Probl`eme 1 [2p] On joue au loto avec 10 boules. Combien y-a

Problème 1 [2p] On joue au loto avec 10 boules. Combien y-a-t-il de grilles
possibles s’il faut cocher 4 cases ?
4 = 210
Il faut choisir 4 cases parmi 10 et l’ordre ne compte pas. Il y a donc C10
grilles possibles.
Problème 2 [2p] On joue à pile ou face avec une pièce non truquée. Sur
10 lancers, quelle est la probabilité d’avoir 4 fois pile ?
Il faut choisir 4 lancers parmi 10 et l’ordre ne compte pas. De plus, la pièce
étant non truquée, il y a une probabilité de 12 qu’elle tombe sur pile. D’où
10−4
210
1 4
4
1 − 12
= 1024
≈ 0, 205
p = C10
2
Problème 3 [3p] On dispose d’un jeu de 32 cartes ordinaire. On choisit 5
cartes dans ce jeu.
1. Quelle est la probabilité d’avoir un brelan d’as (3 as)?
2. Quelle est la probabilité d’avoir une couleur (5 cartes de la même
couleur) ?
1. Il faut avoir 3 as (parmi 4) et 2 autres cartes (parmi 28):
p=
2
C43 C28
27
4 × 378
=
≈ 0, 0075
=
5
201376
3596
C32
2. Il faut avoir 5 cartes (parmi 4) et il y a 4 couleurs:
p=
1
4C85
4 × 56
=
≈ 0, 00111
=
5
201376
899
C32
Problème 4 [4p] On dispose de deux urnes, désignées respectivement par
les lettres A et B. L’urne A contient 6 boules bleues et 3 rouges. L’urne B
contient 4 boules bleues et 4 rouges. On tire une boule dans chaque urne.
1. Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ?
2. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge et une boule bleue ?
1. Il faut sortir 1 boule rouge dans l’urne A et une boule rouge dans l’urne
C1
C1
B: p = C31 × C41 = 39 × 84 = 16 ≈ 0, 1667
9
8
2. Il y a deux manières de tirer une boule rouge et une boule bleue:
(a) On tire une boule rouge dans l’urne A et une boule bleue dans
C1
C1
l’urne B: p = C31 × C41 = 39 × 48 = 16
9
8
(b) On tire une boule bleue dans l’urne A et une boule rouge dans
C1
C1
l’urne B: p = C61 × C41 = 69 × 48 = 26
9
8
On a donc une probabilité de
une boule bleue.
1
6
+
2
6
=
1
2
de tirer une boule rouge et
Problème 5 [6p] Une population est composé de 47% d’hommes et de 53%
de femmes. On suppose que 24 % des hommes et que 34 % des femmes ont
les yeux verts. On choisit une personne au hasard.
1. Quelle est la probabilité qu’elle ait les yeux verts ?
2. Quelle est la probabilité qu’elle ait les yeux verts sachant que c’est un
homme ?
3. Quelle est la probabilité qu’elle soit une femme sachant qu’elle n’a pas
les yeux verts ?
On a le tableau suivant:
homme
femme
yeux verts
0, 47 × 0, 24 = 0, 1128 0, 53 × 0, 34 = 0, 1802 0, 2930
yeux pas verts 0, 47 × 0, 76 = 0, 3572 0, 53 × 0, 66 = 0, 3498 0, 707
0, 47
0, 53
1
On peut maintenant répondre aux questions:
1. p(yeux verts) = 0, 293
2. On a
p( yeux verts / homme ) =
p( homme aux yeux verts)
0, 1128
=
= 0, 24
p(homme)
0, 47
3. On a
p( femme / pas yeux verts ) =
p( femme aux yeux pas verts)
0, 3498
=
≈ 0, 4947
p(pas yeux verts)
0, 707
Problème 6 [3p] Dans un atelier, le nombre d’accidents au cours d’une
année suit une loi de Poisson de paramètre 5. Quelle est la probabilité qu’il
y ait 3 accidents ou plus ?
Soit X le nombre d’accidents. On a
P (X ≥ 3) = 1 − P (X < 3)
= 1 − (P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2))
0
5 −5 51 −5 52 −5
e + e + e
= 1−
0!
1!
2!
≈ 1 − (0, 006738 + 0, 03369 + 0, 08422)
≈ 1 − 0, 12465 = 0, 87535