Calcul des probabilités

Calcul des probabilités
1
Rappels de combinatoire
n! = n(n − 1) . . . (2)(1) est appelé n factoriel, pour tout n ∈ N.
Par convention 0! = 1.
n! est le nombre de permutations dans un ensemble à n éléments.
Exemple
On peut disposer de 5! = 120 façons différentes 5 personnes dans une voiture (en supposant
que tous les passagers aient le permis de conduire !)
Problèmes d’urnes
On considère une urne qui contient n boules indiscernables.
a) Tirage ordonné avec remise
On tire p fois une boule en la remettant à chaque fois dans l’urne. Il y a np possibilités.
Exemple
Il y a 106 (un million) possibilités de constituer un numéro dans une loterie à 6 chiffres.
b) Tirage ordonné sans remise
n!
On tire p fois une boule sans la remettre dans l’urne. Il y a Apn = (n−p)!
= n(n − 1) . . . (n − p + 1)
possiblités.
Exemple
Il y a A315 = 15 × 14 × 13 = 2730 possibilités pour un tiercé dans l’ordre avec 15 chevaux.
c) Tirage non ordonné sans remise
n!
On tire p boules d’un seul coup. Il y a Cnp = p!(n−p)!
possibilités.
Exemple
6
Il y a C49
= 13983816 possibilités pour un loto où 6 boules sont tirées parmi 49.
Exercice 1.1 Combien peut-on former de mots avec m lettres
- qui peuvent être répétées
- qui ne peuvent pas être répétées ?
Exercice 1.2 De combien de façons peut-on placer 7 personnes
- si on dispose d’une table à 7 places,
- si on dispose de 2 tables de 3 et 4 places sans s’occuper de la disposition dans chacune des
tables ?
2
Expériences aléatoires et évènements
Définition 2.1 Une expérience aléatoire E est une expérience dont le résultat inconnu à l’avance
appartient à un ensemble dont l’ensemble des éléments est connu. L’ensemble des résultats possibles de cette expérience est noté Ω et est appelé ensemble fondamental.
Exemples
1
– E : jet d’un dé à 6 faces, Ω = {1, 2, . . . , 6}, cardΩ=6.
– E : jet de deux dés à 6 faces, Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)}, cardΩ=36.
– E : on tire un individu au hasard dans une population et on mesure sa taille, Ω = [40; 250]
(en cm).
Notation Soit A ⊂ Ω, A est appelé un évènement. Son complémentaire (l’ensemble des
résultats Ω qui ne sont pas éléments de A) est noté A.
Propriété 2.1 Soit Ω un ensemble fondamental.
1) ∅ est un évènement de Ω ;
2) Si A et B sont des évènements de Ω alors A ∩ B est un évènement de Ω.
Définition 2.2 Soit Ω un ensemble fondamental.
1) Ω est l’évènement certain.
2) ∅ est l’évènement impossible.
3) Si A et B sont des évènements de Ω et A ∩ B = ∅ on dit que A et B sont incompatibles.
Exemple
E : jet d’un dé à 6 faces
A : la face tirée est un nombre pair, est un évènement de Ω, A : la face tirée est un nombre
impair.
L’évènement ”la face tirée est égale à 8” est l’évènement impossible.
L’évènement ”la face tirée est plus petite que 7” est l’évènement certain.
Les évènements ”la face tirée est paire” et ”la face tirée est divisible par 5” sont incompatibles.
3
Probabilité
Définition 3.1 On appelle probabilité une application P qui associe à tout évènement A de Ω
une valeur de R+ et qui vérifie :
1) P (Ω) = 1 ;
2) Si A et B sont incompatibles alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
Exemple
E : jet d’un dé à 6 faces, on note Ai = {i} l’évènement ”la face tirée est i” pour i = 1, . . . 6.
P (Ai ) = 1/6 pour i = 1, . . . , 6 définit une probabilité appelée probabilité uniforme.
Propriété 3.1 On a les propriétés suivantes
1) P (Ā) = 1 − P (A) ;
2) P (∅) = 0 ;
3) 0 ≤ P (A) ≤ 1, pour tous les évènements A de Ω ;
4) Si A ⊂ B, P (B \ A) = P (B) − P (A) et P (A) ≤ P (B) ;
5) Si A et B sont des évènements de Ω, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Définition 3.2 Le couple (Ω, P ) s’appelle un espace probabilisé.
