exercice 1 exercice 2

Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision (RCP101)
Fiche N o 9
EXERCICE 1
Soit une file d’attente (illimitée) avec un serveur unique; le système d’attente se trouve dans un
organisme public ouvert de 9h à 17h, sans interruption. Il accueille en moyenne 64 personnes
par jour; le temps moyen passé au guichet par une personne est de 2 minutes et demie.
Un statisticien a observé que la loi de probabilité de la durée des services est exponentielle,
et que les arrivées des clients forment un processus de Poisson.
1. Donner le nombre moyen de personnes présentes dans l’organisme, le temps moyen passé
à attendre son tour, le temps moyen passé dans l’organisme.
2. Quelles sont les probabilités pour qu’il n’arrive aucun client entre 15h et 16h, pour que
six clients arrivent entre 16h et 17h ?
3. Quelle est, en moyenne, par heure, la durée pendant laquelle l’employé du guichet n’est
pas occupé avec les usagers ?
4. Quelle est la probabilité d’avoir 4 personnes dans la file d’attente, derrière l’usager qui est
occupé avec l’employé du guichet ?
EXERCICE 2
Un centre d’information comporte trois bureaux travaillant indépendamment en parallèle.
Des usagers de ce centre se présentent aléatoirement pour obtenir des informations, selon
une loi de Poisson de taux λ : lorsqu’un bureau est libre, ils sont immédiatement reçus, sinon
ils passent dans la salle d’attente qui (on le suppose pour simplifier les calculs) ne peut contenir
que deux personnes.
Lorsqu’un client se présente et que cette salle d’attente est complète, il remet à plus tard sa
visite : on suppose que ceci ne perturbe pas le caractère poissonnien de la loi des arrivées des
usagers.
La durée aléatoire passée par un usager dans un bureau d’information suit une loi exponentielle de taux µ.
1. (a) Quel est le nombre maximal N d’usagers pouvant se trouver simultanément dans le
centre ?
(b) Modéliser le système à l’aide d’un processus de Markov particulier, à reconnaı̂tre.
• Décrire chacun des N + 1 états possibles du système.
• Tracer et valuer le graphe des transitions entre t et t + dt
• Donner la notation de KENDALL de cette file d’attente.
2. Ce processus est-il fortement ergodique ?
3. Sachant que λ = 2µ
(a) Calculer numériquement les probabilités de chaque état en régime permanent.
(b) Sachant que λ = 10 arrivées/heure, évaluer le nombre moyen de clients qui arrivent
et renoncent à attendre pour une tranche d’une heure.