Jeux et Sémantique - LIX

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Jeux et Sémantique
Samuel Mimram
Laboratoire PPS, CNRS – Univ. Paris Diderot
Journée Théorie des Jeux et Informatique
18 février 2009
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Origines de la sémantique des jeux
Précurseurs :
• Lorenzen [Lor61],
prouvabilité
⇔
existence d’une stratégie sur le jeu associé
∀x.∃y .P
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Origines de la sémantique des jeux
Précurseurs :
• Lorenzen [Lor61],
• Conway, Joyal [Joy77].
Des modèles complets de (fragments de) logique linéaire :
• Abramsky, Jagadeesan [AJ94],
• Hyland, Ong [HO93].
Des modèles pleinement adéquats de PCF :
• Abramsky, Jagadeesan, Malacaria [AJM00],
• Hyland, Ong [HO00, Nic94].
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Comment donner une description abstraite de
ce que calculent les programmes ?
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Sémantique
sémantique
=
interprétation mathématique abstraite
des programmes / des preuves
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Sémantique dénotationnelle
sémantique
=
interprétation mathématique abstraite
des programmes / des preuves
sémantique dénotationnelle
=
invariants du calcul
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Modèle
Modèle d’un langage de programmation :
• un type A est interprété par un « espace de calcul » JAK,
• un programme f : A → B est interprété par une « fonction »
Jf K : JAK → JBK.
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Modèle dénotationnel
Jf K : JAK → JBK.
f
/o /o o/ / Jf K
β
f 0 /o /o o/ / Jf 0 K
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Modèle dénotationnel
Jf K : JAK → JBK.
f
/o /o o/ / Jf K
β
f 0 /o /o o/ / Jf 0 K
Sémantiques de jeux :
• les types sont interprétés par des jeux,
• les programmes sont interprétés par des stratégies.
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Sémantiques de jeux
Les sémantiques de jeux modélisent le comportement interactif des
programmes.
fun x → not x
:
(fun x → not x)true
(fun x → not x)false
int ⇒ int
false
true
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Le langage PCF
PCF est un langage
• fonctionnel,
• avec des valeurs de base : booléens et entiers,
• avec des constructions pour manipuler ces valeurs :
if
then
else, +, etc.
• avec une construction de point fixe,
• simplement typé.
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Un modèle pleinement adéquat de PCF
Deux termes M et N sont extensionnellement équivalents
(M ≈ N) lorsque pour tout contexte C [−],
C [M] ⇓ v
ssi
C [N] ⇓ v
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Un modèle pleinement adéquat de PCF
Deux termes M et N sont extensionnellement équivalents
(M ≈ N) lorsque pour tout contexte C [−],
C [M] ⇓ v
C [N] ⇓ v
ssi
Modèle pleinement adéquat de PCF :
M≈N
ssi
JMK = JNK
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Définissabilité
Un élément f : JAK est définissable lorsqu’il existe M : A tel que
f
=
JMK
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Sémantiques de jeux HO
Les jeux
Une arène
(M, `, λ, λ0 )
est constituée
• d’un ensemble de coups M
• d’une relation binaire ` exprimant les dépendances causales
• d’une polarisation des coups λ : M → {O, P}
• d’une fonction λ0 : M → {Q, A}
B
=
V

q?
?
??
??
?
F
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Les jeux
Le jeu B × B :
V

q?
?
??
??
?
F
V

q?
?
??
??
?
F
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Les jeux
Le jeu B ⇒ B :
V

q>
>
V
>>
>>
>

q?
?
??
??
?
F
F
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Les jeux
Le jeu B ⇒ B :
V
jq
jjjj ???
j
j
j
??

