MAP 311: Aléatoire PC 9 Marc Lelarge 27 juin 2016

MAP 311: Aléatoire PC 9
Marc Lelarge
27 juin 2016
Exercice 1: modèle auto-regressif d’ordre 1
Soit (Yn ) une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi N (m, σ 2 ). Soient a ∈ R et
X0 une variable aléatoire de loi N (m0 , σ02 ) indépendante de (Yn )n≥1 . Pour tout n ≥ 1, on définit la
suite récurrente aléatoire (Xn )n≥1 par
Xn = aXn−1 + Yn .
1. Montrer que (X0 , . . . , Xn ) est un vecteur gaussien.
2. Déterminer la loi de Xn et exprimer Cov(Xk , Xn ) en fonction de V ar(Xk ) pour 0 ≤ k ≤ n.
3. A quelle condition la suite (Xn ) converge-t-elle en loi? Quelle est alors la limite? Quelle est la
loi de Xn si X0 a cette loi?
4. Montrer que si a ∈ (−1, 1), le vecteur (Xn , xn+1 ) converge en loi vers un vecteur gaussien dont
on déterminera les paramètres.
P
5. pour a ∈ (−1, 1), étudier la convergence en loi de la moyenne empirique X n = n1 ni=1 Xi .
Exercice 2: Paradoxe de St Petersbourg
Dans un casino, un jeu consiste à parier sur un tirage aléatoire d’une variable X à valeur dans
{1, . . . , K}. La distribution de X est p(x). Si X = k, le casino multiplie la somme misée sur k par
1/p(k) et toutes les autres mises sont perdues. Une stratégie q d’un joueur est de mettre de coté
(c’est à dire ne pas miser) une fraction q(0) de son capital et pour le reste de miser une fraction
q(k) de son capital sur la valeur k. Donc une stratégie q est telle que q(k) ≥ 0 pour tout k ≥ 0 et
P
K
k=0 q(k) = 1. On suppose que la distribution p(x) est connue du joueur.
1. On considère une stratégie q avec q(0) > 0. Montrer qu’il existe une stratégie q̂ avec q̂(0) = 0
qui est aussi performante que q, dans le sens où le joueur aura la même somme d’argent quelle
que soit la valeur prise par X pour les deux stratégies.
On suppose pour la suite que q(0) = 0. On définit:
Rn =
Cn
1
log
,
n
C0
le taux de retour du joueur où C0 est le capital initial et Cn est le capital après n tours dans
le jeu.
2. En utilisant la loi des grands nombres, calculer r = limn→∞ Rn en fonction des distributions p
et q. Montrer que pour la stratégie optimlae r = 0.
1
3. On suppose maintenant que avant chaque tour i, le joueur a une information donnée par Yi qui
est corrélée à X. La distribution de (Xi , Yi ) est p(x, y). La stratégie du joueur au tour i, étant
donné l’information Yi = y est de parier une fraction notée q(k|y) de son capital sur la valeur
k. Recalculer r = limn→∞ Rn .
4. Trouver la stratégie q(x|y) qui maximise r et montrer que le taux de retour est positif ou nul.
Paradoxe de St Petersbourg: on considère le jeu suivant: pour un prix d’entrée de c euros, un
joueur recoit 2k euros avec probabilité 2−k . Certains disent qu’ils ont ’intérêt’ à jouer quelque soit la
valeur de c. Pourquoi? Bernoulli dans Specimen theoriae novae de mensura sortis (1738) propose de
résoudre le paradoxe en intoduisant une fonction d’utilité logarithmique pour l’argent: une somme s
a une utilité ln s. L’utilité moyenne devient alors E[ln X] = ln 4 et donc Bernoulli accepte de jouer
uniquement si c < 4. Le choix de la fonction d’utilité logarithmique étant arbitraire, nous allons
étudier une autre solution de ce paradoxe.
5. On suppose maintenant que le joueur peut acheter une part du jeu. Par exemple, s’il investit
c/2 euros dans le jeu, il recoit X/2 avec P (X = 2k ) = 2−k . On suppose les X1 , X2 , . . . i.i.d.
et que le joueur est obligé de réinvestir la totalité de sa fortune à chaque étape. Soit Fn (c) sa
fortune au temps n. On suppose que F0 (c) = 1 ≤ c. Montrer qu’il existe c∗ tel que pour c < c∗
sa fortune tend vers l’infini et si c > c∗ elle tend vers 0. Calculer la valeur du prix ’équitable’
c∗ et pour une distribution différente de X.
6. Etudier le cas où le joueur peut choisir de ne miser qu’une fraction de sa fortune. Pour quelle
valeur de c, le joueur va-t-il choisir de parier toute sa fortune?
k −1
7. Question bonus: Si on a P (X = 22
toute valeur de c?
) = 2−k , faut-il investir la totalité de sa fortune pour
Exercice 3: Modèle de Fisher-Wright
On considère l’évolution d’une population de taille fixe N > 1 dont chaque individu est de type A
ou B. La génération t + 1 s’obtient en tirant pour chaque individu de la génération t + 1, de manière
i.i.d. uniforme, un parent dans la génération t. Soit Xt le nombre d’individus de type A dans la
génération t. On s’intéresse au comportement en temps long de la suite récurrente aléatoire (Xt )t≥0 ,
en fonction du point de départ X0 = x0 (fixé).
1. Montrer que pour tout t ≥ 0 et tous 0 ≤ x, y, x1 , . . . , xt−1 ≤ N
Px,y = P(Xt+1 = y|Xt = x, Xt−1
x N −y
N
x y
1−
;
= xt−1 , . . . , X0 = x0 ) =
N
N
y
2. Montrer que P(∩s≥t {Xs = x}|Xt = x) = 1 pour tout t ≥ 0 et tout x ∈ {0, N };
3. Montrer que P(Xt+1 ∈ {0, N }|Xt = x) ≥ 21−N pour tout 0 ≤ x ≤ N et tout t ≥ 0;
4. En déduire que P(T < ∞) = 1 et que E(T ) ≤ 21−N o T = inf{t > 0 : Xt ∈ {0, N }};
5. En déduire que (Xt )t≥0 converge p.s. et dans L1 vers la v.a. XT valeurs dans {0, N };
6. Montrer que E(Xt ) = x0 pour tout t ≥ 0, puis que P(XT = N ) = x0 /N ;
2
Avec ce modèle, presque sûrement, l’un des types finit par disparaı̂tre complètement de la population
en un temps fini (aléatoire). On modifie à présent le modèle en introduisant des mutations : après
avoir choisi un parent, on transforme A en B (resp. B en A) avec probabilité u (resp. v).
1. Montrer que pour tout t ≥ 0 et tous 0 ≤ x, y, x1 , . . . , xt−1 ≤ N , avec px = Nx (1 − u) + 1 − Nx v,
N y
Px,y = P(Xt+1 = y|Xt = x, Xt−1 = xt−1 , . . . , X0 = x0 ) =
px (1 − px )N −y ;
y
2. Montrer que si 0 < u, v < 1 alors Px,y > 0 pour tous 0 ≤ x, y ≤ N ;
3. On pose mt = E(Xt ). Montrer que m0 = x0 et mt+1 = mt (1 − u − v) + N v pour tout t ≥ 0.
En déduire que mt → N v/(u + v) quand t → ∞ (notez que cette limite ne dépend pas de x0 );
3