DM2

UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER
UFR DE MATHÉMATIQUES
L3 MENTION MATHÉMATIQUES, UE MAT367
MÉTHODES NUMÉRIQUES
2ND SEMESTRE 2009-2010
DEVOIR DU 06/04/2010,
À RENDRE POUR LE MARDI 20/04/2010.
Les réponses données doivent être soigneusement justifiées pour pouvoir être prises
en compte.
Exercice 1. (extrait d’examen Mat367, 2007-2008)
Soit g : R → R de classe C 3 et x ∈ R tel que g(x) = 0 et g 0 (x) 6= 0. On se donne
également ϕ : R → R de classe C 1 avec ϕ(x) = x.
Etant donné x0 ∈ R, on définit
g(xn )
xn+1 = xn − 0
(∗)
g (ϕ(xn ))
(1) Montrer qu’il existe α > 0 tel que si x0 ∈ Iα =]x − α, x + α[, alors la suite (∗)
n→∞
est bien définie. Montrer aussi que xn −→ x. Indication: on pourra poser
h(u) = u−g(u)/g 0 (ϕ(u)) et vérifier qu’on peut choisir α de sorte que |h0 (α)| <
1 sur Iα .
Dans la suite de l’exercice, on prendra x0 ∈ Iα où α est comme ci dessus.
(2) On suppose maintenant que ϕ est de classe C 2 . Montrer que la convergence de
la suite (xn ) est au moins quadratique, c’est-à-dire qu’il existe une constante
C ∈ R+ telle que
|xn+1 − x| ≤ C|xn − x|2
pour tout n ≥ 1.
(3) On suppose que ϕ est de classe C 3 et ϕ0 (x) = 12 . Montrer que la convergence
est au moins cubique, c’est-à-dire qu’il existe une constante C ∈ R+ telle que
|xn+1 − x| ≤ C|xn − x|3
pour tout n ≥ 1.
(4) Soit β ∈ R∗+ tel que g 0 (x) 6= 0 pour tout x ∈ Iβ =]x − β, x + β[. On suppose g
de classe C 4 . Montrer que si on prend ϕ telle que
g(x)
ϕ(x) = x − 0
2g (x)
1
2
MAT367, DM2, 2009-2010
pour x ∈ Iβ , alors la convergence de la suite (xn ) est au moins cubique.
Exercice 2. Soit Ω ⊂ Rn un ouvert et F ∈ C 1 (Ω, Rn ).
Pour tout k ∈ N, on suppose donnée Ak ∈ C 0 (Ω, GLn (R)).
Soit ~x0 ∈ Ω on désire étudier une suite (~xn ) vérifiant une relation de la forme:
∀k ≥ 0, ~xk+1 = ~xk − Ak (~xk0 )−1 F (xk )
k 0 étant assujetti à vérifier 0 ≤ k 0 ≤ k.
On suppose qu’il existe β, M, r ∈ R>0 tels que:
(1) r > 0 et B = {~x ∈ Rn | k~x − ~x0 k < r} ⊂ Ω,
(2) supk≥0 sup~x∈B kAk (~x)−1 kop ≤ M ,
β
(3) β < 1 et supk≥0 sup~x,~x0 ∈B kAk (~x) − JF (~x0 )kop ≤ M
.
r
(4) kF (~x0 )k ≤ M (1 − β).
On va montrer que F a un unique zéro ~x∞ dans B et que (~xk ) converge vers ~x∞ .
(1) Montrer que k~x1 − ~x0 k ≤ M kF (~x0 )k puis que k~x1 − ~x0 k < r.
(2) En appliquant le théorème des accroissements finis à Ψ0 : ~x 7→ F (~x)−A0 (~x0 )~x
montrer que:
β
kF (~x1 )k ≤
k~x1 − ~x0 k.
M
(3) Montrer que pour tout k ≥ 1 on a:
• k~xk − ~xk−1 k ≤ M kF (~xk−1 )k,
• k~xk − ~x0 k < r,
β
• kF (~xk )k ≤ M
k~xk − ~xk−1 k.
(4) Montrer que pour tout k ≥ 1 on a: k~xk+1 − ~xk k ≤ βk~xk − ~xk−1 k.
(5) Montrer que (xk )k∈N converge vers un élément de B qui est un zéro de F .
Estimer la vitesse de convergence.
(6) Montrer que F a un unique zéro dans B. (Indication: on pourra appliquer le
théorème des accroissements finis à Ψ0 .)
Problème 3. (extrait d’examen Mat352, L3 Sena Centre-Drôme-Ardèche 2007-20008.)
On considère la méthode d’intégration numérique sur [0, 1] définie par:
1
1
2
∀f ∈ C 0 ([0, 1], R) I(f ) = (f ( ) + f ( )).
2
3
3
(1) Calculer I(f ) pour f un polynôme du second degré.
(2) Quel est l’ordre de cette méthode d’intégration numérique?
(3) Calculer le noyau de Péano de I qui est la fonction G définie pour tout t ∈
[0, 1] par:
Z 1
G(t) =
et (x)dx − I(et )
0
0
où et ∈ C ([0, 1], R) est définie par et (x) = (x − t)+ = max(x − t, 0).
(4) Montrer que
Z x
2
0
∀f ∈ C ([0, 1], R) ∀x ∈ [0, 1] f (x) = f (0) + f (0)x +
(x − t)f 00 (t)dt.
0
MAT367, DM2, 2009-2010
3
(5) Montrer que
2
Z
1
Z
f (x)dx − I(f ) =
∀f ∈ C ([0, 1], R)
0
1
G(t)f 00 (t)dt.
0
(6) Montrer que ∀t ∈ [0, 1], G(t) ≥ 0.
(7) Montrer que
Z
Z 1
2
f (t)dt − I(f ) = (
∀f ∈ C ([0, 1], R) ∃c ∈ [0, 1]
0
1
G(t)dt)f 00 (c).
0
R1
(8) Calculer 0 G(t)dt (Indication: On pourra par exemple appliquer la formule
précédente à x 7→ x2 .).
(9) On considère, pour tout n entier la méthode d’intégration numérique sur [0, 1]
définie par:
n−1
X
1
1 + 3i
2 + 3i
In (f ) =
(f (
) + f(
)).
2n
3n
3n
i=0
Montrer qu’il existe une constante C > 0 telle que:
Z 1
C
2
f (t)dt − In (f )| ≤ 2 max |f 00 (x)|.
∀f ∈ C ([0, 1], R) |
n x∈[0,1]
0
(10) Quelle est la constante C optimale pour la question précédente?