Inégalité de Le Cam

Développement n◦ 19/74
Benjamin Groux
Inégalité de Le Cam
Mon développement
Soient λ > 0 et un entier n > λ. On note Bn,λ la loi binomiale de paramètres n et
Pλ la loi de Poisson de paramètre λ.
λ
n
et
Commençons par quelques rappels. Les fonctions caractéristiques des lois Bn,λ et Pλ sont
λ it
n
it
d
c
données respectivement par : ∀t ∈ R, B
n,λ (t) = (1 + n (e − 1)) et Pλ (t) = exp(λ(e − 1)).
d
c
On en déduit que (B
n,λ )n∈N converge simplement sur R vers Pλ , donc que (Bn,λ )n∈N converge
étroitement vers Pλ d’après le théorème de Lévy. En un certain sens, on va chercher à préciser
la vitesse de convergence.
Remarquons qu’à l’aide des fonctions caractéristiques, on retrouve facilement la propriété
Pλ ∗ Pµ = Pλ+µ , qui nous sera utile plus tard.
Proposition. Soient λ > 0 et un entier n > λ. On a :
+∞
X
|Bn,λ (k) − Pλ (k)| ≤
k=0
4λ2
n
Pour tout p ∈ [0, 1], on note µp le couplage défini par le tableau suivant :
(0, 0) e−p − p(1 − e−p )
(0, 1)
p(1 − e−p )
(1, 0)
0
(1, 1)
pe−p
−p k
(k, 0)
e p /k!
(k, 1)
0
pour tout k ≥ 2. On vérifie facilement qu’on définit ainsi une loi de probabilité sur N ×{0, 1}.
De plus, si (X, Y ) est un couple de variables aléatoires de loi µp , on vérifie facilement que
X et Y suivent respectivement une loi de Poisson de paramètre p et une loi de Bernoulli de
paramètre p.
On a de plus
P(X = Y ) = e−p − p + 2pe−p ≥ −p + (1 + 2p)(1 − p) = 1 − 2p2
en utilisant l’inégalité de convexité de l’exponentielle, donc
P(X 6= Y ) ≤ 2p2 .
(1)
Soient (X, Y ) un couple de variables aléatoires dans N2 et A ⊂ N.
On a
P(X ∈ A) = P(X ∈ A, X = Y ) + P(X ∈ A, X 6= Y ) ≤ P(Y ∈ A) + P(X 6= Y )
et de même, P(Y ∈ A) ≤ P(X ∈ A) + P(X 6= Y ). Donc :
| P(X ∈ A) − P(Y ∈ A)| ≤ P(X 6= Y ) .
1
(2)
Développement n◦ 19/74
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Soient λ > 0 et un entier n > λ. Soient (X1 , Y1), . . . , (Xn , Yn ) des variables aléatoires
i.i.d. de loi µλ/n et A ⊂ N. Puisque X1 + . . . + Xn suit la loi Bn,λ et Y1 + . . . + Yn suit la loi
Pλ , on a :
|Bn,λ(A) − Pλ (A)| = | P(Y1 + . . . + Yn ∈ A) − P(X1 + . . . + Xn ∈ A)|
≤ P(X1 + . . . + Xn 6= Y1 + . . . + Yn ) (d’après (2))
≤ P(∃i ∈ J1, nK, Xi 6= Yi )
n
X
≤
P(Xi 6= Yi )
i=1
2
n
X
λ
≤
2
n
i=1
=
(d’après (1))
2λ2
.
n
Pour conclure, il suffit d’appliquer cette inégalité aux ensembles A1 = {k ∈ N | Bn,λ (k) ≥
Pλ (k)} et A2 = N \A1 . On obtient alors :
+∞
X
|Bn,λ (k) − Pλ (k)| =
X
(Bn,λ (k) − Pλ (k)) +
k∈A1
k=0
=
X
Bn,λ (k) −
X
k∈A1
k∈A1
X
(Pλ (k) − Bn,λ (k))
k∈A2
Pλ (k) +
X
Pλ (k) −
k∈A2
X
Bn,λ (k)
k∈A2
= Bn,λ (A1 ) − Pλ (A1 ) + Pλ (A2 ) − Bn,λ (A2 )
2λ2 2λ2
4λ2
≤
+
=
n
n
n
Références
J’ai utilisé [Let82, p. 95]. On peut aussi consulter [Ouv07, p. 220], [Dur10, p. 137], [Car07,
p. 78], [Shi84, p. 345].
Leçons correspondantes
J’utilise ce développement pour la leçon 252. On peut également l’utiliser pour la leçon
249.
Remarques
– On peut détailler plus les calculs de fonctions caractéristiques et leurs conséquences
dans l’introduction du développement.
– Pour un énoncé du théorème des évènements rares, voir [Ouv09, p. 310]. Plus généralement,
la loi binomiale de paramètres (n, pn ) converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre
λ lorsque limn→+∞ npn = λ > 0.
– Au lieu de dire ≪ couplage ≫, on peut simplement parler de loi d’un couple. On peut
également construire le couplage ≪ à la main ≫ en revenant aux ω.
2
Développement n◦ 19/74
Benjamin Groux
– Il est également possible d’utiliser le couplage µp défini par
(0, 0)
1−p
−p
(0, 1) e − (1 − p)
(k, 0)
0
−p k
(k, 1)
e p /k!
pour tout k ≥ 1. Dans ce cas, on obtient P(X 6= Y ) ≤ p2 et donc
+∞
X
|Bn,λ (k) − Pλ (k)| ≤
k=0
2λ2
.
n
min(2, λ).
– La majoration optimale est en fait 2λ
n
– Il existe un résultat plus fort (mais difficile à trouver dans la littérature) : le théorème
de Prohorov. Soit λ > 0, on a :
lim n
n→+∞
+∞
X
|Bn,λ (k) − Pλ (k)| =
k=0
1
E(|X − (X − λ)2 |)
2
où X est une variable aléatoire de loi Pλ . Ce résultat se démontre à l’aide du théorème
de convergence dominée pour les séries numériques.
Questions possibles
1. Montrer que Pλ ∗ Pµ = Pλ+µ .
2. Donner la définition de la fonction caractéristique d’une variable aléatoire et donner
ses propriétés.
3. Donner la définition d’un couplage.
4. Citer une autre approximation classique de loi.
5. En pratique, pour quelles valeurs des paramètres approche-t-on la loi binomiale par la
loi de Poisson ?
Références
[Car07] Hervé Carrieu : Probabilité : exercices corrigés. EDP Sciences, 2007.
[Dur10] Richard Durrett : Probability, theory and examples. Cambridge University Press,
2010.
[Let82] Gérard Letac : Intégration et probabilités : analyse de Fourier et analyse spectrale.
Exercices. Masson, 1982.
[Ouv07] Jean-Yves Ouvrard : Probabilités 1. Cassini, 2007.
[Ouv09] Jean-Yves Ouvrard : Probabilités 2. Cassini, 2009.
[Shi84] Albert Shiryayev : Probability. Springer, 1984.
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