TD5

Intégration et Probabilités – TD 5
Mesure de Lebesgue, Théorèmes de Fubini
Exercice 0. Soit ϕ : ([0, 1], B([0, 1])) → (R, B(R)) une fonction intégrable pour la mesure de
Lebesgue. On définit F : R+ → R+ par
Z
p
F (t) =
ϕ(x)2 + t dx.
[0,1]
1. Montrer que F est continue sur R+ et dérivable sur R∗+ .
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur ϕ pour que F soit dérivable en 0.
Exercice 1. Soit f : (R, B(R)) → (R, B(R)) une fonction intégrable pour la mesure de Lebesgue λ.
On suppose que pour tous a < b,
Z
f (x) λ(dx) = 0.
]a,b[
Montrer que f = 0 λ-p.p.
Exercice 2. Sur un espace mesuré σ-fini (E, E , µ), on considère f : (E, E ) → (R+ , B(R+ )) une
fonction mesurable. Soit g : R+ → R+ une fonction croissante de classe C 1 telle que g(0) = 0.
Montrer que
Z
Z +∞
g ◦ f dµ =
g 0 (t)µ({f > t}) dt.
E
0
I NDICATION : On pourra écrire g(f (x)) comme une intégrale.
Exercice 3 (Volume de la boule unité). Soit λn la mesure de Lebesgue sur Rn . Pour tout r > 0,
on pose
Bn (0, r) = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2n ≤ r2 },
qui est la boule fermée de centre 0 et de rayon r. Vérifier que
n
π2
.
λn (Bn (0, 1)) =
n
Γ( 2 + 1)
Exercice 4 (Calculs...).
f (x, y) =
Calculer alors
1. Soit f la fonction définie sur [0, 1]2 par
x2 − y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
(x2 + y 2 )2
Z
1
Z
Z
dyf (x, y) et
dx
0
1
et
0
1
f (x, y) = 0 si x = y = 0.
Z
dy
0
1
dxf (x, y).
0
Étonnant, non ?
Pour des questions, n’hésitez pas à envoyer un mail à [email protected], ou bien à passer au bureau V7.
1
Z
2. En considérant l’intégrale
R2+
1
dx dy, calculer
(1 + y)(1 + x2 y)
Z
0
+∞
ln(x)
dx.
x2 − 1
R1
3. En remarquant que x−1 sin(x) = 0 cos(xy) dy, calculer pour tout t > 0 l’intégrale suivante
Z +∞
x−1 sin(x) e−tx dx.
0
Z
→∞
Ensuite, justifier l’existence et calculer
0
sin(x)
dx.
x
Exercice 5 (Intégration par parties). Soit F : R → R une fonction croissante continue à droite.
On note dF sa mesure
R de Stieljes. Soient a, b ∈ R tels que a < b. Soit g : R →
R R une fonction
mesurable telle que ]a,b] |g(x)|dx < ∞. Pour tout x ∈]a, b], on pose G(x) = ]a,x] g(t)dt. Alors
on a
Z
Z
G(t)dF (t).
F (t)g(t)dt +
F (b)G(b) =
]a,b]
]a,b]
Exercice 6 (L’escalier du diable). On définit une suite de fonctions continues (fn )n≥0 de [0, 1]
dans [0, 1] :
• Pour x ∈ [0, 1], f0 (x) = x.
• La fonction f1 est la fonction affine par morceaux qui vaut 0 en 0, 1 en 1, et
1
2
sur
1
2
3, 3
.
• On passe de même de fn à fn+1 en remplaçant fn sur chaque intervalle [u, v] où elle n’est
n (v)
2v+u
pas constante, par la fonction affine par morceaux qui vaut fn (u)+f
sur 2u+v
.
2
3 , 3
P
an
N∗ .
On note K l’ensemble de Cantor triadique défini par K =
n≥1 3n : (an )n≥1 ∈ {0, 2}
Rappelons que K est un compact de [0, 1] non dénombrable d’intérieur vide, et de mesure de
Lebesgue nulle (voir l’exercice 8 du TD 2).
1. Dessiner f0 , f1 , f2 , f3 et f4 .
2. Montrer que la suite de fonctions (fn )n≥0 converge uniformément vers une fonction
f : [0, 1] → [0, 1] continue croissante.
3. Montrer que si ]a, b[⊂ K c alors f est constante sur ]a, b[.
4. En déduire que f est presque partout dérivable de dérivée nulle.
5. On note df la mesure de Stieljes associée à f . Que dire de df ? Quel est son support (voir
l’exercice 10 du TD 2) ?
Exercice 7 (Théorème de Lusin, à chercher pour la prochaine fois).
Soit f : [0, 1] −→ R une fonction borélienne. Montrer que pour tout ε > 0 il existe une fonction
continue g : [0, 1] −→ R telle que
λ({x ∈ [0, 1] : f (x) 6= g(x)}) ≤ ε.
I NDICATION : On pourra commencer par le cas où f = 1A avec A borélien de [0, 1].
2
Exercice 8. On se donne deux mesures positives boréliennes µ et ν sur R, et on suppose que
pour tout choix de a < b ∈ R
µ(]a, b[) ≤ ν(]a, b[) < ∞.
Montrer alors que µ(A) ≤ ν(A) pour tout borélien A.
Exercice 9 (?). Trouver deux parties A, B ∈ B(R) telles que λ(A) = λ(B) = 0 et
A + B := {a + b, a ∈ A, b ∈ B} = R.
On peut se demander s’il existe un ensemble mesurable A de mesure positive, qui est “équitablement
réparti” sur R, c’est-à-dire
∃r ∈]0, 1[ , ∀J intervalle ouvert, λ(A ∩ J) = rλ(J).
L’exercice suivant donne une réponse à cette question (et même plus !).
Exercice 10 (?). Soit A ∈ B(R) de mesure strictement positive.
1. Montrer que pour tout ε > 0, il existe un intervalle J =]a, b[ non trivial tel que
λ(A ∩ J) ≥ (1 − ε)λ(J).
Répondre à la question posée avant l’exercice.
2. En déduire qu’il existe ε tel que
[−ε, ε] ⊂ A − A := {x − y, x ∈ A, y ∈ A}.
Exercice 11. On définit une fonction µ : P(R) → [0, +∞] par
• µ(A) = 0 si A est une partie finie ou dénombrable,
• µ(A) = +∞ sinon.
P
an
N∗ . On
Soit K l’ensemble de Cantor triadique défini par K =
n≥1 3n : (an )n≥1 ∈ {0, 2}
rappelle que K est un compact de [0, 1], infini non-dénombrable et de mesure de Lebesgue
nulle (voir l’exercice 8 du TD 2). On pose C = {(x, y) ∈ R × R : x − y ∈ K}.
1. Vérifier que µ est une mesure sur (R, P(R)).
2. Montrer que C ∈ B(R) ⊗ P(R).
Z Z
Z Z
3. Calculer les intégrales
1C (x, y) µ(dy) dx et
1C (x, y) dx µ(dy). Conclure.
R
R
R
3
R