Exercice 1 - Alexandre Lourme

L2 Eco Proba-Stat
2016–2017
TRAVAUX DIRIGÉS 2
Exercice 1 :
On place un hamster dans une cage. Il se trouve face à 5 portillons dont un seul
lui permet de sortir de la cage. A chaque essai infructueux, il reçoit une décharge
électrique et on le replace à l’endroit initial.
(a) En supposant que le hamster ne soit pas doué d’apprentissage et qu’il choisisse
donc de façon équiprobable entre les 5 solutions à chaque nouvel essai, déterminer
la probabilité des évènements :
i. le hamster sort au premier essai,
ii. le hamster sort au troisième essai,
iii. le hamster sort au septième essai.
(b) Le hamster mémorise maintenant les essais infructueux et choisit de façon équiprobable
entre les portillons qu’il n’a pas encore essayés. On désigne par X la variable
aléatoire égale au nombre d’essais effectués.
i. Quelles valeurs peut prendre X ? Déterminer sa loi de probabilité.
ii. Déterminer l’espérance mathématique E[X] : interpréter le résultat.
iii. Déterminer la variance V ar(X).
Exercice 2 :
On choisit au hasard 2 numéros distincts de l’ensemble {−2, −1, 0, 1, 2}. Soit X la
variable aléatoire réelle égale au produit de ces 2 numéros.
(a) Déterminer l’univers Ω.
(b) Déterminer la loi de X.
(c) Déterminer la fonction de répartition de X.
(d) Calculer E[X].
Exercice 3 :
Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques cylindriques pour
l’industrie. Leur longueur et leur diamètre sont exprimés en millimètres. Dans un lot,
3% des tiges ne sont pas conformes pour la longueur. On prélève au hasard 50 tiges
de ce lot pour vérification. Le lot est suffisamment important pour que l’on puisse
assimiler ce prélèvement à des tirages avec remise. Soit la variable aléatoire réelle X
qui, à tout prélèvement de 50 tiges, associe le nombre de tiges non conformes pour la
longueur.
(a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
(b) Calculer la probabilité qu’au plus 2 tiges ne soient pas conformes pour la longueur.
(c) Montrer que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson dont on
déterminera le paramètre.
(d) Calculer la probabilité approchée que le nombre de tiges non conformes soit égale
à 2, puis la probabilité approchée que le nombre de tiges non conformes soit au
plus égale à 2.
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Exercice 4 :
Dans une bibliothèque se trouvent 10 livres en langue étrangère : 5 en anglais, 2
en allemand et 3 en russe. On prélève au hasard 5 de ces livres. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de volumes en russe prélevés.
Déterminer la loi de probabilité, puis la fonction de répartition de X et représenter
celle-ci.
Exercice 5 :
A l’arrivée d’une course, il y a 9 chevaux: 4 noirs et 5 blancs. On appelle X la v.a.r.
égale au nombre de chevaux blancs précédant le premier cheval noir. Déterminer la
loi de X, son espérance et sa variance.
Exercice 6 :
Un industriel doit vérifier l’état de marche de ses machines et en remplacer certaines le
cas échéant. D’après des statistiques précédentes, il évalue à 30% la probabilité pour
une machine de tomber en panne en 5 ans ; parmi ces dernières, la probabilité de
devenir hors d’usage suite à une panne plus grave est évaluée à 75% ; cette probabilité
est de 40% pour une machine n’ayant jamais eu de panne.
(a) Quelle est la probabilité pour une machine donnée de plus de cinq ans d’être hors
d’usage ?
(b) Quelle est la probabilité pour une machine hors d’usage de n’avoir jamais eu de
panne auparavant ?
(c) Soit X la variable aléatoire ”nombre de machines qui tombent en panne au bout
de 5 ans, parmi 10 machines choisies au hasard”. Quelle est la loi de probabilité
de X, (on donnera le type de loi et les formules de calcul), son espérance, sa
variance et son écart-type ?
(d) Calculer P(X = 5).
