et de Tn . Ces deux variables aléatoires sont elles indépendantes
(justifier votre réponse).
2) Montrer que pour i = 1, . . . , n,
Z
X1 dP = p × P(Tn = i − 1).
{Sn =i}
3) En déduire que
E(X1 |Sn ) =
4) Montrer que l’on a bien E(E(X1 |Sn )) = E(X1 ).
Sn
.
n