Exercice 3.1 Lors du lancer de dé non truqué, calculer la probabilité que le nombre obtenu sur
la face du dé soit
– pair
– divisible par 3
– supérieur ou égal à 2.
– inférieur à 2 et supérieur à 5.
2
4
Probabilité conditionnelle
Définition 4.1 Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. Soit B un évènement tel que P (B) ̸= 0. La
quantité
P (A ∩ B)
P (A/B) =
P (B)
est appelée la probabilité de A sachant B. L’application
P (./B) : A −→ R+
A 7−→ P (A/B)
est une probabilité.
Proposition 4.1 On suppose P (A) ̸= 0, P (B) ̸= 0, alors
P (A/B) =
P (B/A)P (A)
P (B)
Exemple
Si 10% des enfants d’ouvriers font des études, 20% d’une classe d’age sont des enfants d’ouvriers
et 40% d’une classe d’age font des études, notons
A l’évènement : un individu tiré au hasard dans une classe d’age est enfant d’ouvrier,
B l’évènement : un individu tiré au hasard dans une classe d’age fait des études, on a alors
P (A) = 0.4, P (B) = 0.2, P (B/A) = 0.1.
La probabilité pour qu’un individu tiré au hasard parmi ceux qui font des études soit fils d’ouvrier est
P (B/A)P (A)
0.1 ∗ 0.2
P (A/B) =
=
= 0.05
P (B)
0.4
Proposition 4.2 (Formule de Bayes) Soit A1 , . . . , An une partition de Ω, B une partie de Ω
telle que P (Ai ) ̸= 0 pour tout i = 1, . . . , n, et P (B) ̸= 0. Alors
P (Ai /B) =
P (B/Ai )P (Ai )
n
∑
P (B/Aj)P (Aj )
i = 1, . . . , n
j=1
Exercice 4.1 Un malade réagit positivement à un test avec la probabilité 0.95, un non malade
réagit négativement à ce test avec une probabilité 0.95. Un individu tiré au hasard dans la
population a une probabilité 0.005 d’être malade. Quelle est la probabilité pour qu’une personne
qui réagit positivement au test soit effectivement malade ?
Exercice 4.2 Trois machines M1 , M2 , M3 produisent respectivement 60%, 30% et 10% du
nombre total de pièces fabriquées dans une usine. Les pourcentages de pièces défectueuses fabriquées par les machines sont respectivement de 2%, 3%, et 4%. On choisit une pièce au hasard
et on s’aperçoit qu’elle est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle provienne de la machine
M1 , M2 ou M3 ?
3
5
Indépendance
Définition 5.1 On dit que deux évènements A et B d’une tribu A sont indépendants si
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
Exemple
Lors du lancer d’un dé non pipé, on considère les évènements
A : la face obtenue est paire
B : la face obtenue est divisible par 3
On a P (A) = 12 et P (B) = 13
P (A ∩ B) = P ({6} = 16 = P (A)P (B). Les évènements A et B sont indépendants.
Considérons maintenant les mêmes évènements, mais obtenus lors du lancer d’un dé truqué de
la façon suivante :
1
P ({i}) = 10
pour i = 1, . . . , 5 et P ({6} = 12 .
7
6
On a P (A) = 10
et P (B) = 10
1
P (A∩B) = P ({6}) = 2 et P (A)P (B) = 0.42. Les évènements A et B ne sont pas indépendants.
La notion d’indépndance est liée à la probabilité et pas seulement aux évènements.
Proposition 5.1 Soit B un évènement tel que P (B) ̸= 0. Alors les évènements A et B sont
indépendants si et seulement si
P (A/B) = P (A).
Exemple
Dans l’exemple des enfants d’ouvriers qui font des études on a P (B/A) = 0.05 et P (B) = 0.2,
les évènements A et B sont donc dépendants. De fait l’évènement A (faire des études) est
défavorable à l’évènemnet B (être enfant d’ouvrier) : les enfants d’ouvriers représentent 20%
de la classe d’age, mais seulement 5% de la classe d’age qui fait des études.
Définition 5.2 On dit que les évènements (A1 , A2 , . . . , An ) sont indépendants si
∀k ≤ n
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = P (Ai1 )P (Ai2 ) . . . P (Aik )
4