Prépa ECE2 2009-2010 programme de colle quinzaine numéro 6

Prépa ECE2 2009-2010
programme de colle quinzaine numéro 6
semaine 11 :
semaine 12 :
du lundi 7 décembre
du lundi 14 décembre
au
au
vendredi 11 décembre 2009
vendredi 18 décembre 2009
1) Algèbre linéaire : ensemble des 2 chapitres
En particulier : réduction des endomorphismes et des matrices carrées.
2) Intégration (1) : intégration sur un segment [a,b]
Révisions du programme précédent.
3) Intégration (2) : Formule de Taylor et développements limités
a: Formule de Taylor à l’ordre p avec reste intégrale.
b: Inégalité de Taylor Lagrange :
Si f est de classe C p+1 sur [a, b], il existe une constante M ∈ R+ tel que :
p
X
(b − a)k (k) |b − a|p+1
f (a) 6 M
f (b) − f (a) −
k!
(p + 1)!
k=1
c: Formule de Taylor Young :
Si f est de classe C p+1 sur l’intervalle I, et si a ∈ I, on a, au voisinage de a :
f (x) =
p
X
(x − a)k
k!
k=0
f (k) (a) + o((x − a)p )
d: développements limités et applications
– def. au voisinage de 0.
– Principaux DLn ( à connaı̂tre par coeur ) :
1
,
1−x
ln(1 + x),
exp(x),
(1 + x)α et différentes versions
1
1
, ln(1 − x), √
. . ..
1+x
1 − x2
Les étudiants doivent maı̂triser la notation de Landau : o(xn ).
Obtention de DL au voisinage de x0 6= 0 par changement de variable : u = x − x0
Applications aux limites difficiles
Applications aux études de continuité et dérivabilité
Applications aux études de branches infinies.
– Obtention de DL par “composition” . Exemples :
–
–
–
–
Prévision pour la prochaine quinzaine :
– Intégration(3) intégrales impropres.
– Couples de V.A.R. discrètes
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