Files d`attente

Files d’attente
M. Petitot
13 septembre 2010
Solution exercice 2.11 (organisme public)
Q1 : M/M/1/∞ avec λ = 8 (clients par Heure) et µ = 24 (clients par Heure).
Q2 : On pose a := µλ , soit a = 1/3. Comme a < 1, la distribution stationnaire existe ;
le probabilité qu’il ait k clients dans le système à un instant donné est πk = (1 − a)ak
(formule du poly).
Q3 : Temps moyen passé par un client
1
1
=
heure.
µ−λ
16
λ
1
2. à attendre dans la file : E(Tq ) =
=
heure.
µ(µ − λ)
48
Q4 : Probabilité qu’il n’arrive aucun client entre 15H et 16H. On sait que le nombre
N de clients arrivant dans le système pendant une unité de temps est une v. a. qui suit
la loi de Poisson, i. e.
λk
Prob {N = k} = e−λ
k!
Pour k = 0, on obtient Prob {N = 0} = exp(−λ) = exp(−8). Pour k = 6, on obtient
λ6
Prob {N = 6} = exp(−λ) .
6!
Q5 : L’employé est inoccupé lorsque le système est dans l’état 0, ce qui correspond à
la probabilité π0 = 1 − a = 2/3, soit en moyenne 40 minutes par heure.
1. dans le système (attente + service) E(T ) =
Q6 : S’il y a quatre usagers dans la file d’attente, il y a 5 clients en tout dans le
système, ce qui correspond à la probabilité π5 = (1 − a)a5 = 326 .
Solution exercice 2.14 p.34 (maternité)
Q1 : C’est une file M/M/s/s où s est le nombre de serveurs, dans notre cas le
nombre N de salles d’accouchement. Notons que s = N est un nombre inconnu puisque
la question est justement de calculer N pour garantir une certaine qualité de service
(voir question 4). On a λ = 24 (clients par jour) et µ = 4 (accouchements par salle). Le
sytème est dans l’état k lorsqu’il y a k salles occupées simultanément (k est un entier
naturel).
Q2 : D’après le cours sur la file M/M/s/s, on a λk = λ et µk = kµ pour tout entier
k ≥ 0.
Q3 : La distribution stationnaire πk est donnée par la formule (voir poly)

N

X

1
an


,
=
π0
n!
n=0


ak

 πk =
π0 , (k ≤ N ).
k!
2
(1)
Q4 : Le sytème est saturé lorsque toutes les salles sont occupées, i.e. lorsque k = N .
D’après la formule précèdente, ceci se produit avec la probabilité
πN =
aN
π0
N!
que l’on note traditionnellement B(N, a) et qui représente la proportion de clients refusés. On connait a := µλ = 6 et l’inconnue est le nombre de salles N . Il faut donc
résoudre l’équation
B(N, a) ≤ 0.01.
On ne peut résoudre cette équation que par ordinateur. On programme une procédure
qui renvoie B(N, a) et on effectue la boucle de calcul
N := 0; a := 6;
while B(N,a) > 0.01 loop
N := N+1;
end loop;
return N;
On trouve N = 9.
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