Année universitaire 2014/2015 MASTER 1`ereannée Statistique

Année universitaire 2014/2015
ère
MASTER 1
année Statistique (parcours Biostatistique et Actuariat)
Semestre 2 - Contrôle terminal / Mai 2015
Matière : Séries Chronologiques (Enseignant : Laurent Gardes)
Durée : 3 heures
Documents interdits, calculatrice autorisée
Barême : Question de cours : 3 pts ; Exercice 1 : 5 pts ; Exercice 2 : 12 pts
Notations utilisées dans le sujet : Soit (Xt )t∈Z un processus défini sur l’espace probabilisé (Ω, F, P).
• La fermeture du sous espace vectoriel de L2 (Ω, F, P) des combinaisons linéaires finies de l’ensemble {Xs , s ≤ t} est notée HtX .
• Le sous espace vectoriel de L2 (Ω, F, P) engendré par les variables aléatoires {Xs , . . . , Xt } est
noté Hst .
Questions de cours −
1) Donner la définition d’un processus stationnaire.
2) Soit (Xt )t∈Z un processus. Donner la définition de l’innovation de ce processus.
3) Soit (Xt )t∈Z un processus stationnaire. Donner le résultat permettant de calculer la fonction
d’autocorrélation partielle de ce processus.
Exercice 1 − Soient U et V deux variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur [0, 2π]
et soit (α, β) ∈ R2 . On considère le processus défini pour tout z ∈ Z par
Xt = cos(2πtα + U ) + cos(2πtβ + V ).
1) Montrer que le processus (Xt )t∈Z est centré.
2) Pour tout (s, t) ∈ Z2 , calculer la corrélation E(Xs Xt ) (astuce : utiliser l’égalité cos(a) cos(b) =
[cos(a − b) + cos(a + b)]/2). Le processus (Xt )t∈Z est-il stationnaire ?
3) On rappelle qu’un processus centré (Yt )t∈Z est ergodique en moyenne si pour tout t0 ∈ Z,

!2 
t +T −1
1  0X
lim
E
Xt  = 0.
T →∞ T 2
t=t
0
Si α = β = 1, le processus (Xt )t∈Z est-il ergodique en moyenne ?
Exercice 2 − Soit (a, b) ∈ R2 . Dans tout cet exercice on considère le processus (Xt )t∈Z défini par la
relation de récurrence Xt − aXt−1 = ηt − bηt−1 pour tout t ∈ Z où (ηt )t∈Z est un bruit blanc faible de
variance σ 2 .
1) Pour les couples (a, b) suivants, dire si le processus (Xt )t∈Z et un ARMA(1,1) et/ou si (ηt )t∈Z
est son bruit blanc d’innovation : (a, b) = (1/3, 1/2), (a, b) = (3, 1/2), (a, b) = (1/3, 2), (a, b) =
(1/3, 0).
2) Pour cette question, on suppose que |a| < 1. En utilisant la fonction d’autocorrélation
ρX (.) du processus (Xt )t∈Z , calculer la projection linéaire EL(Xt−h |Xt ) pour tout (t, h) ∈ Z2 .
3) Pour cette question, on suppose que a = 1/3 et b = 2. Notre objectif est l’étude du bruit
blanc d’innovation (εt )t∈Z du processus (Xt )t∈Z .
a) Déterminer les constantes c1 , c2 et c3 telles que pour tout t ∈ Z,
X
εt = c1 Xt + c2 Xt−1 + c3 EL ηt−1 |Ht−1
.
En déduire qu’il existe une famille absolument sommable {Φi , i ∈ N} telle que
X
εt =
Φi Xt−i ,
i∈N
(on ne cherchera pas ici à calculer les coefficients {Φi , i ∈ N}).
b) On rappelle que la représentation canonique du processus (Xt )t∈Z est donnée par Xt −
1/3Xt−1 = εt − 1/2εt−1 . Calculer les coefficients {ϕi , i ∈ N} tels que pour tout t ∈ Z,
X
εt =
ϕi ηt−i .
i∈N
c) Pour tout t ∈ Z, donner l’expression de Xt en fonction des variables aléatoires {ηs , s ≤ t}.
d) En utilisant les questions 3.a), 3.b) et 3.c), montrer que pour tout i ∈ N,
ϕi =
i
X
Φj Ψi−j ,
j=0
où Ψ0 = 1 et Ψi = −5/3i pour tout i ≥ 1. Donner la valeur de Φ1 .
4) Pour cette question, on suppose que a = 1/3 et b = 1/2. L’objectif de cette question
est de calculer les valeurs ρX (1) et τX (1) des fonctions d’autocorrélation et d’autocorrélation
partielle du processus (Xt )t∈Z .
t−1
) = 0 pour tout t ∈ Z.
a) Expliquer pourquoi on a EL(ηt |Ht−1
b) Calculer l’expression de ηt en fonction des variables aléatoires {Xs , s ≤ t}.
c) Montrer que pour tout h ≥ 1, ρX (h) = 31−h ρX (1).
t−1
d) En utilisant les questions 4.b) et 4.c) montrer que EL(ηt |Ht−1
) = 11ρX (1)/10 + 1/6. En utilisant la question 4.a), en déduire les valeurs de ρX (1) et τX (1).
5) Dans cette question, les paramètres a et b sont inconnus et on suppose que |a| < 1
et |b| < 1. On dispose à présent de T variables aléatoires {X1 , . . . , XT } que l’on suppose être
les réalisations du processus (Xt )t∈Z aux instants t ∈ {1, . . . , T }. L’objectif de cette question est
de proposer des estimateurs des paramètres a et b.
a) Rappeler l’expression de l’estimateur de la fonction d’autocorrélation ρX (.).
b) En vous inspirant de la question 4.c), proposer un estimateur de a.
c) On considère le processus (Yt )t∈Z défini pour tout t ∈ Z par Yt = Xt − aXt−1 . Quel est le
modèle du processus (Yt )t∈Z ?
d) En fonction de b et σ 2 , calculer E(Yt Yt+h ) pour tout t ∈ Z et pour h ∈ {0, 1}. En utilisant le
fait que si |b| < 1, b/(1 + b2 ) ∈] − 1/2, 1/2[, montrer que ρY (1) ∈] − 1/2, 1/2[ où ρY (.) est la
fonction d’autocorrélation du processus (Yt )t∈Z .
e) En utilisant la question précédente, montrer que
q
1 − 4ρ2Y (1) − 1
b=
.
2ρY (1)
√
(Indication : Introduire les
fonctions
f
(.)
et
f
(.)
définies
sur
]−1,
1[
par
f
(x)
=
(
1 − x2 −
+
−
+
√
2
1)/x et f− (x) = −(1 + 1 − x )/x et montrer que f+ (.) est décroissante avec f+ (x) → 0
lorsque x → 0 et que |f− (x)| > 1 pour tout x ∈] − 1, 1[.)
f) Proposer un estimateur de b.