On dispose de deux urnes et d`un dé cubique bien équilibré dont les

T4. Correction du Ds2.
Exercice 1 (8 points)
On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de
1 à 6.
L’urne U1 contient trois boules rouges et une boule noire.
L’urne U2 contient trois boules rouges et deux boules noires.
Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au
hasard une boule dans l’urne U1 , sinon il tire au hasard une boule dans l’urne U2 .
On considère les évènements suivants :
A : ≪ obtenir 1 en lançant le dé ≫
B : ≪ obtenir une boule noire ≫.
1. (a) Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience
aléatoire.
1
4
B
1
A
6
B
3
4
2
5
5
6
B
A
3
5
B
(b) Montrer que la probabilité d’obtenir une boule noire est
A et A forment une partition de Ω.
D’après la loi des probabilités totales :
3
.
8
P (B) = P (A) × PA (B) + P A × PA (B)
1 1 5 2
=
× + ×
6 4 6 5
1
1
+
=
24 3
8
1
+
=
24 24
9
=
24
3
=
8
3
.
8
(c) Sachant que l’on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d’avoir obtenu 1 en
lançant le dé.
1 1
×
8
1
P (A ∩ B)
1
= 6 3 4 =
× = .
PB (A) =
P (B)
24 3
9
8
La probabilité d’obtenir une boule noire est de
Sachant qu’on a tiré une boule noire, la probabilité d’avoir obtenu 1 au lancer du dé est
1
de .
9
2. On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne
joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans
l’urne d’où elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties
gagnées.
(a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Comme on remet la boule tirée dans l’urne d’où elle vient après chaque partie, la
3
probabilité d’obtenir la boule noire reste à chaque partie.
8
On a donc une répétition indépendante de 10 épreuves de Bernoulli de même pa3
ramètre p = .
8
La variable X qui compte
le nombre de succés (nombre de boules noires) suit donc
3
la loi binomiale B 10;
.
8
(b) Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat
arrondi au millième.
3 7
3
10
5
×
P (X = 3) =
×
≈ 0, 236.
3
8
8
La probabilité de gagner exactement 3 parties est d’environ 0,236.
(c) Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi
au millième.
10
5
≈ 0, 991.
P (X > 1) = 1 − P (X = 0) = 1 −
8
La probabilité de gagner au moins une partie est d’environ 0,991.
(d) On donne le tableau suivant :
k
P (X < k)
1
0,009 1
2
0,063 7
3
0,211 0
4
0,446 7
5
0,694 3
6
0,872 5
7
0,961 6
8
0,992 2
9
0,999 0
10
0,999 9
Soit N un entier compris entre 1 et 10. On considère l’évènement : ≪ la personne
gagne au moins N parties ≫.
À partir de quelle valeur de N la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à
1
?
10
On cherche le plus petit entier N tel que
P (X > N) 6 0, 1
1 − P (X < N) 6 0, 1
P (X < N) > 0, 9
D’après le tableau, N = 7.
Exercice 2 (8 points)
1
La suite (un ) est définie par u0 = 1 et pour tout entier n ∈ N, un+1 = un − (un )3 .
3
1. Montrer par récurrence que pour tout entier n ∈ N, un ∈ [0; 1].
1
Indication : on pourra étudier la fonction f définie par f (x) = x − x3 .
3
On va montrer que la fonction possède la propriété suivante :
Si x ∈ [0; 1], alors f (x) ∈ [0; 1]
La fonction f est une fonction polynôme. Elle est donc définie et dérivable sur R.
1
Pour tout x ∈ R, f ′ (x) = 1 − × 3x2 = 1 − x2 = (1 − x)(1 + x).
3
f ′ (x) = 0 si et seulement si (1 − x)(1 + x) = 0, soit (x = −1 ou x = 1).
D’après la propriété sur le signe des fonctions du second degré, f ′ est négative (signe de
a, avec ici a = −1) à l’extérieur des racines, et positive entre les racines.
x
−∞
f ′ (x)
−
0
+∞
1
−1
+
0
−
f (x)
On calcule deux images : f (0) = 0 − 0 = 0, et f (1) = 1 −
x
0
2
1
= .
3
3
1
2/3
f (x)
0
Comme f est croissante sur l’intervalle [0; 1],
2
pour tout x ∈ [0; 1], 0 6 f (x) 6 .
3
Montrons par récurrence que pour tout n ∈ N, un ∈ [0; 1].
Initialisation :
u0 = 1. Donc u0 ∈ [0; 1].
Hérédité :
Soit k ∈ N. Supposons que uk ∈ [0; 1].
2
Alors, d’après l’étude de la fonction f , 0 6 f (uk ) 6 .
3
Donc 0 6 f (uk ) 6 1.
Ainsi, uk+1 = f (uk ) appartient à [0; 1].
Conclusion :
On a montré par récurrence que pour tout n ∈ N, un ∈ [0; 1].
2. Étudier les variations de la suite (un ).
Pour tout n ∈ N,
1
un+1 − un = un − (un )3 − un
3
1
= − (un )3 6 0
3
1
En effet, on a montré que pour tout n > 0, un > 0, et donc − (un )3 6 0.
3
La suite (un ) est décroissante.
Remarque : on pouvait aussi montrer ce résultat par récurrence en utilisant le fait que f
est croissante sur [0; 1].
3. En déduire que (un ) converge et déterminer sa limite.
Comme la suite (un ) est décroissante et minorée par 0, elle converge vers un réel ℓ > 0.
1
1
En passant à la limite dans la relation un+1 = un − (un )3 , il vient ℓ = ℓ − ℓ3 .
3
3
1 3
Donc − ℓ = 0, et ℓ = 0.
3
La suite (un ) converge vers 0.
4. Pour quelles valeurs de n a-t-on un < 0, 2 ?
Comme la suite (un ) est décroissante, il suffit de déterminer le plus petit entier n0 tel que
un0 < 0, 2.
Avec la calculatrice, on trouve n0 = 34 (avec u34 ≈ 0, 1979).
Comme u34 < 0, 2 et la suite décroı̂t, on a un < 0, 2 pour tout n > 34.
Exercice 3 (2 points)
Soient A et B deux événements tels que P (A) ∈]0; 1[ et P (B) ∈]0; 1[.
Montrer que si A et B sont indépendants, alors A et B sont indépendants.
Supposons que A et B soient indépendants.
Cela se traduit par PB (A) = P (A) (ou aussi PA (B) = P (B)).
On va montrer que A et B sont indépendants, soit PB (A) = P (A).
On a toujours PB (A) + PB (A) = 1.
PB (A) = 1 − PB (A)
= 1 − P (A)
= P (A)
En effet, comme A et B sont indépendants, PB (A) = P (A).
Donc PB (A) = P (A).
Les événements A et B sont indépendants.
Exercice 4 (2 points)
(−1)n + 7n
.
Déterminer la limite de la suite (un ) définie par un = n
2 − 5n+1
Pour tout n ∈ N,
(−1)n + 7n
2n− 5n+1
(−1)n
n
+1
7
7n
n
=
2
n
−5
5
5n
n
−1
n
+1
7
7
× n
=
5
2
−5
5
un =
n
7
7
= +∞.
Comme > 1, lim
5
5
n
n
−1
−1
−1
< 1, lim
= 0, et donc lim
+ 1 = 1.
Comme −1 <
7
7
7
n
n
2
2
2
Comme −1 < < 1, lim
= 0, et donc lim
− 5 = −5.
5
5
5
Par produit et quotient, lim un = −∞.