Primitives de P(x) ln(x)

Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise)
Primitives
Méthodes et techniques des exercices
Primitives de P (x) ln(x)
Quand une fonction f s’écrit sous la forme f (x) = P (x) ln(x), où P est une fonction
polynômiale, on calcule une primitive de f sur ]0, +∞[ par une intégration par parties.
u(x) = ln(x)
On pose
v ′ (x) = P (x)
(
1
u′(x) =
et on obtient
où Q est une primitive de P
x
v(x) = Q(x)
Les fonctions u et v ainsi définies sont bien continûment dérivables sur ]0, +∞[. On
peut donc appliquer la méthode d’intégration par parties et on a :
Z
Z
Q(x)
P (x) ln(x) dx = Q(x) ln(x) −
dx
x
Q(x)
On choisit pour Q le polynôme de coefficient constant nul, ainsi
est un polynôme
x
dont on sait calculer une primitive.
Exemple. Pour calculer une primitive de x 7→ x ln(x) sur ]0, +∞[, on fait une
intégration par parties.

1

′


 u (x) = x
u(x) = ln(x)
On pose
et on obtient
v ′ (x) = x


1 2

 v(x) =
x
2
D’où
Z
Z 2
1 2
x
1
x ln(x) dx =
x ln(x) −
dx
2
2
x
Z
1 2
1
=
x dx
x ln(x) −
2
2
1
1 2
x ln(x) − x2 .
2
4
La même méthode se généralise au cas d’une fonction de la forme f (x) ln(x) (ou même
f (x) ln(g(x))) lorsque f a des primitives assez faciles à calculer et que, pour l’une de
ces primitives F , on sait calculer une primitivede F/x ; c’est le cas, par exemple, lorsque
f est une fraction rationnelle. En effet, une intégration par parties donne :
Z
Z
F (x)
f (x) ln(x) dx = F (x) ln(x) −
dx
x
=
1