Méthodes de Monte-Carlo Calcul d`intégrales et réduction de variance

Méthodes de Monte-Carlo
Calcul d’intégrales et réduction de variance
ENSTA / Master Modélisation et Simulation
TD 2
2012-2013
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Calcul d’intégrale
Le but de l’exercice est d’utiliser la méthode de Monte Carlo pour calculer les intégrales cidessous. Pour chaque calcul, on donnera quand c’est possible la valeur théorique de la variance.
Puis on donnera la valeur de l’intégrale obtenue (à comparer avec la valeur exacte quand c’est
possible), et l’intervalle de confiance à 95% (en se basant sur un estimateur de la variance) pour
N = 100; 1000; 10000; · · ·
R1
• I = 0 ex dx
• I = E(exp(βg)) = eβ
2 /2
où g est une gaussienne centrée réduite.
• Application à la finance : prix d’une option d’achat (ou call en anglais)
C = E((eσG − K)+ )
et le prix d’une option de vente (put)
P = E((K − eσG )+ )
où G est une gaussienne centrée réduite. On prendra σ = K = 1.
Les valeurs exactes sont données par la formule explicite due à Black et Scholes
C = e(
avec N =
√1
2π
σ2
)
2
N (σ −
log(K)
log(K)
) − K N (−
)
σ
σ
Rx
u2 /2 du.
−∞ e
Pour laquelle de ces 2 quantités (entre C et P) la méthode de Monte-Carlo sera la plus
efficace ?
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Réduction de variance
Appliquer sur chacun des calculs précédents les différentes méthodes de réduction de variances,
et montrer de combien on diminue la variance dans chaque cas.
• Echantillonage préférentiel
• Méthode utilisant des variables de contrôle
• Variables antithétiques
• Méthode d’échantillonnage stratifié
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