Rappels et formulaire 1 Densité de C0 c (Rn) dans L 1(Rn) 2 Autres

Rappels et formulaire
H06
Francis Nier
1
Densité de Cc0(Rn ) dans L1(Rn )
Tout ce dont on a besoin ici est la propriété suivante de la mesure de Lebesgue : Pour tout ensemble mesurable
E de Rn
Z
|E| =
sup
|K| = inf |Ω| .
(|E| = mesure deE = 1E (x)dx.)
E ⊂ Ω
Ω ouvert
K ⊂ E
K compact
Remarque 1.1. On rappelle que la tribu borélienne sur un espace topologique est la famille de parties stable
par union dénombrable et passage au complémentaire engendrée par les ouverts. Une mesure étant fixée (ici la
mesure de Lebesgue dx), on complète cette tribu en rajoutant tous les ensembles de mesure nulle. Ici une partie
mesurable signifie élément de la tribu complétée (i.e. tribu de Lebesgue) mais on peut se restreindre pour bien
des raisonnements aux parties boréliennes (voir cours de théorie de la mesure et intégration).
La démonstration qui se fait en trois étapes est rappelée ci-dessous.
a) Une fonction caractéristique de compact peut êtreapprochée dans L1 (Rn ) par une suite de fonctions continues
1 − d(x,K)
si d(x, K) < ε
ε
Soit K un compact de Rn , on prend f ε (x) =
0 sinon.
On note Ωε = {x ∈ Rn , d(x, K) < ε} et on a pour tout ε > 0, 1K (x) ≤ f ε (x) ≤ 1Ωε (x). On en déduit
Z
ε→0
ε
f ε (x) − 1K (x) dx ≤ 1Ωε (x) − 1K (x) dx = |Ωε | − |K| → 0,
k1K − f (x)kL1 =
Rn
puisque |K| =
inf
K ⊂ Ω
Ω ouvert
|Ω| = inf |Ωε |.
ε>0
b) La fonction caractéristique d’une partie mesurable de mesure finie peut-être approchée dans L1 (Rn ) par une
famille de fonctions caractéristiques de compact. On écrit tout simplement pour une partie mesurable E :
|E| =
sup
|K| . Pour K ⊂ E, la norme k1E − 1K kL1 n’est autre que |E| − |K| qui est arbitrairement
K ∈ E
K compact
petit.
En conséquence, une fonction caractéristique de partie mesurable de mesure finie peut être approchée dans
L1 (Rn ) par une suite de fonctions continues. Par linéarité, il en est de même de toute combinaison linéaire
PN
finie, i.e. toute fonction étagée k=1 λk 1Ek (x), avec |Ek | < +∞, peut être approchée dans L1 (Rn ) par
une suite de fonctions continues.
c) Toute fonction f ∈ L1 (Rn , dx) est limite d’une suite de fonctions étagées. On suppose d’abord que supp f
est compact. En fait on fixe un représentant toujours noté f qui est une fonction mesurable intégrable.
En écrivant f = f+ − f− , on se ramène au cas f ≥ 0. On prend alors
n
sn (x) =
n2
X
i−1
i=1
2n
.1f −1 ([ i−1
n ,
2
i
2n
[) (x)
+ n.1f −1 ([n,+∞]) (x).
On a alors 0 ≤ sn (x) ≤ f (x) et sn (x) → f (x) presque partout. Le théorème de Lebesgue (convergence
n→∞
dominée) donne alors kf − sn kL1 → 0.
Pour supp f non compact, on approche f dans L1 par 1Kk f , où ∪k∈N Kk = Rn , (convergence dominée).
CQFD.
2
Autres rappels sur les Lp
Definition 2.1. Pour 1 ≤ p ≤ +∞,
a) Lp (Rn , dx) désigne l’espace des fonctions mesurables f telles que :
Z
p
p < +∞ :
|f (x)| dx < +∞;
p = +∞ : ∃Cf > 0, |f (x)| ≤ Cf .
Rn
1
b) Lp (Rn , dx) est le quotient de Lp (Rn , dx) par la relation d’équivalence (f ∼ g) ⇔ (f (x) = g(x) p.p.). Il est
muni de la norme
Z
p1
p
p < +∞ : kf kp =
;
p = +∞ : kf k∞ = Sup ess |f (x)| .
|f (x)| dx
Rn
Remarque 2.2. a) Lp (Rn , dx) est un espace de Banach, ce qui signifie que k kp est bien une norme (elle
vérifie l’inégalité triangulaire kf + gkp ≤ kf kp + kgkp (Minkovski) ; kf kp ne s’annule que si le vecteur
f est nul) et que Lp (Rn , dx) avec cette norme est complet. Par le théorème de densité précédent, c’est
d’ailleurs le complété de Cc0 (Rn ).
b) Nécessité de passer au quotient : k kp ne définit pas une norme sur Lp (Rn ). En effet la fonction qui vaut
1 sur Q ∩ [0, 1] aurait une norme nulle. Dans Lp (Rn ), on n’a plus ce problème puisque une telle fonction
s’identifie au vecteur nul.
