INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE Exercice 1

Université d’Orléans, Département de Mathématiques, Préparation au CAPES - 2010-2011
INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE
Exercice 1
+∞
Z
Donner une condition nécessaire et suffisante sur α ∈ R pour que
0
t − sin t
dt soit définie.
tα
Exercice 2
Z
+∞
dx
1. Établir que I =
=
3+1
x
0
2. En déduire la valeur de I.
Exercice 3
+∞
Z
Pour n ∈ N, on pose In =
e−1/x
0
Z
+∞
0
xdx
.
x3 + 1
1
dx.
xn
1. Étudier en fonction de n la convergence de In .
2. Lorsque cette intégrale converge, déterminer la valeur de In .
Exercice 4
Z
+∞
Montrer que pour tout a ∈ R, l’intégrale I(a) =
0
Exercice 5
dt
(1 +
t2 )(1
+ ta )
est bien définie, puis la calculer.
+∞
Z
dx
.
(1 + x2 )n+1
0
Justifier l’existence de In et la calculer pour tout n ∈ N.
Pour n ∈ N, on pose In =
Exercice 6
Z
+∞
Étudier suivant le paramètre α ∈ R la convergence de l’intégrale
0
Exercice 7
∗
Z
+∞ Pour n ∈ N , on note In =
−∞
x2
1+
n
1
x ln 1 +
dx.
x
α
−n
dx.
Z
+∞
1. Montrer que In est bien définie, puis que lim In =
n→+∞
2
e−x dx.
−∞
2. Trouver une relation reliant In et In+1 . En déduire l’expression de In+1 .
Z +∞
2
3. Obtenir alors la valeur de
e−x dx.
−∞
Exercice 8
Soit ϕ une fonction de classe C 1 sur R à valeurs dans R. On suppose que ϕ est bornée sur R.
Z +∞
n3 tϕ(t)
dt.
1. Pour n > 1, justifier l’existence de In =
2 2 2
−∞ (1 + n t )
Z +∞
nu ϕ nu − ϕ(0)
2. Montrer que pour n > 1, In =
du.
(1 + u2 )2
−∞
3. Déterminer la limite de la suite (In ).
Exercice 9
Soit f : R → R une fonction continue croissante sur R telle que lim f (x) = ` ∈ R et lim f (x) = `0 ∈ R.
x→+∞
x→−∞
Pour a >
Z 0, montrer que la fonction g définie sur R par g : x 7→ f (x + a) − f (x) est intégrable sur R, et
calculer
f (a + x) − f (x) dx.
R Z
En déduire
Arctan(x + a) − Arctan x dx.
R
Exercice 10
1
t−1
1. Justifier l’existence de I =
dt.
ln t
0
Z +∞ −x
e − e−2x
dx.
2. Établir que I =
x
0
Z 2ε −x
e
3. Montrer que I = lim
dx et en déduire la valeur de I.
ε→0 ε
x
Z
Exercice 11
Z
1
Soit f :
→ R continue de carré intégrable. On pose F (x) =
x
Calculer lim F (x).
R∗+
x
2
f (t) dt .
0
x→+∞
Exercice 12
Soit f : R+ → R une fonction de classe C 2 telle que f 2 et (f 00 )2 soient intégrables sur R+ .
1. Montrer que (f 0 )2 est intégrable sur R+ .
2. Montrer que f 2 − (f 0 )2 + (f 00 )2 − (f + f 0 + f 00 )2 est la dérivée d’une fonction pour en déduire que
Z +∞
f 2 − (f 0 )2 + (f 00 )2 dx > 0.
0
3. Trouver les fonctions f satisfaisant aux conditions de l’énoncé telles que
Z +∞
Z +∞
Z +∞
f 0 (x)2 dx =
f (x)2 dx +
f 00 (x)2 dx.
0
Exercice 13
Z
Étudier la convergence de
1
+∞
0
0
X sin(ln n)
sin(ln t)
dt, puis celle de
.
t
n
n>1
Exercice 14
1. Soit f : R+ → R continue intégrable. Que peut-on dire de lim f ? (existence ? valeur si existence ?)
x→+∞
Z +∞
2. On suppose maintenant que f : R+ → R est uniformément continue et que
f (t)dt converge.
0
Montrer que la limite de f en +∞ existe et vaut 0.
Z +∞
Z
3. Application : Soit f ∈ C 1 (R+ , R) telle que
f (t)dt et
0
Montrer que f tend vers 0 en +∞.
0
+∞
f 0 (t)2 dt convergent.