Feuille d`exercices sur les intégrales, avec indications et corrigés

Exercices avec indications
ln x
(pour n > 1)
xn
Indication : voir la fonction à intégrer sous la forme d’un produit
Calcul d0 une primitive de
1
xn
ln x.
Calcul d0 une primitive de (x2 + x + 1)ex
Indication : C’est un produit, qui n’est pas de la forme u0 un . On peut
donc essayer d’intégrer par parties (il faudra le faire deux fois en fait).
Z
Calcul de I =
π
2
cos3 x dx
o
Indication : Utiliser cos2 x = 1 − sin2 x
Z
Calcul de I =
o
π
2
1 − sin2 (x)
cos x dx
sin x + 2
1. Effectuer le changement de variable t = sin x pour arriver à
C
2. Décomposer la fraction f (t) sous la forme At + B +
.
t+2
3. En déduire la valeur de I.
Remarque : Ce sont en fait les exercices 55b, 55d, 53c, 53d
2x2 + 3 2x+arctan x
e
1 + x2
Indication : On pourra poser t = 2x + arctan x.
Calcul d0 une primitive de
1
Rb
a
f (t)dt.
2
A ne lire qu’après avoir cherché les exercices
Z
ln x
dx
xn
1
1
On pose u = ln x (donc u0 = x1 ) et v 0 = x1n . On calcule v = − n−1
xn−1
1
(par exemple en utilisant qu’une primitive de xm est m+1
xm+1 , avec ici
m = −n).
On écrit la formule d’intégrations par parties :
Z
1
1
1
1
ln x
1
dx = ln x.(−
)−
)dx
(−
n
n−1
n−1
x
n−1x
x n−1x
Z
ln x
1
1
= −
+
dx
(n − 1)xn−1 n − 1
xn
ln x
1
1
= −
−
n−1
2
n−1
(n − 1)x
(n − 1) x
1
1
ln x
= − n−1 (
+
)
2
x
(n − 1)
n−1
ln x
1
1
ln x
Donc une primitive de n est − n−1 (
+
). On rappelle
2
x
x
(n − 1)
n−1
qu’une primitive est définie à une constante additive près.
Z
Z
(x2 + x + 1)ex dx
On choisit u1 = x2 + x + 1 (donc u01 = 2x + 1) et v10 = ex donc v1 = ex
(L’autre choix de u et v ferait apparaitre du x3 , ce qui n’arrangerait pas la
situation).
Pour passer de la 1e à la 2e ligne, on refait une intégration par parties,
avec u2 = 2x + 1 et v20 = ex .
Z
(x2 + x + 1)ex dx = (x2 + x + 1)ex −
Z
(2x + 1)ex dx
Z
2
x
x
= (x + x + 1)e − ((2x + 1)e − 2ex dx)
= (x2 + x + 1)ex − ((2x + 1)ex − 2ex )
= (x2 + x + 1 − 2x − 1 + 2)ex
= (x2 − x + 2)ex
3
Z
π
2
π
2
Z
3
cos x dx =
o
(1 − sin2 x) cos x dx
o
π
2
Z
=
o
Z
cos x dx −
π
2
sin2 x cos x dx
o
π
π
1
= [sin x]02 − [sin3 x]02
3
1
= 1 − 0 − (1 − 0)
3
2
=
3
Pour passer de la 2e à la 3e ligne, on reconnait un produit u2 u0 dans
la 2e intégrale à calculer . Sinon on peut faire le changement de variables
u = sin x pour arriver au même résultat.
Z
I=
o
π
2
1 − sin2 (x)
cos x dx
sin x + 2
1
1 − t2
1. I =
dt
o t+2
2. On trouve A = −1, B = +2 et C = −3
3. Tous calculs faits, on trouve I = 32 + 3 ln( 32 ).
Z
2x2 + 3 2x+arctan x
e
dx
1 + x2
1
On pose t = 2x+arctan x, d’où dt = 2+ 1+x
2 dx =
dans l’intégrale, on trouve :
Z
Z
3+2x2
dx.
1+x2
En remplaant
Z
2x2 + 3 2x+arctan x
e
dx =
et dt
1 + x2
= et
= e2x+arctan x
Ne pas oublier de revenir à une fonction en x à la fin. On aurait pu
directement voir que la fonction sous l’intégrale était de la forme u0 eu (certes,
ce n’était pas facile du tout).