Exercice I Exercice II Exercice III Exercice IV

Université de Lyon 1
Polytech Systèmes industriels 3eme année
2014-2015
Probabilités et statistiques
Examen final
09/01/15 – 10h30-12h30
Cours, TDs, calculatrice autorisés.
Exercice I
La couleur des yeux d’une personne est déterminée par 2 gènes dont l’un est transmis par le père et l’autre
par la mère. On suppose qu’il y a deux formes possibles pour les gènes : la forme B (bleue) et la forme M
(marron). La forme B est récessive c’est à dire qu’une personne qui a le génotype BM ou MB a les yeux
marrons. Vos parents ont tous deux les yeux marrons mais votre sœur a les yeux bleus.
1. Quelle est la probabilité pour que vous ayez les yeux marrons ?
2. On suppose en plus que votre conjoint a les yeux bleus tandis que votre premier enfant a les yeux
marrons. Quelle est la probabilité pour que votre second enfant ait les yeux bleus ?
Exercice II
Un astronome examine les radiations d’une étoile lointaine. A chaque émission, indépendamment des
précédentes émissions d’onde, il y a deux chances sur trois que celle-ci soit une onde alpha, une chance
sur trois que celle-ci soit une onde beta. L’astronome enregistre une première émission, puis compte le
nombre X d’émissions enregistrées avant la réapparition de l’onde obtenue lors du premier enregistrement.
Déterminer la loi de X.
Exercice III
1. Soit X une variable discrète distribuée suivant la loi de Poisson de paramètre λ. Calculer la probabilité
P (X = 1|X ≥ 1).
2. Dans une ville de 200 000 personnes, un voleur a laissé une empreinte digitale de type t. La probabilité
pour qu’une personne ait des empreintes de ce type est de 5.10−6 . Soit X le nombre de personnes dans
la ville possédant l’empreinte digitale de type t. Quelle loi de probabilité attribuez-vous à X ?
3. La police arrête un suspect dont les empreintes digitales sont de type t. Est-il raisonnable de condamner le suspect sur la foi de ce seul indice ?
Exercice IV
Un vol Marseille - Paris est assuré par un Airbus de 150 places ; pour ce vol des estimations ont montré
que la probabilité pour qu’une personne confirme son billet est p = 0.75. La compagnie vend n billets,
n > 150. Soit X la variable aléatoire «nombre de personnes parmi les n possibles, ayant confirmé leur
réservation pour ce vol».
1. Quelle est la loi suivie par X ? Par quelle loi normale peut-on approcher X ?
1
2. Tracer l’allure de la fonction
x 7→ px2 + 1.645
p
p(1 − p)x − 150
et déterminer les valeurs où elle s’annule.
3. Quel est le nombre maximum de places que la compagnie peut vendre pour que, à au moins 95%,
elle soit sûre que tout le monde puisse monter dans l’avion, c’est-à-dire : quel est le n maximal tel que
P (X > 150) ≤ 0.05 ? On justifiera soigneusement la réponse et on utilisera le résultat suivant (obtenu
dans la table de la loi normale centrée réduite) :
Z x
2
1
F (1.645) = 0.95, F (x) = √
e−y /2 dy.
2π −∞
Exercice V
Une compagnie d’assurance fixe un montant de cotisation qui lui rapporte (frais de gestion déduits) q euros
par mois. Elle a d’autre part, chaque mois, un montant aléatoire de dépenses, qui dépend des accidents,
catastrophes naturelles, etc. ayant pu se produire lors du mois considéré. On note Xi le montant des
dépenses pour le mois i. On suppose que les Xi sont des variables aléatoires indépendantes de moyenne
p. Soit An le montant des pertes après n mois de fonctionnement de la compagnie d’assurance :
An = X1 + X2 + · · · + Xn − nq.
1. Quelle est l’espérance de An ? Quelle est sa variance ?
2. Montrer que si q ≥ p, alors, pour tout A > 0, la probabilité que An soit plus grand que A tend vers
0 lorsque n → +∞, à savoir
lim P (An ≥ nA) = 0.
n→+∞
3. On suppose dans cette question que chaque Xi suit une loi de Bernoulli de paramètre p, à savoir
P (Xi = 1) = p,
P (Xi = 0) = 1 − p.
On suppose aussi q = p.
(a) Pour k ∈ {0, 1, . . . , n}, donner la probabilité P (X1 + X2 + · · · + Xn = k).
(b) On veut estimer le comportement de P (X1 + X2 + · · · + Xn = k) pour n grand lorsque k lui aussi
est grand. Plus précisément, on se fixe une proportion x ∈]0, 1[ et on suppose k = xn (ou plus
exactement k = E(xn) =partie entière de xn, mais on pourra raisonner avec k = xn dans la suite
pour plus de simplicité). En utilisant la formule asymptotique
ln(m!) = m ln(m) − m + o(m),
[m → +∞],
(1)
montrer que
1 ln P (X1 + X2 + · · · + Xn = xn) = −H(x),
n→+∞ n
p
1−p
+ (1 − x) ln
.
H(x) = − x ln
x
1−x
lim
avec
(c) Représenter graphiquement la fonction H sur l’intervalle ]0, 1[.
(d) Montrer, pour a ∈]0, 1 − p[, P (An = na) ' e−nH(a+p) lorsque n grand.
2
(2)