On rappelle sans démonstration l’inégalité de Hölder et les propriétés liées.
Proposition 2.3. a) Si f ∈ Lp (Rn , dx) et g ∈ Lq (Rn , dx) avec 1 ≤ p ≤ +∞, 1 ≤ q ≤ +∞,
Z
R
f (x)g(x) dx ≤ kf kp kgkq .
n
∗
b) Pour 1 ≤ p < +∞, le dual topologique de Lp (Rn ) s’identifie à Lp (Rn ) avec
p = +∞.)
c) Si pour i = 1 . . . N on a fi ∈ Lpi (Rn , dx) avec
Lr (Rn , dx) avec
1
r
=
1
p1
+···+
1
pN
1
p
+
1
p∗
1
p
+
1
q
= 1, alors
= 1. (Faux pour
≤ 1, alors le produit f1 . . . fN appartient à
N
kf1 . . . fN kr ≤ Π kfi kpi .
i=1
Le résultat suivant est utile. L’argument de sa démonstration est similaire à celui utilisé pour montrer la
complétude de Lp (Rn , dx).
Proposition 2.4. Si p < +∞, de toute suite convergeant vers u dans Lp (Rn , dx) on peut extraire une sous-suite
qui converge presque partout vers u.
Preuve : Puisque la suite (un )n∈N converge vers u dans Lp (Rn , dx) si et seulement si k|un − u|p k1 → 0 il suffit
de le démontrer pour p = 1. Pour p = 1, on peut extraire une sous-suite (unk )k∈N telle que unk+1 − unk p ≤ 21k .
P
En choisissant pour chaque k un représentant de unk , on peut dire que la fonction k∈N unk+1 − unk (x) est
une fonction mesurable positive d’intégrale ≤ 2 (Lemme de Fatou). On en déduit que pour presque tout x ∈ Rn
la suite
k−1
X
uni+1 (x) − uni (x)
unk (x) = un0 (x) +
i=0
converge absolument. Notons v(x) cette limite ponctuelle (p.p.), en posant v(x) = 0 pour l’ensemble de mesure
nulle où la série ne converge pas. Le lemme de Fatou donne alors
Z
Rn
|v(x) − unk (x)| dx ≤
+∞
X
1
1
un (x) − un (x) dx ≤
= k−1 .
k+1
k
i
2
2
Rn
+∞ Z
X
i=k
i=k
En conséquence v est également limite de (unk )k∈N dans L1 (Rn ) et s’identifie donc à u. En conclusion, la
sous-suite (unk )k∈N converge presque partout vers u(x).
Remarque 2.5. Il est important de noter que la convergence presque partout n’est vraie qu’en extrayant une
sous-suite. On pourra s’en convaincre en considérant la suite un définie de la façon suivante : On prend l’unique
l ∈ N tel que l(l+1)
≤ n < (l+1)(l+2)
et on pose un (x) = 1[ n − l , n+1 − l ] (x).
2
2
l+1
2
l+1
2
On termine ce paragraphe par les inégalités pour le produit de convolution
Z
f (x − y)g(y) dy.
f ∗ g(x) =
Rn
2
Proposition 2.6. a) Pour f, g ∈ L1 (Rn , dx), on a f ∗ g ∈ L1 (Rn , dx) avec
kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 .
b) Si f ∈ Lp (Rn , dx) et g ∈ Lq (Rn , dx) avec
1
p
+
1
q
−1=
1
r
alors on a f ∗ g ∈ Lr (Rn , dx) avec
kf ∗ gkr ≤ kf kp kgkq
1 1
1
+ −1=
p q
r
.
Preuve : On rappelle brièvement la démonstration de a). Après avoir pris des représentants, on vérifie avec
le changement de variables u = x − y, v = y que l’intégrale positive
Z Z
Z Z
|f (x − y)g(y)| dxdy =
|f (u)| |g(v)| dudv
deux choses : 1) L’intégrale f ∗ g(x) =
Rvaut kf k1 kgk1 qui est fini. Le théorème de Fubini dit alors
n
f
(x
−
y)g(y)
dy
est
définie
pour
presque
tout
x
∈
R
;
2)
On a l’inégalité kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 .
n
R
R
Pour le b), il est commode de considérer Rn f ∗ g(x)h(x) dx et d’utiliser la dualité entre Lr et Lr∗ .
3
Formules de Leibnitz et de Taylor avec reste intégral
On rappelle ces deux formules écrites à l’ordre quelconque ici pour des fonctions f et g supposées C ∞ . Pour
les retrouver le plus simple est de commencer par le cas à une variable.
3.1
Fonction d’une variable
a) Formule de Leibnitz α ∈ N :
∂xα (f g) =
X
β≤α
α!
∂ β f ∂ α−β g =
(α − β)!β! x x
X
α1 +α2 =α
1
2
α!
