Exercices de theorie des jeux

Exercices de Théorie des Jeux
Deuxième Année de Magistère
CERDI-Université d’Auvergne, Année 2010-2011
Les différentes formes de jeux
Exercice 1 - Considérez le jeu du “morpion” dans lequel deux joueurs doivent
remplir à tour de rôle les 9 cases d’un tableau 3 × 3 avec des croix et des cercles.
Quel est le nombre de stratégies à la disposition du joueur qui entame la partie ?
Est-ce un jeu en information parfaite ?
Exercice 2 - Représentez le jeu “Papier-Caillou-Ciseaux” sous forme stratégique
en supposant que le gain du gagnant est 1, celui du perdant 0 et le gain de chaque
joueur en cas d’égalité est 1/2. Proposez une forme extensive.
Exercice 3 - Soit un jeu sous forme extensive ayant les propriétés suivantes :
2 joueurs sont en interaction, ils ont chacun à leur disposition 2 actions et ils ne
disposent que d’un seul ensemble d’information. Donnez toutes les représentations
possibles d’un tel jeu.
Exercice 4 - Appliquez la procédure de rétroduction au jeu représenté à la Figure
1. Pouvez-vous continuer à l’appliquer si les deux nœuds de décision du joueur 2
forment un unique ensemble d’information ? Dans ce dernier cas, donnez la forme
stratégique du jeu obtenu.
Exercice 5 - On considère le jeu de marché sous forme caractéristique suivant.
Deux joueurs possèdent chacun des quantités initiales de deux biens économiques.
B
A
B
On note ces biens A et B. Les quantités positives xA
1 et x1 (resp. x2 et x2 )
représentent la dotation initiale du joueur 1 (resp. du joueur 2). Les préférences
du joueur i sont données par la fonction d’utilité :
B
A 1/2 B 1/2
(xi ) .
ui (xA
i , xi ) = (xi )
Si la coalition de taille 2 se forme, on suppose que les joueurs s’échangent les biens
de manière à maximiser la somme des utilités, i.e. ils résolvent le programme :
max
y1A ,y2A ,y1B ,y2B
u1 (y1A , y1B ) + u2 (y2A , y2B ),
1
c
V.
Dequiedt 2010
2
1
2
a
2
b
C
1
A
2
1
1
1
1
D
B
a
1
0
2
b
2
2
Figure 1 – Jeu de l’Exercice 4
sous les contraintes
A
y1A + y2A = xA
1 + x2 ,
B
y1B + y2B = xB
1 + x2 .
Calculez la capacité de la coalition de taille 2 en fonction des dotations initiales.
Représentez cette économie dans une Boı̂te d’Edgeworth. Identifiez dans la Boı̂te
d’Edgeworth les dotations finales qui procurent à chaque joueur plus que ce que lui
procure sa dotation initiale.
Jeux sous forme stratégique
Exercice 6 - Déterminez les équilibres de Nash en stratégies pures des jeux donnés
dans le Tableau ci-dessous, pour les différentes valeurs du paramètre σ.
1\2
A
B
a
(σ, σ)
(σ, 0)
b
(0, σ)
(4, 4)
Exercice 7 - Trouvez les équilibres de Nash en stratégies pures et en stratégies
mixtes du jeu ci-dessous.
1\2
A
B
a
(2, 1)
(0, 0)
b
(0, 0)
(1, 2)
c
V.
Dequiedt 2010
3
Exercice 8 - Considérez un jeu de “tir aux buts”. Les deux joueurs sont le gardien
de but et le tireur. Le tireur a le choix entre tirer à droite (action D) ou tirer à
gauche (action G) ; le gardien de but a le choix entre plonger à droite (action d)
et plonger à gauche (action g). Le gardien arrête le tir lorsqu’il plonge du côté du
tir, sinon le tireur marque. Les gains du gardien sont 1 s’il arrête le tir et 0 sinon.
Les gains du joueur sont 1 s’il marque et 0 sinon. Représentez ce jeu sous forme
stratégique. En déterminer le ou les équilibre(s) de Nash.
Exercice 9 - Considérez une situation concurrentielle à la Cournot entre 2 entreprises. Chaque entreprise produit la quantité qi à un coût marginal constant égal à
c > 0 et possède une capacité de production bornée par q̄, pris suffisamment grand.
La demande du marché est supposée donnée par la fonction de demande inverse
P
p = a − Q si Q ≤ a et p = 0 sinon, où Q = 2i=1 qi et a > c. Le profit de chaque
entreprise est donné par
πi (qi , q−i ) = p(Q)qi − cqi .
Appliquez la procédure d’élimination itérée des stratégies strictement dominées à ce
jeu. Montrer que cette procédure converge vers l’unique équilibre de Nash.
Exercice 10 - La Figure 2 représente un même jeu sous forme extensive et sous
forme stratégique. Montrez qu’il existe un ordre de suppression des stratégies faiblement dominées aboutissant au profil sélectionné par la procédure de rétroduction.
Montrez qu’il existe un autre ordre de suppression des stratégies faiblement dominées
qui élimine ce même profil.
1
a
A
2
c
1
1\2
A
B
(a, c)
(2, 0)
(1, 1)
(a, d)
(0, 2)
(1, 1)
(b, c)
(3, 3)
(3, 3)
(b, d)
(3, 3)
(3, 3)
d
B
b
3
3
2
0
1
1
0
2
Figure 2 – Forme extensive et forme stratégique associée