Corrigé Une urne contient 15 boules : une noire, 5 blanches, et 9

Corrigé
Test 2 : Espaces probabilisés
SQ20
Une urne contient 15 boules : une noire, 5 blanches, et 9 rouges.
1. On tire simultanément et au hasard trois boules de cette urne. Quelle est la probabilité des
événements :
(a) A = “le tirage est tricolore”
(b) B = “parmi les boules tirées figurent la noire et au moins une rouge”
(c) C = “les trois boules tirées sont de la même couleur”
2. Le tirage s’effectue désormais successivement, avec remise. Calculez les probabilités des événements
A, B, et C définis ci-dessus.
3. On effectue à présent n tirages successifs avec remise (n ∈ N∗ ). Calculez la probabilité d’obtenir au
moins une fois la boule noire lors de ces n tirages.
1. Le nombre de tirages possibles consiste à choisir 3 boules parmi 15. Donc #Ω =
15
3
= 455.
(a) On doit choisir 1 boule noire parmi 1, et 1 boule blanche parmi 5, et 1 boule rouge parmi 9.
(1)×(51)×(91)
45
= 455
Ainsi, P(A) = 1 15
≈ 9, 9%.
(3)
(b) On doit choisir (1 boule noire parmi 1 et 2 boules rouges parmi 9) ou (un tirage tricolore). Ces
(1)×(92)+45
≈ 17, 8%.
2 événements étant disjoints, P(B) = 1 455
(c) On doit choisir 3 boules blanches parmi 5 ou 3 boules rouges parmi 9 (ces événements étant
(5)+(9)
disjoints). P(C) = 3 455 3 ≈ 20, 7%.
2. Cette fois-ci, il y a 15 possibilités à chaque tirage, donc #Ω = 153 = 3375.
Un tirage tricolore est constitué de 1 boule noire, 1 blanche, et 1 rouge. La probabilité d’un tel
1
5
9
tirage est de 15
× 15
× 15
. C’est la probabilité du tirage N − B − R. Or, il y a autant de tirages
270
45
= 3375
= 8%.
tricolores que de manières de permuter les 3 lettres N , B, et R. Donc P(A) = 3!× 3375
Pour B, la probabilité d’obtenir 1 boule noire et 2 boules rouges est
3
1
3
1
1 × 15
×
9
15
2
(le coefficient
provient du choix de la place du tirage de la boule noire). Il faut aussi rajouter la probabilité
2
1
9
270
513
d’avoir un tirage tricolore. Donc P(B) = 31 × 15
× 15
+ 3375
= 3375
= 15, 2%.
Pour C, on calcule la probabilité d’avoir 3 fois une boule noire, ou 3 fois une boule blanche, ou 3
fois une boule rouge. P(C) =
1
15
3
+
5
15
3
+
9
15
3
=
855
3375
≈ 25, 3%.
3. D =“ne pas obtenir la boule noire au cours des n tirages”. P(D) =
UTBM
14
15
n
. Donc P(D) = 1 −
14
15
n
.
29 mars 2012