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Espérance du gain
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Pour un jeu télévisé, le candidat prend une boule dans une urne contenant 2 boules blanches et
8 rouges indiscernables au toucher.
Si le candidat obtient une boule rouge, il perd sa mise et s’il tire une boule blanche, il gagne le
carré de sa mise.
On note x la mise de départ en euros du candidats.
On note G la variable aléatoire correspondant au gain du joueur.
1.
Déterminer la loi de probabilité de G puis la mise maximale que l’on doit autoriser pour que
le jeu soit favorable à l’organisateur.
2.
On place maintenant la mise du joueur à 5 euros et il y a dans l’urne 2 boules blanches et n
boules rouges.
J-F Lecarpentier - TES –exercice corrigé : variable aléatoire et espérance
Déterminer la loi de probabilités de G puis le nombre de boules rouges minimum pour que le
jeu soit favorable à l’organisateur.
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J-F Lecarpentier -TES –exercice corrigé : variable aléatoire et espérance
1S-exercice corrigé
1S-exercice corrigé
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On note x la mise de départ en euros du candidats.
On note G la variable aléatoire correspondant au gain du joueur.
1.
Déterminer la loi de probabilité de G puis la mise maximale que l’on doit autoriser pour que
le jeu soit favorable à l’organisateur.
* Solution:
Le joueur récupère 0 euros ou bien x2 euros mais a misé x euros au départ
donc les valeurs possibles pour G sont −x si le joueur tire une boule rouge et x2 − x euros
s’il tire une boule blanche donc :
gi
−x
x2 − x
8
2
p(G = gi )
= 0, 8
= 0, 2
10
10
E(G) = −x × 0, 8 + (x2 − x) × 0, 2 = −0, 8x + 0, 2x2 − 0, 2x = 0, 2x2 − x
J-F Lecarpentier - TES –exercice corrigé : variable aléatoire et espérance
Pour que le jeu soit favorable à l’organisateur, il faut :
E(G) < 0 ⇐⇒ 0, 2x2 − x < 0
Recherche des racines :
0, 2x2 − x = 0 ⇐⇒ x(0, 2x − 1) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x = 5
donc 0, 2x2 − x est du signe de a = 0, 2 (coefficient de x2 ) à « l’extérieur des racines
soit :
x
0, 2x2 − x
−∞
0
+
5
−
0
signe de −a coef.
signe de a coef.
à
de x2 à « l’extérieur »
de x2 « entre »
à
des racines
les racines
0
+∞
+
signe de a coef.
de x2 à « l’extérieur »
des racines
donc 0, 2x2 − x < 0 pour x ∈]0; 5[
donc la mise maximale de va être de 5 euros pour que le jeu soit favorable à l’organisateur.
2.
On place maintenant la mise du joueur à 5 euros et il y a dans l’urne 2 boules blanches et n
boules rouges.
* Solution:
Le joueur récupère 0 euros ou bien 52 euros mais a misé 5 euros au départ
donc les valeurs possibles pour G sont −5 si le joueur tire une boule rouge et 52 − 5 = 20
euros s’il tire une boule blanche donc :
Il y a alors n + 2 boules dans l’urne.
gi
−5
20
n
2
p(G = gi )
n+2 n+2
n
2
−5n + 40
E(G) = −5 ×
+ 20 ×
=
n+2
n+2
n+2
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Espérance du gain
Espérance du gain
Pour que le jeu soit favorable à l’organisateur, il faut E(G) < 0
−5n + 40
<0
n+2
⇐⇒ −5n + 40 < 0 car n + 2 > 0
⇐⇒ −5n < −40
⇐⇒ n > 8
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Il faut donc au minimum 8 boules rouges
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