Exercice 7
Un QCM comporte 5 affirmations. Pour chaque affirmation, on doit répondre par vrai
(V ) si l’affirmation est toujours vraie, faux (F ) si elle est toujours fausse ou par (P )
si on ne peut pas conclure. Une réponse au QCM est une suite de 5 lettres parmi V ,
F ou P .
(a) Quel est le nombre de réponses possibles pour le QCM ?
(b) Le nombre de réponses comprenant exactement 3 V est-il égal à C53 ?
(c) On décide d’attribuer 2 points pour chaque réponse exacte. Combien de points
doit-on retirer par réponse inexacte pour que le score d’un candidat qui répond
au hasard ait une espérance mathématique nulle ?
(d) Un candidat répond au hasard et on appelle X la variable aléatoire donnant
le nombre de bonnes réponses. Indiquer la loi suivie par X et préciser ses
paramètres et calculer E[X].
Exercice 8 :
On considère le jeu suivant : le joueur lance d’abord un dé non truqué. S’il obtient
1, 2 ou 3, il gagne l’équivalent en euros (c’est-à-dire 1es’il obtient 1, par exemple).
Sinon, il perd 2e. On note X la variable aléatoire correspondant au gain du joueur
(négatif en cas de perte).
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(a) Donnez la loi de X et sa fonction de répartition FX .
(b) Calculez l’espérance de X.
(c) Calculez la variance de X.
On modifie le jeu de la façon suivante : les gains restent les mêmes pour les résultats
1, 2 ou 3, mais si le joueur obtient autre chose, il relance le dé. S’il obtient 3 ou moins,
il gagne 3e, sinon il perd 5e.
(d) Décrivez formellement l’univers du nouveau jeu.
(e) Donnez la loi de Y (qui désigne de nouveau le gain du joueur) et calculez son
espérance.
(f) Quelle variante du jeu est la plus avantageuse pour le joueur ?
Exercice 9 :
Un électricien achète des composants par paquets de 10. Sa technique de contrôle est
de n’examiner que 3 composants, tirés au hasard dans le paquet, et de n’accepter le
lot des 10 que si les 3 composants examinés sont sans défaut. Si 30% des paquets
contiennent 4 composants à malfaçon tandis que 70% restants n’en contienne qu’un,
quelle proportion des paquets notre électricien rejettera-t-il ?
Exercice 10 :
Lorsque la pièce 1 est lancée, elle tombe sur face avec une probabilité de 0, 4, quand
la pièce 2 est lancée, elle tombe sur face avec une probabilité de 0, 7. L’une de ces
pièces est choisi au hasard et lancée 10 fois.
(a) Quelle est la probabilité que la pièce tombe sur face exactement 7 des 10 lancers?
(b) Étant donné qu’aux trois premiers lancer on obtient face, quelle est la probabilité
conditionnelle qu’exactement 7 des 10 lancers tombent sur face?
Exercice 11 :
Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette
dans une cible ayant la forme suivante
B
R
B
V
B
V
B
J
B
J
B
J
B
B
B
B
B
B
J
B
J
B
J
B
V
B
V
B
R
B
La fléchette atteint toujours une case et une seule. Les 30 cases blanches (B), jaunes
(J), vertes (V) ou rouges (R) ont toutes la même probabilité d’être atteintes. Si la
fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros, si la fléchette atteint une case
verte, le joueur gagne 5 euros, si la fléchette atteint une case jaune, le joueur gagne
rien et ne perd rien, si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd a euros, la
lettre a désignant un réel positif.
(a) On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté
négativement quand il perd).
i. Donner la loi de probabilité de X.
ii. Calculer a pour que le jeu soit équitable (c’est-à-dire pour que E[X] soit
nulle).
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(b) Un joueur est considéré comme gagnant s’il a obtenu un gain strictement positif.
i. Quelle est la probabilité p qu’un joueur gagne ?
ii. Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes. Quelle est la probabilité qu’il gagne exactement 2 fois ? exactement 5 fois ? Quel est le nombre
moyen de parties gagnantes ?
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