Intégrale de Riemann 1 Intégrale d`une fonction

1
le 18 Février 2010 UTBM MT12
Arthur LANNUZEL
http ://mathutbmal.free.fr
Intégrale de Riemann
K = R ou C.
1
Intégrale d’une fonction en escalier.
Définition 1.1 (fonctions en escalier)
f : [a, b] ⊂ R −→ K est appelée fonction en escalier ssi ∃a0 = a < a1 < ... < an = b (ai ∈ R)
tel que ∀x ∈]ai , ai+1 [, f (x) = ci ∈ K (la valeur aux bornes des intervalles n’a pas d’importance).
La famille {a1 , ..., an } s’appelle une subdivision de [a, b].
Définition 1.2 (intégrale d’une fonction en escalier)
Soit f une fonction en escalier sur [a, b].
On appelle intégrale de f sur [a, b], l’élément de K :
∫
b
f (x)dx :=
a
De plus
∫a
b
f (x)dx := −
∫b
a
n−1
∑
ci .(ai+1 − ai ).
i=0
f (x)dx.
Remarque 1.3 Soit f : [a, b] −→ K = R, une fonction en escalier.
∫b
Si ∀x ∈ [a, b], f (x) ≥ 0 alors, dans un repère orthonormé (Ox, Oy), a f (x)dx est l’aire
délimitée par f et l’axe (Ox).
Si ∀x ∈ [a, b], f (x) ≤ 0 alors, dans un repère orthonormé (Ox, Oy),
l’aire délimitée par f et l’axe (Ox).
∫b
a
f (x)dx est l’opposé de
Propriétés 1.3.1 i) L’intégrale ne dépend pas des valeurs prisent aux bornes de la subdivision.
ii) L’intégrale est indépendante de la subdivision choisie.
∫b
iii) Si f est constante égale à c0 sur [a, b] sauf en un nombre fini de points alors a f (x)dx =
c0 .(b − a).
Exemples 1.4 Calculer
∫ 32.32
−10.10
E(x)dx.
2
2
Intégrale de Riemann d’une fonction réelle continue.
Soit f : [a, b] −→ R continue.
DESSIN
Soit n ∈ N, on considère la subdivision :
a0 = a,
a1 = a + b−a
,
n
a2 = a + 2. b−a
,
n
...
ak = a + k. b−a
,
n
...
an−1 = a + (n − 1). b−a
,
n
an = a + n. b−a
.
n
Pour n ∈ N∗ , on considère les fonctions en escalier :
ϕn : [a, b] −→ R telle que∀x ∈]ai , ai+1 [, ϕn (x) = inf {f (t), t ∈]ai , ai+1 [},
ψn : [a, b] −→ R telle que∀x ∈]ai , ai+1 [, ψn (x) = sup{f (t), t ∈]ai , ai+1 [}.
∫b
Proposition-définition 2.1 Les suites (un )n et (vn )n de terme général un = a ϕn (x)dx et
∫b
vn = a ψn (x)dx convergent vers la même limite lorsque n tend vers +∞ et on définit
∫ b
f (x)dx := lim un = lim vn .
a
n→+∞
n→+∞
Preuve.
(idée de preuve)
Prenons une fonction f croissante (bien choisie ! f ′′ > 0 par ex.) sur [a, b]
(un )n est croissante et majorée.
(vn )n est décroissante et minorée.
∀n ∈ N∗ , un ≤ vn .
De plus |vn − un | tend vers 0 lorsque n tends vers ∞.
Donc les suites (un )n et (vn )n sont adjacentes.
Donc limn→+∞ un = limn→+∞ vn .
CQFD
CQFD
∫a
∫b
Remarque 2.2 i) b f (x)dx = − a f (x)dx.
ii) On peut généraliser la définition précédente aux fonctions f continues par morceaux (i.e.
les fonctions f telles que ∃a0 = 0 < a1 < a2 < ... < an = b avec f continue sur ]ai , ai+1 [ et
admettant une limite à droite en ai et à gauche en ai+1 ).
∫ 10
Exemples 2.3 0 x2 dx
3
Propriétés de l’intégrale de Riemann.
Propriétés 3.0.1 Soit f, g intégrables (par ex. continue) sur [a, b].
3
1) Si K = R et ∀x ∈ [a, b], f (x) ≥ 0 alors, dans un repère orthonormé (Ox, Oy),
l’aire du domaine du plan délimité par la courbe et l’axe Ox.
2) ∀λ, µ ∈ K,
∫b
(λ.f (x) + µ.g(x))dx = λ.
a
3) Si f ≤ g sur [a, b] alors
∫b
a
f (x)dx ≤
4) Si f ≥ 0 (ou f ≤ 0) sur [a, b] et
∫b
a
∫b
∫b
a
a
f (x)dx + µ.
∫b
a
∫b
a
f (x)dx est
g(x)dx.
g(x)dx.
f (x)dx = 0 alors f ≡ 0.
∫b
∫b
5) | a f (x)dx| ≤ a |f (x)|dx.
Preuve.
∫b
∑n−1
b−a
| a f (x)dx| = limn→+∞ | b−a
k=0 f (a+k. n )| ≤ limn→+∞
n
CQFD
b−a
n
∑n−1
|f (a+k. b−a
)| =
n
k=0
∫b
a
|f (x)|dx.
