Feuille d`exercices n˚6 Probabilités

TB2 − 2011-2012
Mathématiques
L.E.G.T.A. Le Chesnoy
D. Blottière
Feuille d’exercices n˚6
Probabilités
Exercice 77 : On pipe un dé ordinaire à 6 faces de sorte qu’il ait les propriétés suivantes :
• la probabilité de sortir un nombre pair est égale à celle de sortir un nombre impair ;
• les nombres impairs sont équiprobables ;
• pour k ∈ {2, 4, 6}, la probabilité de sortir la face k est proportionnelle à k.
1. Déterminer la probabilité d’apparition de chaque face.
2. Déterminer la probabilité de sortir un nombre premier.
Exercice 78 : Un homme (mal intentionné) vient de trouver une carte bancaire dans un distributeur automatique de billets et dispose de trois essais pour trouver le code (à quatre chiffres).
1. Quelle est la probabilté qu’il réussisse à le trouver avant de bloquer la carte ?
2. Il a vu que deux (et deux seulement) des quatre chiffres sont indentiques, quelle est alors la probabilité
qu’il réussisse ?
Exercice 79 : Un fumeur veut arrêter de fumer. Il est tiraillé entre le manque de volonté et la mauvaise
1
conscience : s’il a réussi à ne pas fumer un jour il fume le lendemain avec la probabilité , mais s’il a fumé un
2
1
jour, alors il ne fume le lendemain qu’avec la probabilité . On note pn la probabilité qu’il fume le n-ième jour
4
(n ∈ N∗ ).
1. Calculer pn+1 en fonction de pn pour tout n ∈ N∗ .
2. En déduire une expression de pn en fonction de p1 et de n pour tout n ∈ N∗ .
3. Étudier le comportement asymptotique de la suite (pn )n∈N∗ .
F
Exercice 80 : On effectue une suite de parties de PILE ou FACE avec une pièce équilibrée. Soit un la probabilité
de ne pas avoir trois FACE à la suite au cours des n premières parties (n ∈ N∗ ). On a donc u1 = u2 = 1.
1. Calculer u3 .
2. En conditionnant par le résultat des trois derniers lancers,
suivante :
1
1
un = un−1 + un−2 +
8
4
montrer qu’on a la relation de récurrence
1
un−3
2
pour tout n ∈ N≥3 .
3. Écrire un algorithme de calcul qui calcule un (n ∈ N≥3 ) de façon itérative.
Exercice 81 : Une expérience est conduite pour étudier la mémoire des rats. Un rat est mis devant trois
couloirs. Au bout de l’un d’eux se trouve la nourriture qu’il aime, au bout des deux autres, il reçoit une
décharge électrique. Cette expérience élémentaire est répétée jusqu’à ce que le rat trouve le bon couloir.
1. On suppose tout d’abord que le rat n’a aucun souvenir des expériences antérieures. Avec quelle probabilité
pk la première tentative réussie est-elle la k-ième (k ∈ N∗ ) ?
2. On suppose maintenant que le rat se souvient de l’expérience immédiatement précédente. Avec quelle
probabilité qk la première tentative réussie est-elle la k-ième (k ∈ N∗ ) ?
3. On suppose enfin que le rat se souvient des deux expériences précédentes. Avec quelle probabilité rk la
première tentative réussie est-elle la k-ième (k ∈ N∗ ) ?
1
F
Exercice 82 : Soit n ∈ N∗ . Une personne écrit des lettres personnelles à n correspondants, mais quelque peu
distraite, elle colle les étiquettes d’adresses au hasard.
1. Quelle est la probabilité que chaque lettre parvienne à son destinataire ?
2. Quelle est la probabilité pn qu’une lettre au moins parvienne à son destinataire ?
3. Étudier le comportement asymptotique de la suite (pn )n∈N∗ .
Exercice 83 : Soient a, b ∈ N≥2 . On dispose de deux urnes U et V . L’urne U contient a boules blanches et 2a
boules rouges, alors que l’urne V contient b boules blanches et b boules rouges.
On jette deux fois un dé non pipé. Si la somme des deux chiffres obtenus est au moins égale à 6, alors on tire
simultanément 2 boules de l’urne U , sinon on tire simultanément deux boules de l’urne V .
1. Calculer la probabilité d’obtenir deux boules blanches.
2. Calculer la probabilité d’avoir tiré les deux boules dans l’urne U sachant que les deux boules tirées sont
blanches.
Exercice 84 : Soient n1 , n2 ∈ N∗ et soit r ∈ N. Une urne contient n1 tickets GAGNÉ, n2 tickets PERDU, r
tickets REJOUER. On tire successivement, sans remise, des tickets jusqu’à tirer un ticket GAGNÉ ou un ticket
PERDU. Si le dernier ticket tiré est un ticket GAGNÉ, on dit que l’on a gagné, sinon que l’on a perdu. On
note :
• G1 l’événement tirer un ticket GAGNÉ au 1er tirage ;
• P1 l’événement tirer un ticket PERDU au 1er tirage ;
• R1 l’événement tirer un ticket REJOUER au 1er tirage .
Soit pr la probabilité de gagner pour une urne contenant initialement r tickets REJOUER.
1. Calculer p0 et p1 .
2. Que dire de (G1 , P1 , R1 ) ?
3. Donner une relation de récurrence entre pr+1 et pr pour tout r ∈ N.
4. Démontrer par récurrence que la valeur de pr est indépendante de r.
Exercice 85 : Soient a, b ∈ N∗ . On dispose de deux urnes U et V . L’urne U contient a boules blanches et b
boules noires, alors que l’urne V contient b boules blanches et a boules noires.
1. On effectue une suite de tirages de boules avec remise en procédant comme suit. Le premier tirage a lieu
dans l’urne U . Ensuite, à chaque tirage, si la boule tirée est blanche, alors le tirage suivant a lieu dans U ,
sinon il a lieu dans V .
Pour tout k ∈ N∗ , on note Bk l’événement la k-ième boule tirée est blanche .
(a) Donner une relation de récurrence liant P (Bk+1 ) et P (Bk ) pour tout k ∈ N∗ .
(b) Exprimer P (Bk ) en fonction de k, pour tout k ∈ N∗ .
(c) Étudier le comportement asymptotique de la suite (P (Bk ))k∈N∗ .
2. On effectue maintenant une suite de tirages de boules avec remise en procédant comme suit. Le premier
tirage a lieu dans l’urne U . Ensuite, à chaque tirage, si la boule tirée est blanche, le tirage suivant a lieu
dans la même urne, sinon il a lieu dans l’autre urne.
Pour tout k ∈ N∗ , on note :
• Uk l’événement le k-ième tirage a lieu dans l’urne U ;
• Bk l’événement la k-ième boule tirée est blanche .
(a) Calculer la valeur de P (Uk ) pour tout k ∈ N∗ .
(b) Exprimer P (Bk ) pour tout k ∈ N∗ .
3. À long terme quelle est la meilleure stratégie pour obtenir des boules blanches ?
Exercice 86 : Soit p ∈]0, 1[. On pose q = 1 − p. On dispose d’une pièce dont la probabilité d’apparition de
PILE est p. On la lance jusqu’à l’obtention d’un PILE.
1. Soit k ∈ N∗ . On note Ak l’événement
on a effectué k lancers . Calculer P (Ak ).
2. Quelle est la probabilité que le nombre de lancers effectués soit pair ?
3. Quelle est la probabilité que le nombre de lancers effectués soit impair ?
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