∂ α f ∂xα g.
α1 !α2 ! x
b) Formule de Taylor avec reste intégral m ∈ N : Elle s’obtient par intégration par parties utilisant (1 − t)k =
′
(1−t)k+1
:
k+1
f (1) =
f (0) +
Z
1
′
′
f (t) dt = f (0) + f (0) +
0
=
Z
1
(1 − t)f ′′ (t) dt
0
Z 1
X 1
1
f (k) (0) + (m + 1)
(1 − t)m
f (m+1) (t) dt.
k!
(m + 1)!
0
k≤m
3.2
A plusieurs variables
On rappelle les notations pour les multi-indices α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn avec x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn :
α! = α1 !α2 ! . . . αn !,
αn
1 α2
xα = xα
1 x2 . . . xn ,
|α| = α1 + α2 + · · · + αn .
a) Formule de Leibnitz α ∈ Nn :
∂xα (f g) =
X
α1 +α2 =α
α! α1 α2 ∂ f ∂x g ,
α1 !α2 ! x
α1 = (α11 , . . . , α1n ), α2 = (α21 , . . . , α2n ).
Preuve : On écrit ∂xα (f g) = ∂xα11 . . . ∂xαnn (f g) et on applique la formule de Leibnitz en dimension 1 à
chaque ∂xαii .
On vérifie facilement par récurrence la généralisation
∂xα (f1 f2 . . . fk ) =
X
α1 +···+αk =α
α!
α1 !α2 ! . . . αk !
3
1
2
k
(∂xα f1 )(∂xα f2 ) . . . (∂xα fk ).
b) Formule de Taylor avec reste intégral m ∈ N, a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn et b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn :
f (b) =
Z 1
X (b − a)α
∂xα f (a) + (m + 1)
(1 − t)m
α!
0
|α|≤m
X
|α|=m+1
(b − a)α α
∂x f (a + t(b − a)) dt.
α!
Preuve : On applique la formule en dimension 1 à la fonction ϕ(t) = f (a + t(b − a)) puis on calcule :
# !
" n
X
dϕ
(bi − ai )∂xi f (a + t(b − a)) ,
(t) =
dt
i=1
"
#k 
n
X
dk ϕ
(bi − ai )∂xi f  (a + t(b − a)) .
(t) = 
dtk
i=1
(X1 +
Les opérateurs différentiels
P (bi 1− aiα)∂xi commutent. On peut donc utiliser la formule du multinôme
k!
X , valable dans tout anneau commutatif (Le coefficient α!
s’obtient en
X2 + · · · + Xn )k = k! |α|=k α!
calculant la dérivée α-ième par rapport à X de chaque côté, ou bien par récurrence). On obtient
X (b − a)α
1 dk ϕ
(t) =
∂xα f (a + t(b − a)) .
k
k! dt
α!
|α|=k
4
4.1
Formule de Stokes
Mesure surfacique
On considère une hypersurface Σ de l’espace euclidien Rn qui au voisinage d’un point σ0 ∈ Σ est donnée
par le paramétrage
σ̃(.) ∈ C ∞ (Rn−1 ; Rn ).
Vσ0 ∩ Σ = σ̃(u1 , . . . , un−1 ), (u1 , . . . , un−1 ) ∈ Ω ⊂ Rn−1 ,
En un point régulier σ̃(u) ∈ Σ, la famille ∂u1 σ̃(u), . . . , ∂un1 σ̃(u) forme une base vecteurs tangents àΣ et
si ~n(u) est un vecteur unitaire normal à Σ en σ̃(u), on a :
λ(u) = det ~n(u), ∂u1 σ̃(u), . . . , ∂un−1 σ̃(u) 6= 0.
Si du désigne la mesure de Lebesgue sur Rn−1 , la quantité |λ(u)| du définit une mesure sur Σ qui est
indépendante du paramétrage (choix de la fonction σ̃(.)).
Definition 4.1. On appelle cette mesure, la mesure surfacique sur Σ. Si σ désigne un point générique de
Σ, on note dσ = |λ(u)| du.
4.2
Formule de Stokes
∞
Soit Ω un ouvert régulier de Rn , (i.e. dont le bord est une hypersurface
C ) et soit X(x) = (X1 (x), . . . , Xn (x))
∞
∞
n
un champ de vecteur C jusqu’au bord dans Ω, X(.) ∈ C
Ω, R . La formule de Stokes s’écrit
~n
Z
Ω
div X(x) dx =
Z
X.~n(σ) dσ
~n normale SORTANTE.
Ω
∂Ω
Remarque 4.2. En pratique, on travaille toujours avec un paramétrage. Pour éviter les problèmes de
signe, il faut orienter Σ, c’est à dire choisir un paramétrage tel que λ(u) > 0. Cette règle est encore vraie
si ~n est le vecteur normal entrant. Deux possibilités.
~n
~n
Ω
Ω
4