6) Si K = C et f : [a, b] −→ C alors f (x) = u(x) + i.v(x) avec u, v continue sur [a, b] et
∫b
∫b
∫b
f (x)dx = a u(x)dx + i. a v(x)dx.
a
7) Si c ∈ [a, b] alors
∫b
a
f (x)dx =
∫c
a
f (x)dx +
∫b
c
f (x)dx.
8) Formule de la moyenne : soit f : [a, b] −→ R continue.
Alors ∀x ∈ [a, b], m = min{f (t), t ∈ [a, b]} ≤ f (x) ≤ M = max{f (t), t ∈ [a, b]},
∫b
donc m.(b − a) ≤ a f (x)dx ≤ M.(b − a),
∫b
f (x)dx
donc m ≤ a b−a ≤ M ,
donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires,
∫
∫b
b
∃c ∈ [a, b]/
f (x)dx = f (c).(b − a) ⇐⇒ ∃c ∈ [a, b]/
a
4
Intégrale et primitives.
I intervalle de R.
Soit f ∈ C(I, K) et a ∈ I.
Étudions G : I −→ ∫ K
.
x
x 7→
f (t)dt
a
Cherchons la dérivée
de
G
:
∫
G(x+h)−G(x)
1 x+h
=
f (t)dt donc, d’après la formule de la moyenne,
h
h x
∃ch ∈ [x, x + h],
G(x + h) − G(x)
= f (ch ),
h
a
f (x)dx
b−a
= f (c)
4
donc
G(x + h) − G(x)
= f (x).
h→0
h
lim
Conclusion 4.1 G est dérivable sur I et ∀x ∈ I, G′ (x) = f (x).
Définition 4.2 (primitive)
Soit f : [a, b] −→ K, on appelle primitive de f toute fonction F : [a, b] −→ K qui est dérivable
et telle que F ′ = f .
Remarque 4.3 Si F1 , F2 primitives de f∫sur I alors F1 (x) = F2 (x) + k (k ∈ K) donc si F est
x
une primitive de f alors ∃k ∈ K, F (x) = a f (x)dx + k.
Notation
4.4 Soit f : [a, b] −→ R continue.
∫
f (x)dx désigne une primitive de f .
On en déduit
Proposition 4.5 Si F est une primitive de f sur I alors
∫ b
∀a, b ∈ I,
f (x)dx = F (b) − F (a).
a
5
Approximation d’une intégrale.
∫b
Les méthodes graphiques classiques d’approximation d’une intégrale a f (x)dx consistent à
partager l’intervalle [a, b] en n intervalles égaux [a + k. b−a
, a + (k + 1). b−a
] (k ∈ {0, ..., n − 1})
n
n
et à approximer f sur chaque intervalle par une fonction gk facile à intégrer sur [ak , ak+1 ]
(ak = a + k. b−a
).
n
Méthode des rectangles.
Cette méthode consiste à approximer f sur [ak , ak+1 ] par g(x) = f (ck ) pour ck ∈ [ak , ak+1 ].
Prenons par exemple, ck = ak :
∫
ak+1
g(x)dx =
ak
donc
∫
∫
b
b
f (x)dx ≈
a
a
b−a
.f (ak ),
n
b−a∑
g(x)dx =
f (ak ).
n k=0
n−1
5
Mesurons l’erreur (pour f ∈ C 1 ([a, b], K)) :
Soit x ∈ [ak , ak+1 ], alors d’après le théorème des accroissements finis, il existe c ∈ [ak , x] tel que
|f (x) − f (ak )| = (x − ak ).|f ′ (c)|.
∫a
∫a
Donc | akk+1 f (x) − f (ak )dx| ≤ sup{|f ′ (t)|, t ∈ [a, b]}. akk+1 (x − ak )dx,
∫a
2
donc | akk+1 f (x) − f (ak )dx| ≤ sup{|f ′ (t)|, t ∈ [a, b]}. (ak+12−ak ) ,
∫a
2
,
donc | akk+1 f (x) − f (ak )dx| ≤ sup{|f ′ (t)|, t ∈ [a, b]}. (b−a)
2n2
∫b
∑
2
n−1
(b−a)
donc | a f (x)dx − b−a
. sup{|f ′ (t)|, t ∈ [a, b]}.
k=0 f (ak )| ≤
n
2.n
Exercice 5.1 Trouver une valeur approchée de
6
∫ √23 √
√
2
2
1 − x2 dx à 10−3 prés.
Quelques techniques d’integration.
6.1
L’integration par partie.
6.2
Changement de variable.
∫
∫
(u.v)′ = u′ .v + u.v ′ donc u.v ′ = [u.v] − u′ .v.
∫1
Exemples 6.1 0 x. ln(x + 1)dx.
Dans I =
obtient
∫b
a
f (x)dx, en posant x = ϕ(t) avec ϕ bijective de [α, β] sur [a = ϕ(α), b = ϕ(β), on
∫ β
I=
f (ϕ(t)).ϕ′ (t)dt.
α
Exemples 6.2
6.3
∫0
1
√
x2 . 1 + x3 .dx.
Integration des fonctions rationnelles.
On décompose en éléments simples pour ensuite intégrer chaque élément simple.
∫ 0 x3 +2
Exemples 6.3 1 (x+1)
2 .dx.
6.4
Integration des fonctions rationnelles en sin(x), cos(x).
Utiliser le changement de variable u = tan x2 puis intégrer la fraction rationnelle.
∫
cos(x)
Exemples 6.4 2 sin(x)−sin(2.x)
.dx.
Remarque 6.5 Le même genre de méthode est valable pour les fonctions rationnelles en Ch(x)
et Sh(x).