Variables aléatoires discr`etes

Filière E
Denis Pasquignon
Variables aléatoires discrètes
Résumé du cours :
1. Definition d’une variable aléatoire discrète
• Soit (Ω, A) un espace probabilisable, une application X de Ω dans R est une variable
aléatoire discrète si l’ensemble des valeurs prises X(Ω) peut être indexé par une partie de
N : X(Ω) = {xi }i∈I où I ⊂ N et si pour tout i ∈ I, l’ensemble [X = xi ] est un événement
cad [X = xi ] ∈ A.
• On distingue les variables aléatoires discrètes finies et infinies pour lesquelles I est finie ou
non.
• Loi d’une variable aléatoire discrète
Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète, on dit que l’on
connait la loi de X si l’on connait
– X(Ω) = {xi , i ∈ IN },
– pour tout xi ∈ X(Ω) pi = P (X = xi ).
2. Espérance d’une variable aléatoire discrète
• Définitions
– si X(Ω) est fini et (xi , pi )1≤i≤n la loi de X, alors l’espérance de X est E(X) =
X
pi xi .
1≤i≤n
– si X(Ω) est infini et (xi , pi )i∈IN la loi de X, alors X admet une espérance si la série
de terme X
général (pi xi ) est absolument convergente. Dans ce cas l’espérance de X est
E(X) =
p i xi .
i∈IN
• si X = a, alors E(X) = a. ∀A ∈ A, E(1A ) = P (A).
• linéarité, positivité, croissance.
• Théorème de transfert La variable aléatoire Y = g(X) admet une espérance si et seulement si la série
X de terme général g(xi )P (X = xi ) est absolument convergente; on a alors
g(xi )P (X = xi ).
E(g(X)) =
i∈I
3. Variance d’une variable aléatoire discrète
• Définitions la variance de X est V (X) = E((X − E(X))2 ).
L’écart type est la racine carré de la variance.
• Koenig Huygens V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X))2
• La variance si elle existe est positive, quadratique et V ar(X + µ) = V ar(X) pour tout réel
µ.
• Les moments d’ordre r. Existence.
4. Lois usuelles
• Lois finies
–
–
–
–
loi
loi
loi
loi
uniforme sur {1, · · · , n}.
de Bernoulli: B(1, p).
Binomiale : B(n, p).
Hypergéométrique : H(N, n, p).
• infinie
– loi géométrique associée au premier succès : G(p).
– loi Binomiale négative associée au rième succès.
– loi de Poisson associée au comptage de phénomènes rares: P(λ).
1
Exercice 1 Une urne contient trois jetons numérotés a, b, c. On tire un premier jeton, on le remet dans
l’urne, puis on tire un second jeton. Soit X la variable aléatoire égale au produit des deux numéros
obtenus.
Déterminer la loi de X lorsque :
1. a = 1, b = 2, c = 3 ;
2. a = −1, b = 0, c = 1.
Exercice 2 Dans une urne contenant N boules dont une proportion p de boules vertes (0 < p < 1),
on tire n boules (n ≥ 1). Soit X le nombre de boules vertes obtenues dans l’échantillon. Déterminer la
loi de X dans les cas suivants :
1. les n boules sont tirées en une seule fois,
2. les n boules sont tirées une à une sans remise,
3. les n boules sont tirées une à une avec remise.
Exercice 3 Une boite contient 2n cartes. Sur chaque carte est représentée l’une des 2n parties d’un
ensemble à n éléments. On tire une carte au hasard, et on appelle X la variable aléatoire égale au
cardinal de la partie tirée. Déterminer la loi de X, et donner sans calcul son espérance et sa variance.
Exercice 4 Soit X une variable aléatoire suivant une loi binômiale de paramètres n et p. Un compteur
affiche les valeurs prises par X de la façon suivante :
• si X(ω) 6= 0, le compteur affiche correctement la valeur X(ω).
• si X(ω) = 0, le compteur affiche n’importe quoi, au hasard, entre 1 et n.
Soit Y la v.a. égale au nombre affiché par le compteur. Donner la loi de Y et son espérance.
