TES Exercices Probabilités (4). 1. On extrait successivement et sans

TES
Exercices
Probabilités (4).
1. On extrait successivement et sans remise trois boules d’une urne contenant initialement 6 boules
blanches, 4 boules rouges et 2 boules noires.
Quelle est la probabilité que la deuxième boule tirée soit noire dans chacun des cas suivants :
• on sait que la première boule tirée est blanche,
• on sait que la première boule tirée est rouge,
• on sait que la première boule tirée est noire,
• on sait que les deux premières boules tirées sont de la même couleur ?
Quelle est la probabilité que la deuxième boule tirée soit noire ?
Quelle est la probabilité que la troisième boule tirée soit noire dans chacun des cas suivants :
• on sait que les deux premières boules tirées sont blanches,
• on sait que la première boule tirée est rouge et que la deuxième est noire,
• on sait que les deux premières boules tirées sont de la même couleur,
• on sait que les trois boules tirées sont de la même couleur ?
2. On lance une fois un dé à 20 faces numérotées de 1 à 20. On considère les événements A =”le numéro
obtenu est pair”, B =”le numéro obtenu est un multiple de 3”, C =”le numéro obtenu est un multiple
de 5”.
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
Les événements C et B sont-ils indépendants ?
Les événements A et C sont-ils indépendants ?
3. On tire successivement et sans remise six cartes dans un jeu de 52. Quelle est la probabilité d’avoir
au moins un as sachant qu’il n’y a pas de dames parmi les cartes tirées ?
4. Un élève de terminale ES, Benoı̂t M., voudrait s’obliger à travailler chaque jour son cours de math
pendant une heure. En fait, dans un éclair de lucidité, il s’aperçoit que pour un jour j quelconque :
• si il a travaillé la veille (c’est à dire le jour j − 1), il travaillera le jour j avec une probabilité de 12 .
• si il n’ a pas travaillé la veille, il travaillera certainement.
On sait que le premier jour de l’année il a travaillé (très sérieusement).
a. Quelle est la probabilité qu’il travaille le deuxième jour ?, le troisième jour ?, le quatrième jour ?
b. On note Tj l’événement ”Benoı̂t M. a¡ travaillé
le jour j”, où j ∈ {1, 2, 3, 4, · · · , 365}. Établir la
¢
formule reliant P (Tj ) avec P (Tj−1 ) et P Tj−1 (et utilisant des probabilités conditionnelles).
c. On note pj = P (Tj ). Vérifier que pj = 1 − 12 pj−1 .
On voudrait connaı̂tre directement pj , la probabilité que Benoı̂t M. travaille le jour j, sans avoir besoin
de connaı̂tre pj−1 . C’est l’objet des questions suivantes.
d. Pour tout entier n strictement positif, on pose un = pn − 23 . Vérifier que (un )n∈N? est une suite
géométrique de raison − 21 . Soit j un entier > 0 fixé. Exprimer uj en fonction de u1 et de j.
e. En déduire pj en fonction de j. Quelle est la probabilité que Benoı̂t M. ait travaillé son cours de
math le 364ème jour ?