Programme de khôlle N˚9 - Mathématiques

Programme de khôlle N˚9 - Mathématiques - PC2
Semaine du 21/11/2016 au 25/11/2016
Intégration sur un intervalle quelconque
• Rappels sur les fonctions continues par morceaux.
• Définition d’une intégrale impropre convergente (cas des intervalles [a, b[, ]a, b] et ]a, b[).
• Le cas des fonctions à valeurs
complexes.
Z +∞
Z 1
Z 1
Z +∞
1
1
• Exemples fondamentaux :
dt,
dt,
ln(t)dt et
e−αt dt.
α
tα
1
0 t
0
0
• Intégrales de fonctions positives : relations entre la convergence ou la divergence des intégrales de f et g dans
le cas où f ≤ g, f = O(g) et f ∼ g.
• Convergence absolue.
• Fonctions intégrables.
• Propriétés des fonctions intégrables (nullité de l’intégrale, Relation de Chasles, inégalité de la moyenne)
• Changement de variable ; intégration par parties (avec des précautions !)
• Comparaison séries-intégrales
Généralités sur les espaces vectoriels normés
•
•
•
•
Définition d’une norme ; normes euclidiennes, distances.
Boules, sphères, parties bornées.
Normes k.k1 , k.k2 et k.k∞ sur Kn .
Normes usuelles sur les espaces de fonctions : k.k2 et k.k∞ . La norme k.k1 a été vue, mais n’est pas au
programme de PC.
• Applications k-lipschitziennes.
• Suites bornées, suites convergentes.
Remarque : La notion de ≪ Normes équivalentes ≫ n’est plus au programme, ce qui n’empêche pas d’essayer de
comparer des normes avec des inégalités.
Si vous le souhaitez, vous pouvez interroger les étudiants pendant 5-10 minutes
sur l’un des 10 points suivants, traités en cours ou en exercices.
5.
+∞
sin(t)
dt est convergente.
t
1
Rappeler la définition de la fonction Γ et déterminer son domaine de définition.
Enoncer et démontrer le lien entre Γ(x) et Γ(x + 1) pour x ∈ DΓ .
Enoncer les formules trigonométriques cos(p) ± cos(q) = ..., sin(p) ± sin(q) = ....
n
n
X
X
Enoncer et démontrer les formules donnant
q k et
qk .
1. Démontrer que l’intégrale
2.
3.
4.
Z
k=0
6.
7.
8.
9.
10.
k=1
Soit (E, N ) un espace vectoriel normé. Démontrer que x 7→ N (x) est lipschitzienne de (E, N ) dans (R, |.|).
Enoncer et démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Dessiner, en le justifiant, les boules unités fermées de R2 relativement aux normes k.k1 , k.k2 et k.k∞ .
Si x ∈ Kn , savoir comparer (en le justifiant !) kxk1 , kxk2 et kxk∞ .
Démontrer que les normes k . k1 et k . k∞ ne sont pas équivalentes sur C 0 ([0, 1], R).
Et la semaine prochaine ?
Espaces vectoriels normés de dimension finie