jjjj
??
jjjj

j
j

j
j
j
j
q
V
F
>>>

>
>>

>

F
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Les stratégies
Une partie s dans une arène A est une suite pointée de coups
s
=
m1
x
· · · mi
w
· · · mj
· · · m2n
• alternée,
• de longueur paire,
• telle que si mj pointe sur mi alors mi `A mj .
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Les stratégies
Une partie s dans une arène A est une suite pointée de coups
s
=
m1
x
· · · mi
w
· · · mj
· · · m2n
• alternée,
• de longueur paire,
• telle que si mj pointe sur mi alors mi `A mj .
Une stratégie est un ensemble non vide de parties, clos par préfixe
de longueur paire.
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La stratégie not :
B
⇒
B
{ε}
14 / 35
⇒
B
B
q
q
{ ε,
q·q }
14 / 35
⇒
B
B
q
q
V
F
{ ε,
q · q,
q·q·V ·F }
14 / 35
B
⇒
B
q
q
F
V
{ ε,
q · q,
q · q · V · F,
q·q·F ·V }
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fun x → if x then not x else not x
B
⇒
B
q
q
V
q
V
F
15 / 35
B
⇒
B
q
q
F
q
V
F
15 / 35
B
⇒
B
q
q
V
q
F
V
15 / 35
B
⇒
B
q
q
F
q
F
V
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Catégories de jeux
Les stratégies ne cherchent pas à gagner.
En revanche, on veut avoir une notion de composition qui reflète
celle du langage modélisé.
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Composition
Composition parallèle
Composition de not avec not :
B
/B
B
/B
q
q
F
V
17 / 35
Composition
B
/B
B
/B
q
q
V
F
17 / 35
Composition
B
/B
B
/B
q
q
q
F
F
q
V
V
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Composition
Composition parallèle + masquage.
B
/B
q
q
V
V
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Stratégie identité (copycat)
B
⇒
B
18 / 35
B
⇒
B
q
q
18 / 35
B
⇒
B
q
q
V
V
18 / 35
B
⇒
B
q
q
F
F
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Comment caractériser les stratégies définissables
par des termes de PCF ?
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Déterminisme
Définition
Une stratégie σ : A est déterministe lorsque
s ·m ∈σ
et
s · m0 ∈ σ
implique m = m0
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Déterminisme
Définition
Une stratégie σ : A est déterministe lorsque
s ·m ∈σ
et
s · m0 ∈ σ
implique m = m0
Contre-exemple : la stratégie σ : B définie par
σ
=
{ ε, q · F , q · V }
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Innocence
Définition
Une stratégie σ : A est innocente lorsqu’elle joue en n’ayant
qu’une mémoire partielle de son passé : sa vue.
s ·m ∈σ
et
psq = ptq
implique t · m ∈ σ
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Innocence
er
1 contre-exemple
fun f → · · · f
(B
⇒
B)
···
⇒
B
q
q
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Innocence
er
1 contre-exemple
fun f → · · · f true · · ·
(B
⇒
B)
⇒
B
q
q
q
V
22 / 35
Innocence
er
1 contre-exemple
fun f → · · · f ? · · ·
(B
⇒
B)
⇒
B
q
q
q
V
q
F
22 / 35
Innocence
er
1 contre-exemple
fun f → · · · f ? · · ·
(B
⇒
B)
⇒
B
q
q
q
V
q
22 / 35
Innocence
e
2 contre-exemple
(B
⇒
B)
⇒
B
q
q
23 / 35
Innocence
e
2 contre-exemple
(B
⇒
B)
⇒
B
q
q
b
V
23 / 35
Innocence
e
2 contre-exemple
(B
⇒
B)
⇒
B
q
q
24 / 35
Innocence
e
2 contre-exemple
(B
⇒
B)
⇒
B
q
q
q
V
24 / 35
Innocence
e
2 contre-exemple
(B
⇒
B)
⇒
B
q
q
q
V
b
F
24 / 35
Innocence
e
2 contre-exemple
(B
⇒
B)
⇒
B
q
q
q
V
b
24 / 35
Innocence
Définition
Pour toute partie s, la vue psq de s est définie inductivement par
ps · mq = psq · m
si m est un coup Joueur
ps · m · t · nq = ps · mq · n si n est un coup Opposant pointant sur m
ps · mq = m
si m est un coup Opposant initial
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Innocence
e
2 contre-exemple
(B
⇒
B)
⇒
B
q
q
q
V
V
F
