TD Probabilités : Exercices “de base”

TD Probabilités : Exercices “de base”
Points de cours :
• Variable aléatoire, loi d’une v.a. réelle, fonction de répartition. Changement de variable; somme de va indpendantes.
• Loi exponentielle, loi de Poisson, loi normale.
• Indépendance d’une famille d’événements, de tribus, de v.a.
• Simulation d’une variable aléatoire.
Exercice 1 : (probabilités discrètes)
a. On considère une famille de 3 enfants; on suppose que la probabilité
d’avoir un garçon est égale à la probabilité d’avoir une fille. On considère les
événements A=”il y a au plus une fille” et ”M=”il y a au moins un enfant
de chaque sexe”. Les événements A et M sont-ils indépendants ? Même
question pour une famille de 4 enfants (Feller T1, p115).
b. Donner un exemple de 3 événements aléatoires indépendants 2 à 2, mais
pas indépendants dans leur ensemble.
Exercice 2 : (Cottrell p8)
On choisit au hasard et de façon équiprobable un entier de [1, . . . , n]. On
note Ap l’événement ”cet entier est divisible par p”.
a. Calculer P (Ap ) lorsque p divise n.
b. Montrer que si p1 , . . . , pk sont des diviseurs premiers de n distincts, les
événements Ap1 , . . . , Apk sont indépendants.
c. On appelle fonction indicatrice d’Euler la fonction φ définie sur les entiers
naturels telle que φ(n) est égal au nombre d’entiers non nuls inférieurs à n
et premiers avec n. Montrer que
1
φ(n) = nΠp premier, p|n 1 −
p
Exercice 3 : (Changement de variable; Ouvrard)
Soit X une v.a. de loi uniforme sur [0, 1], et Y la v.a. définie pour p > 0 par
1
Y = − ln(X) .
p
Déterminer la loi de X.
Exercice 4 : (loi de Poisson, loi exponentielle; cf processus de Poisson)
Soient X1 , ..., Xn , ... une suite de va indépendantes, de même loi E(1). Sn =
X1 + . . . + Xn . Pour λ > 0, on définit la va Y par
Y = max{n | Sn ≤ λ}
Calculer la densité de Sn , et montrer que Y suit une loi de Poisson de
paramètre λ.
Exercice 5 : (couple de v.a.; changement de variable; Ouvrard)
Soit X = (X1 , X2 ) une v.a. à valeurs dans R2 , de loi normale, ie de densité f
2
x1 + x22
1
exp −
f (x1 , x2 ) =
.
2π
2
Soit g l’application de R2 dans R définie par
g(x1 , x2 ) =
x1
si x2 6= 0 ; g(x1 , 0) = 0 .
x2
On note Y la variable aléatoire Y = g(X). Quelle est la loi de la variable
aléatoire Y ?
Exercice 6: Le principe de réflexion (combinatoires) (Feller T1, pp 6672).
On joue à pile ou face; on note Xi = 1 si on obtient pile au ième lancer, et
Xi = −1 si on obtient face. On pose Sn = X1 + . . . + Xn , et S0 = 0.
a. Quel est le nombre de chemins Nn,x tels que Sn = x ?
b. Pour x > 0, montrer que le nombre de chemins tels que ”S1 = 1, Sn = x
et ∃k ∈ {2, . . . , n} tel que Sk = 0” est égal au nombre de chemins tels que
”S1 = −1, Sn = x” (principe de réflexion).
c. En déduire, pour x > 0, la probabilité
P (Sk > 0 ∀k ∈ {1, . . . , n}|Sn = x) .
Exercice 7: Simulation d’une loi de proba. Penser à la leçon ”Fonctions
monotones...”
Soit X une va de fonction de répartition F . On définit la fonction G d’une
variable réelle t, appelée ”pseudo-inverse” de F , par
G(t) = inf(x | F (x) ≥ t)
1. Montrer que :
i) Si F est continue, ∀t ∈]0, 1[, F [G(t)] = t.
ii) Si F est strictement croissante, ∀x ∈ R, G[F (x)] = x.
iii) Si F est continue et strictement croissante, F est bijective de R sur ]0, 1[,
et on a G = F −1 .
2. Montrer que si F est continue et strictement croissante, F (X) suit la loi
uniforme sur [0, 1].
3. Montrer que si Y suit la loi uniforme sur [0, 1], G(Y ) admet F comme
fonction de répartition.
Exercice 8 : Méthode de simulation de Box-Müller.
Soient (U, V ) un couple de v.a. indépendantes et de même loi, la loi uniforme
sur [0, 1]. On définit les variables aléatoires X et Y par :
√
√
X = −2 ln U cos 2πV ; Y = −2 ln U sin 2πV .
Quelle est la loi du couple (X, Y ) ? (Remarque : ce peut être une méthode
pour simuler des variables gaussiennes).
Exercice 9 :
Soit X une v.a. positive, telle que E(X) < +∞. On note G(x) = P(X > x).
Montrer que G est intégrable sur R+ , et que
Z
G(x)dx = E(X)
R+