Exercice 5 Une entreprise recrute un informaticien, n candidats se présentent dans un ordre aléatoire.
Chacun d’eux passe un test, et le premier qui y satisfait est engagé. La probabilité qu’a un candidat
de réussir le test est p.
1. On définit la v.a. X par : X = k si le kième candidat qui se présente est engagé, et X = n + 1
si aucun candidat ne fait l’affaire. Donner la loi de X, et son espérance.
2. On décide d’aménager le test afin d’avoir plus de 50% de chances d’engager un candidat. Quelle
condition cela impose-t-il sur p?
Exercice 6 Une boite B1 contient 2 boules rouges et 3 blanches. Une autre boite B2 contient 1 boule
rouge et 4 noires. On choisit une boite au hasard et on y effectue n tirages successifs avec remise. Soit
X (resp. Y ) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges (resp. blanches) tirées. Déterminer
la loi de X, son espérance, sa variance. Même question pour Y .
Exercice 7 Une urne contient n boules noires et n blanches. Soit X la variable aléatoire égale au
nombre de tirages nécessaires pour extraire la dernière boule blanche (tirages successifs d’une boule
sans remise).
Déterminer la fonction de répartition de X, puis sa loi et son espérance.
Exercice 8 Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0, 1, 2, · · · de gauche à droite. Une
puce se déplace vers la droite de une ou deux cases au hasard à chaque saut. Au départ, elle est sur la
case 0. Soit Xn la variable aléatoire égale au numéro de la case occupée par la puce après n sauts.
1. Déterminer la loi de X1 , son espérance et sa variance.
2. Soit Yn la variable aléatoire égale au nombre de fois où la puce a sauté d’une case au cours des
n premiers sauts. Déterminer la loi de Yn , E(Yn ) et V (Yn ).
3. Calculer Xn en fonction de Yn . En déduire la loi de Xn , E(Xn ) et V (Xn ).
Exercice 9 Le nombre de clients se présentant en 1 heure à un guichet suit une loi de Poisson P (λ)
(λ > 0).
1. Soit E l’événement ”il y a un nombre pair de clients” (0 est pair) et F l’événement ”il y a un
nombre impair de clients”. Comparer P (E) et P (F ). (Indication : poser a = P (E) et b = P (F ),
et calculer a + b et a − b)
2
2. On suppose maintenant λ = 5.
(a) Quel est le nombre moyen de clients par heure ?
(b) Quel est le nombre de clients le plus probable ?
(c) Quelle est la probabilité que le nombre de clients soit au moins égal au nombre moyen de
clients ?
Exercice 10 Soit X une v.a. à valeurs dans N , telle que :
∀n ∈ N ∗ , P (X = n) =
3
P (X = n − 1).
n
Déterminer la loi de X, et donner sans calcul son espérance et sa variance.
Exercice 11 Un rat de laboratoire est soumis à l’expérience suivante : il est enfermé dans une cage
comportant quatre portes, derrière lesquelles se trouve un morceau de gruyère. Trois des quatre portes
sont munies d’un dispositif envoyant au rat une décharge électrique s’il essaye de les franchir ; la
quatrième laisse le passage libre.
1. Soit X la variable aléatoire égale au nombre d’essais effectués par le rat jusqu’à ce qu’il trouve
la bonne porte. Donner la loi de X dans les cas suivants :
(a) Si le rat n’a aucune mémoire : il recommence ses tentatives sans tenir compte de ses échecs
passés.
(b) Si le rat a une mémoire immédiate : il ne tient compte que de l’échec qui précède immédiatement
sa nouvelle tentative.
(c) Si le rat a une bonne mémoire : il élimine les portes où il a eu des échecs.
2. Quel est le nombre moyen d’essais effectués dans chaque cas par le rat pour arriver au but ?
Exercice 12
1. Pour λ réel, calculer a =
+∞
X
λ2k
k=0
(2k)!
et b =
+∞
X
λ2k+1
k=0
(2k + 1)!
en fonction de eλ .
2. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0. On définit la
variable aléatoire Y par : ∀ω ∈ Ω, Y (ω) = X(ω)
si X(ω) est pair et Y (ω) = 0 sinon.
2
Déterminer la loi de Y , son espérance et sa variance (pour la variance, on commencera par
calculer E[2Y (2Y − 1)]).
Exercice 13 Une urne contient des boules, dont une proportion p de boules blanches (0 < p < 1), les
autre boules étant rouges. On tire les boules une à une avec remise.
1. Soit Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues au cours des n premiers
tirages. Quelle est la loi de Xn ? Calculer E(Xn ).
2. Soit Yn le rang d’apparition de la nième boule blanche.
Trouver la loi de Y1 , puis celle de Yn .
3. On rappelle l’égalité
+∞
X
i=0
qi =
1
vraie pour |t| < 1. En dérivant (n − 1) fois cette égalité
1−q
terme á terme (on admet ici que c’est possible), vérifier que
+∞
X
P (Yn = i) = 1, puis calculer
i=n
E(Yn ).
4. Pour n ≥ 1 fixé, on note Zn le nombre de boules rouges apparues avant la nième boule blanche.
Ecrire Zn en fonction de Yn . En déduire la loi de Zn , ainsi que son espérance.
Exercice 14 Soit X une variable aléatoire à valeurs entières. Soit pour tout entier n, pn = P (X = n).
On suppose que la suite (pn ) satisfait à la relation de récurrence : 3pn+2 = 4pn+1 − pn . Trouver la loi
de X et son espérance.
Exercice 15 Egalité de Van der Monde :
Soient n, a, b trois entiers naturels tels que n ≤ a + b.
3
1. En écrivant que (x + 1)a+b = (x + 1)a (x + 1)b , montrer que :
a+b
n
=
n X
a
b
k=0
n−k
k
2. Application : si X suit la loi hypergéométrique H(N, n, p), vérifier que l’on a bien
n
X
P (X =
k=0
k) = 1, puis calculer E(X) et V ar(X).
Exercice 16 Soit X une variable aléatoire discrète. Montrer que pour tout réel a , on a : E[(X −a)2 ] =
V ar(X) + [E(X) − a]2 . En déduire que la fonction : a → φ(a) = E[(X − a)2 ] a un minimum. Quel est
ce minimum et pour quelle valeur de a est-il atteint ?
1. Soit X une variable aléatoire positive telle que E(X) = 0.
On pose pour tout n ≥ 1, An = [X > 1/n] et A = [X > 0].
Montrer que :
1
1A ≤ X
n n
En déduire que P (An ) = 0 puis que P (A) = 0. Que peut-on dire de X ?
2. Soit X une variable aléatoire dont la variance est nulle. Montrer que X est quasi-certaine.
Exercice 17 Soit X une v.a. discrète à valeurs entières, avec pour tout entier i : pi = P (X = i)
On pose
gX (t) = E(tX ) =
+∞
X
p i ti
i=0
(Dans cette somme, le nombre de termes non nuls peut être fini ou non)
gX s’appelle la fonction génératrice de X.
1. Calculer gX (1).
2. On suppose que X est une v.a. finie.
Montrer que gX est une fonction polynı̈¿ 12 me, et que pour tout i :
pi =
g (i) (0)
.
i!
En déduire que la fonction génératrice suffit à caractériser la loi deX.
0
00
0
(1).
(1) et gX
(1), puis calculer var(X) en fonction de gX
Montrer que E(X) = gX
Application :
Retrouver l’espérance et la variance d’une v.a. binomiale B(n, p) à partir de sa fonction génératrice.
3. On suppose maintenant que X est une v.a. dénombrable. Montrer que gX (t) est la somme d’une
série, définie au moins pour |t| ≤ 1. On admet que les résultats du b) restent vrais dans le cas
dénombrable. Calculer la fonction génératrice d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson
P (λ) et retrouver ainsi son espérance et sa variance. Même question pour une variable aléatoire
suivant une loi géométrique G(p). On précisera dans chaque cas pour quelles valeurs de t gX (t)
existe.
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