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Catch
La stratégie catch :
(B
⇒
B)
⇒
B
(B
⇒
B)
q
q
⇒
B
q
q
q
?
V
F
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Bon parenthésage
Définition
Une stratégie σ : A est bien parenthésée si toute réponse m du
Joueur dans une partie s · m pointe vers la question pendante
de psq.
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Théorème (HON 94)
Le modèle des stratégies déterministes, innocentes et bien
parenthésées est pleinement adéquat pour PCF.
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Parenthésage et innocence
Stratégies
visibles + déterministes + bien parenthésées + innocentes
≈
programme PCF
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Stratégies
visibles + déterministes + bien parenthésées
≈
programme PCF + références
(B
⇒
B)
⇒
B
q
q
q
V
q
F
fun f → x := 0 ; · · · f (incr x ; x == 1) · · ·
30 / 35
Stratégies
≈
programme PCF
30 / 35
Stratégies
≈
λ-termes simplement typés = preuve intuitionniste
30 / 35
Stratégies
+ innocentes
visibles + déterministes
≈
λµ-termes simplement typés = preuve classique
A∨B
G
q KK
KKK
ss
s
s
K
ss
D
A
B
..
.
..
.
30 / 35
Stratégies
+ innocentes
≈
⊥
q⊥
30 / 35
Stratégies
+ innocentes
≈
¬A
A⇒⊥
=
q⊥
A∗
..
.
30 / 35
Stratégies
+ innocentes
≈
A ∨ ¬A
G
qL
ss LLLL
s
s
LL
ss
D
A
q⊥
..
.
A∗
..
.
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Stratégies
+ innocentes
≈
programme PCF + contrôle
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Stratégies
≈
programme PCF + contrôle + références
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Applications
• permet de mieux comprendre le comportement interactif des
programmes et des preuves,
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Applications
• permet de mieux comprendre le comportement interactif des
programmes et des preuves,
• model-checking et interprétation abstraite :
[GM03] lorsque les types sont au plus du second ordre,
• les pointeurs ne sont pas nécessaires,
• les stratégies peuvent être décrites par des langages réguliers,
• l’équivalence est décidable sur un alphabet fini. . .
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Merci !
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Bibliographie I
S. Abramsky and R. Jagadeesan.
Games and Full Completeness for Multiplicative Linear Logic.
The Journal of Symbolic Logic, 59(2) :543–574, 1994.
S. Abramsky, R. Jagadeesan, and P. Malacaria.
Full abstraction for PCF.
Information and Computation, 163(2) :409–470, 2000.
D.R. Ghica and G. McCusker.
The regular-language semantics of second-order idealized
ALGOL.
Theoretical Computer Science, 309(1-3) :469–502, 2003.
J.M.E. Hyland and C.H.L. Ong.
Fair games and full completeness for multiplicative linear logic
without the mix-rule.
preprint, 190, 1993.
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Bibliographie II
M. Hyland and L. Ong.
On Full Abstraction for PCF : I, II and III.
Information and Computation, 163(2) :285–408, December
2000.
A. Joyal.
Remarques sur la théorie des jeux à deux personnes.
Gazette des Sciences Mathématiques du Quebec, 1(4) :46–52,
1977.
P. Lorenzen.
Ein dialogisches Konstruktivitatskriterium.
Infinitistic Methods, pages 193–200, 1961.
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Bibliographie III
H. Nickau.
Hereditarily sequential functionals.
In A. Nerode and Yu. V. Matiyasevich, editors, Proceedings of
the Symposium on Logical Foundations of Computer Science :
Logic at St. Petersburg, volume 813 of Lecture Notes in
Computer Science, pages 253–264. Springer Verlag, 1994.
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